平方根与立方根一对一辅导讲义

了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；

1..会求一个非负数的平方根、算术平方根；

2.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；3教学目标理解开立方与立方的关系

4.理解开立方与立方的关系

5.重点算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质重点、难点难点算术平方根与平方根的区别与联系难点算术平方根与平方根的区别与联系考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教学内容第一课时平方根与立方根知识梳理求下列各数的算术平方根

1.49711002—31-

40.

000150.求下列各式的值2141237-1124后649算术平方根等于本身的数有

3..求下列各数的算术平方根.4已知求的值.

5.一.平方根.算术平方根的概念及表示方法

1.如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根当时，的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数平方根的概念及其性质

2.

（1）平方根的定义如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根即如果，那么叫做的平方根

（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根当时，的平方根表示为

（3）求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数用计算器求一个正数的算术平方根

3.用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）二.立方根立方根的概念及表示方法

1.如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根即如果，那么叫做的立方根，记作正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，的立方根是00开立方的概念

2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.用计算器求立方根3第二课时平方根与立方根典型例题很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值知识点一算术平方根例

1.下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由181；2—1630；；4—；6—2f4『；5—2思路分析:根据“正数和0都有算术平方根,负数没有算术平方根”知，

（1）、

（3）、

（4）、

（5）有算术平方根，

（2）、

（6）没有算术平方根解答过程

（1）因为81是正数，所以它有算术平方根又因为，所以81的算术平方根是9；因为是负数，所以它没有算术平方根；230有算术平方根，就是0;所以的算术平方根是；4因为是正数，所以它有算术平方根又因为,因5所以的算术平方根是2；为是正数，所以它有算术平方根又因为,解题后的思考要判断一个数有没有算术平方根,要根据算术平方根的概念确定这个数是不是

（6）,是负数，所以没有算术平方根非负数，只有非负数才有算术平方根以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根例

2.已知，求的值思路分析考虑、、都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题解答过程.又v（%-2）20,|^-3|0,77^40・・.（x-=0,|y-31=0,Jz-4=x—2=0,y—3=0,z—4=0解得x=2,y=3,2=4o解题后的思考一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零这是解决这类问题的出发点小结只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；

1.一个非负数的算术平方根是一个非负数

2.知识点二平方根的概念及其性质例

3.求下列各数的平方根和算术平方根:

（1）3600；

（2）]—；

（3）

0.0001；

（4）（-7）2o25思路分析因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根解答过程

（1）因为，所以3600的平方根是，即的算术平方根是即360060,

（2）因为，，所以的平方根是，即的算术平方根是，即（）因为，所以的平方根为，即

30.0001的算术平方根为即

0.

00010.01,

（4）因为，，所以的平方根为，即的算术平方根为即7,解题后的思考运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根例

4.求下列各式中的1X2=196;2X+12=9；3丁―169=0;44X2=16O思路分析把上面各式化成的形式，求出的平方根，就可以求出的值解答过程1因为，所以；因为，所以，所以或；2因为，所以，所以；3因为，所以，所以4解题后的思考虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程例

5.若一个正数的两个平方根分别为和，求的值思路分析由平方根的性质知一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程,求出的值，而或，据此可求出的值解答过程因为一个正数的两个平方根互为相反数所以，解得从而a=x+l2=—2+12=1或a=x+32=—2+32=1所以产晨8=解题后的思考本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想例

6.若适合关系式，试求的值思路分析从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解解答过程:由已知，得由式可知，34所以，原式即为3x+5y-3-m0因为,2x+3y-m0-根3x+5y-3=0所以,2x+3y-m=0又因为，所以，解得解题后的思考的非负性包括两层含义一是被开方数必须非负，即；二是的算术平方根必须非负，即小结负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0知识点三平方根的估算例

7.已知为的整数部分，是9的平方根，且，求的值思路分析此题涉及的估值问题，由，即可解还涉及的取值的取舍问题，求出的值要满足题目中的所有条件，既不能漏解,也不能多解解答过程.因为，所以，即因为是的平方根，所以，即或9又因为，所以所以，故解题后的思考若的整数部分为，则其小数部分为小结若一个非负数介于另外两个非负数之间，即时，它的算术平方根也介于之间，即利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等知识点四立方根的概念及其性质例已知是8的立方根，求思路分析此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数解答过程:是8的立方根・・（）.13=8••x—1=2,x=3解题后的思考:利用立方根的概念解决抽象的代数问题小结立方根与平方根的区别:只有非负数才有平方根，的平方根为正数的平方根有两个且互为相反数；0,任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根知识点五平方根与立方根的综合运用例

9.

（1）已知，则；（）已知,则2思路分析一个正数扩大（或缩小）100倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10倍从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动2位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位一个正数扩大（或缩小）倍，则它的立方根扩大（或缩小）倍从小数点的位置看，一个100010数的小数点向右（或向左）移动位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动位31解答过程:

（1）因为所以

0.45=

3.23（）因为

27.926=

0.7926x10所以

7.926=

00.498x1000=解题后的思考同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆一个正数扩大倍，则它的平方扩大倍，立方扩大倍；101001000反之，一个正数缩小倍，它的算术平方根缩小倍；一个正数缩小倍，它的立方根缩小100101000倍10例

10.已知是的算术平方根，是的立方根，试求的值思路分析由是的算术平方根可知，由是的立方根可知，由此可得方程组，解得的值,从而求得的值,.最后求出的值解答过程:由题意可知解方程组得『二[n=3所以，，所以，解题后的思考明确算术平方根和立方根的意义及表示方法例

11.若与互为相反数，求代数式的值思路分析由立方根的定义和性质可知，若与互为相反数，则有被开方数互为相反数由此求出的关系式，然后代入求值解答过程:由题意得所以，y=—3则处±1=3y解题后的思考:熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键乡正数负数10—1方数名称算术平方根个（正数）无无101平方根无无0±1个（一正一负）2个（负数）1立方根个（正数）110—1第三课时平方根与立方根课堂检测a

一、选择题..的绝对值是.）1・A.3B.C.D..下列说法中正确的是.2・一个数的立方根有两个，它们互为相反数A.负数没有立方根B.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根C.一个非零数的立方根与这个数同号D..与最接近的数是3・・A.0B.2C.4D.

5.若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是.4・或或A.1B.C.01D.0计算

5.・・A.B.C.D.0

二、填空题.

6.1；240+725=；3V27潴一5V16x=的平方根是；

7.

8.的小数部分为___________；将序号填写在横线上下列说法中正确同是

9.

②4白勺算术平方根是2；

①4的平方根是2；

④-16的平方根是T;

③-2是4的平方根；

⑥

0.4的算术平方根是

0.2o

⑤

0.3是

0.09的平方根；如果，那么

10.O

三、解答题求下列各数的平方根和算术平方根

11.

20.008143--24145求下列各数的立方根.

12.

10.0012-2163s|4-3求下列各式中的

13.x.19/—256=0242x—1y=25已知求的值.1—2a2+=0,ab若的立方根是求的算术平方根.3x+164,2x+4已知，求的值

16.已知求的立方根.

17.x—12+=0,x+y2—z.已知的平方根是的立方根是求的平方根.18x—2±2,2x+y+73,x2+y2若求的所有可能值.x2=—32,y3=—23,x+y将半径为.的铁球熔化，重新铸成个半径相同的小铁球

19.cm8原铁球的体积是多少？1每个小铁球的体积是多少？半径是多少？球的体积公式2计划用块地板砖来铺设面积为的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米.

20.10016m

2.已知第一个正方体纸盒的棱长是第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大.216cm,127cm3,求第二个正方体纸盒的棱长.。