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圆锥曲线的方程及性质在中，，，，且，即；椭圆
④离心率椭圆的焦距及长轴的比叫椭圆的离心率丁,
（1）椭圆概念
1.・・・，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，平面内及两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为椭圆的焦距若为椭圆上任意一点，则有椭圆的标准方程为（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y双曲线轴上）
（1）双曲线的概念
2.注
①以上方程中的大小，其中；平面上及两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看、|-|双曲线（||PF PF1|=2a）o2和的分母的大小例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；注意
①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线当时表示焦点在轴上的椭圆的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；
②当时，表示两条射线；
③当时，不表示任何图形；
④两定点叫做双曲线的焦点，
（2）椭圆的性质叫做焦距
①范围由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩
（2）双曲线的性质形里；
①范围从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围双曲线
②对称性在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在在两条直线的外侧即，即双曲线在两条直线的外侧曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称,同理，以代
②对称性双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，替方程不变，则曲线关于轴对称若同时以代替，代替方程也坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的不变，则曲线关于原点对称对称中心叫做双曲线的中心所以，椭圆关于轴、轴和原点对称这时，坐标轴是椭圆的对称
③顶点双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点在双曲轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个
③顶点确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线及轴、交点，他们是双曲线的顶点轴的交点坐标在椭圆的标准方程中，令，得，则,是椭圆及轴令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点的两个交点同理令得，即，是椭圆及轴的两个交点1）注意双曲线的顶点只有两个，这是及椭圆不同的（椭圆所以，椭圆及坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点顶点2）实轴线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为的实半轴长虚轴线段叫做双曲线的虚轴，它的长等和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长由椭圆的对称性知椭圆的短轴端点到焦点的距离为；准线x=±a^2/c x=±a^2/c x=~p/2渐近线—y=±b/ax—离心率e=c/a,0,1e=c/a,e£1,+0°e二1焦半径1PF1|=a+ex|PF2I=a-ex1PF1|二|ex+a I|PF2|二|I PF|=x+p/2ex-a I焦准距p=1/2/c p=b-2/c P通径2《2/a2/2/a2p参数方程x=a•cos6y=b•sin0,为x二a•sec9x=2pt/2y=2pt,t为参数参数y=b•tan,9为参数xOx/a2-y0•y/b2=1yO•y=px+xO过圆锥曲xO•x/a-2+y0•y/b-2=l线上―占x0,yO的切线方程
八、、y=kx±V[a-2•-2+了2]y=kx±V[a^2•k2-b2]y=kx+p/2k斜率为k的切线方程有焦点所在的坐标轴也变了于叫做双曲线的虚半轴长
④渐近线注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对抛物线角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线从图上看，双曲线的各支向外延伸时，及这两条直线逐渐接近3（.1）抛物线的概念
⑤等轴双曲线平面内及一定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹1）定义实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线定义叫做抛物线（定点F不在定直线1上）o定点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线式:2）等轴双曲线的性质
（1）渐近线方程为；
（2）渐近方程=2px（p〉0）叫做抛物线的标准方程线互相垂直注意它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上，焦点坐注意以上几个性质及定义式彼此等价亦即若题目中出现上标是F（,0）,它的准线方程是；述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立
（2）抛物线的性质3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为:一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四,当时交点在轴，当时焦点在轴上种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式，
⑥注意及的区别三个量中不同（互换）相同，还,•这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表标准方程•1r图形1交焦点坐标准线方程范围x0x0y0y0对称性X轴X轴y轴y轴顶点0,00,00,00,0离心率e-\e~\e=l e=l说明
（1）通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；3注意强调的几何意义是焦点到准线的距离.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、4方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C看作适合某种条件的点的集合或轨迹上的点及一个二元方程fx,y=O的实数解建立了如下的关系1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线点及曲线的关系若曲线C的方程是fx,y=O,则点POxO,yO在曲线C上口£々0,丫0=0；点POxO,yO不在曲线C±DfxO,yO^Oo两条曲线的交点若曲线Cl,C2的方程分别为flx,y=0,f2x,y=0,则点P0x0,y0是Cl,C2的交点□｛方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点
二、圆.
