课时分层作业4 余弦定理2

课时分层作业

（四）（建议用时:分钟）45［学业达标练］

一、填空题

1.在AABC中，若B=60，且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为.【导学号］57452019［解析］在4ABD中，NABD=60，AB=1,BD=2,由余弦定理得AD2=3,故AD=.［答案］事如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于

2.1-2-3A B C akm,灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东则灯塔与灯A C20°BC40°,A塔的距离为B km.图1-2-3［解析］VCA=CB=a,ZACB=180°-20°-40°=120°,.AB2=AC2+CB2-2X ACX CBcosZACB,即AB2=a2+a2+a2=3a2,.\AB=y/3a.［答案］y/3a如图所示，某人向正东方向走了千米，然后向右转再朝新

3.1-2-4x120°,方向走了千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值是.3x图1-2-4［解析］由余弦定理:整理得解得或=一（舍x2+9—3x=13,x2-3x-4=0,x=4x1去）.［答案］4在钝角中,则最大边的取值范围为.

4.^ABC a=l,b=2,c［解析］在钝角中，由于最大边为所以角为钝角.所以AABC c,C c2a2+即〉,又因所以b2=1+4=5,c ca+b=1+2=3,c

3.［答案］,3如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是

5.［解析］设直角三角形三边为且则a,b,c,a2+b2=c2,a+x2+b+x2—c+x2=a2+b2+2x2+2a+bx—c2—2cx—x2=2a+b—cx+x20,，c+x所对的最大角变为锐角.［答案］锐角三角形.在中，，则的最大值为6AABC B=,AC=AB+2BC［解析］在中,4ABC根据_迎_=匹=匹根据sin C~sinB~smA、3AC得AB=~~-~p-sin C=r--sin C=2sin C.sin BA/32同理BC=2sin A,因“匕AB+2BC=2sin C+4sin A与一=2sin C+4sin C=4sin C+2y5cos C=2sinC+4,因此的最大值为A3+232s.［答案］市

27.在△ABC中，AB=7,BC=5,AC=6,贝I］■等于AB2-\-BC2-AC2l2+52-6219［解析］由余弦定理得cos B=2ABBC2X7X535,.AB BC=-BA BC=-\BA\\BC\cos8=-7X5X35=-19-［答案］—19在中，若则的取值范围是

8.AABC sin2A sin2B+sin2C-sin Bsin C,A［解析］由正弦定理，得a2Wb2+c2—be,即b2+c2—a22bc,.\2bccos A2bc,cos A又口且在上是减函数，故人£.A£0,y=cos x0,re［答案］o,I

二、解答题

9.如图1-2-5,在△ABC中，点D在BC边上，NCAD=,AC=,ADB=-.cosZ求的值；1sin C若求的面积.2BD=5,4ABD图1-2-5［解］因为一,1cosNADB=所以,又因为sinNADB=NCAD=,所以NC=NADB—,所以sin C=sinNAQB—71兀=sin ZADB-co^—cos7^2A/2^V24-10X2+10X2-5,在中，由=，得2AACDAD===2,所以也义乙乙S=^AD BD-sin ZADB=y X2X54f=

7.\JMBDJL在中，角的对边分别为并且

10.AABC A,B,C a,b,c,a2=bb+c.求证1A=2B.若@=判断的形状.2b,aABC［解］证明由得1a2=bb+cal=b2+bc,又cos B===,2sin Acos B=sin B+sin C=sin B+sinA+B即sin B=sinA—B,••・B=A—B或A—B=n—B,，A=2B或A=n不成立，故A=2E2Va=b,.又由可得a2=bb+c c=2b,•e•cosB===,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°,:•△ABC为直角三角形.［冲挑战练］A在中，内角所对的边分别为已知的面积为

1.AABC A,B,C a,b,c.AABC3,b—c=2,co.A=一,则a的值为.【导学号】57452019［解析］在中，由可得AABC cosA=—sinA=,-^bc X=3^15,%=8,所以有〈解得＜b-c=2b=6,9^a2=b2-\-c2—2bcX^—^,C今［答案］8如图在中,是边上的点，且

2.1-2-6,AABC DAC AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC=.图1-2-6［解析］设则，.二.AB=a,AD=a,BD=,BC=2BD=,cosA===sin A==由正弦定理知sinC=sinA=X=.［答案］平在中，内角的对边分别为且则

3.4ABC A,B,C a,b,c,2c2=2a2+2b2+ab,4ABC为.［解析］由得所以2c2=2a2+2b2+ab,a2+b2—c2=—ab,cosC=所以即为钝角三角形.］=-0,90C180°,^ABC［答案］钝角三角形.如图所示，甲船以的速度向正北方向航行，乙船按固定方41-2-730nmile/h向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，A175°B1此时两船相距当甲船航行到达处时，乙船航行到甲船的南偏20nmile,20min A2西方向的处，此时两船相距求乙船的航行速度.60°B210n mile.图1-2-7［解］如图所示，连结由已知A1B2,A2B2=10,A1A2=3O X=10,•\A1A2=A2B2,又NA1A2B2=18O-120°=60°,是等边三角形，AAA1A2B2］.A B2=A A2=0^

2.I I由已知，A1B1=2O,ZB1A1B2=1O5°-60°=45°,在△A1B2B1中，由余弦定理得，BIB=A1B+A1B-2A1B1•A1B2・cos450=202+102-2X20X10X=

200.，8=1舶因此，乙船速度的大小为海里/时.X60=30答乙船每小时航行海里.3。