1.定义点集｛M II OM I=r｝,其中定点0为圆心，定长r为半径.
2.方程1标准方程:圆心在ca,b,半径为r的圆方程是x-a2+y-b2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2⑵一般方程
①当D2+E2-4F0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为x+口2+y+口2二
②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点-□，-口；3
③当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.点及圆的位置关系已知圆心Ca,b,半径为r,点M的坐标为xO,yO,则I MCI Vr□点M在圆C内，I MCI二r□点M在圆C上，I MCI〉r□点M在圆C内，其中I MCI二口_______________________________________直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线及圆相交口有两个公共点；直线及圆相切□有一个公共点；直线及圆相离口没有公共点
②直线和圆的位置关系的判定i判别式法；ii利用圆心Ca,b到直线Ax+By+C=O的距离及半径r的大小关系来判定
三、圆锥曲线的统一定义平面内的动点Px,y到一个定点Fc,O的距离及到不通过这个定点的一条定直线1的距离之比是一个常数ee0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线其中定点Fc,0称为焦点，定直线1称为准线，正常数e称为离心率当0时，轨迹为椭圆；当e=l时，轨迹为抛物线；当el时，轨迹为双曲线
四、椭圆、双曲线、抛椭圆双曲线抛物线物线
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a2a|FlF2|的点的
1.到两定点F1,F2的距离之差轨迹的绝对值为定值
2.及定点和直线的距离之比为2a02a|FlF2|的点的轨迹及定点和直线的距离相等的点定义定值e的点的轨迹.0el
2.及定点和直线的距离之比为定的轨迹.
3.及定点和直线的距离之比为值e的点的轨迹.el定值e的点的轨迹.0el
3.及定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.e〉l点集{Ml1MFH-1MF21点集{MI=1MFI1-1MF
21.点集｛M11MF1二点M到直线轨迹条件=2a,1F1F212a.±2a,1的距离｝.1F2F212a}.f JyiBM.y图形---Et KBrAR标准方方ab0a0,b0y2=2px程程参数方t为参数程一axa,-by b a,yRlx范围x0原点00,0原点00,0中心a,0,—a,0,0,b,顶点a,0,—a,00,00,—bx轴，y轴；长轴长2a,短轴长对称轴x轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.X轴2b焦点Fi c,0,p2—c,0Fi c,0,F—c,02Px二—一a2x=±c9准线及焦点位于顶点两侧，且准线CT x=±准线垂直于实轴，且在两顶点的内2C到顶点的距离相等.侧.准线及焦点位于顶点两侧，且准线垂直于长轴，且在椭圆外.准线垂直于实轴，且在两顶点的内到顶点的距离相等.准线垂直于长轴，且在椭圆外.侧.焦距2c c=2c c=yja2+从离心率e二1【备注1】双曲线⑶等轴双曲线双曲线□称为等轴双曲线，其渐近线方程为口，离心率□.4共粗双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轲双曲线.及互为共轨双曲线，它们具有共同的渐近线.⑸共渐近线的双曲线系方程的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为口时，它的双曲线方程可设为.【备注2】抛物线1抛物线□二2Pxp〉0的焦点坐标是口,,准线方程x二一口，开口向右；抛物线口二-2pxp0的焦点坐标是-□,0,准线方程x二口，开口向左；抛物线口=2pyp0的焦点坐标是0,口，准线方程y二-口,开口向上；抛物线□二-2py p0的焦点坐标是0,-D,准线方程y二口，开口向下.2抛物线y2=2pxp0上的点Mx0,y0及焦点F的距离；抛物线V=-2px p0上的点Mx0,y0及焦点F的距离3设抛物线的标准方程为口=2pxp〉0,则抛物线的焦点到其顶点的距离为口，顶点到准线的距离口，焦点到准线的距离为p.4已知过抛物线□=2pxp0焦点的直线交抛物线于A.B两点,则线段AB称为焦点弦，设Axl,yl,Bx2,y2,则弦长□二口+p或a为直线AB的倾斜角，□,口口叫做焦半径.
五、坐标的变换1坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标及曲线的方程.2坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴3坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是ly,在新坐标系x0,y中的坐标是口.设新坐标系的原点0,在原坐标系xOy中的坐标是h,k,则或I叫做平移或移轴公式.中心或顶点在h,k的圆锥曲线方程见下表方焦点焦线对称轴程a2x=±——+h+=1土c+h,k x=h y=kc椭圆a2+=1h,±c+k x=h y二k厂土+k ca1x=±——+k-=1土c+h,k x二h y二kc双曲线a1一二1h,±c+h y二土+k x二h y二kcy-k2=2p x-h—+h,k2x-+h2y二ky-k2=_2p x-h--+h,k2xj+h2y=k抛物线p y=--+kx-h2=2py-k h,—+k2x=h2x-h2=-2p y-k h,--+k2yq+k2x=h
1.
六、椭圆的常用结论
2.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
3.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
4.以焦点弦PQ为直径的圆必及对应准线相离.
5.以焦点半径PF1为直径的圆必及以长轴为直径的圆内切.
6.若口在椭圆上，则过口的椭圆的切线方程是.
7.若口在椭圆外，则过口作椭圆的两条切线切点为PLP2,则切点弦P1P2的直线方程是.
8.椭圆ab0的左右焦点分别为Fl,F2,点P为椭圆上任意一点口，则椭圆的焦点角形的面积为.
9.椭圆ab0的焦半径公式与|=a+e/,8|=一e/耳-c,0,F c,O A/x,y.
20010.设过椭圆焦点F作直线及椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF_LNF.
11.过椭圆一个焦点F的直线及椭圆交于两点P、Q,AL A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFJ_NF.
12.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M口为AB的中点，贝I],即若口在椭圆内，则被P所平分的中点弦的方程是；【推论】
1.若□在椭圆内，则过P的弦中点的轨迹方程是椭圆abo的两个顶点为口，口，及y轴平行的直线交椭圆于PLP2时A1P1及A2P2交点的轨迹方程是.
2.过椭圆a0,b0上任一点□任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且常数.
3.若P为椭圆ab0上异于长轴端点的任一点,Fl,F2是焦点，匚1,口，贝山
4.设椭圆ab0的两个焦点为F
1.F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记口，□,口,则有.
5、若椭圆ab0的左、右焦点分别为F
1.F2,左准线为L,则当0oW□时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d及PF2的比例中项.
6、P为椭圆ab0上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则口，当且仅当口三点共线时，等号成立.
22、—
7、椭圆+0—=1及直线Ar+州+=0有公共点的充要条件是A2^+B2b2Ax+By+C
2.
8、已知椭圆ab0,0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且口.1□；2|0P|2+|0Q|2的最大值为；3□的最小值是.
9、过椭圆ab0的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝!
10、已知椭圆ab0,A.B.是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线及x轴相交于点口，则口.
11.设P点是椭圆ab0上异于长轴端点的任一点，FL F2为其焦点记口，则
1.
2.
12.设A.B是椭圆ab0的长轴两端点，P是椭圆上的一点，口，□，口，c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有
1.2□.
3.
13.已知椭圆ab0的右准线口及x轴相交于点口，过椭圆右焦点口的直线及椭圆相交于A.B两点，点口在右准线口上，且口轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，及以长轴为直径的圆相交，则相应交点及相应焦点的连线必及切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点及焦点的连线必及焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离及以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率.注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线及长轴交点分别称为内、外点.
17、椭圆焦三角形中，内心将内点及非焦顶点连线段分成定比
18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论L点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必及对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必及以实轴为直径的圆相切.内切P在右支；外切P在左支
5.若□在双曲线a0,b0上，则过□的双曲线的切线方程是.
6.若口在双曲线a0,b0外，则过Po作双曲线的两条切线切点为PLP2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7、双曲线a0,bo的左右焦点分别为Fl,F2,点P为双曲线上任意一点口，则双曲线的焦点角形的面积为.
8、双曲线a0,bo的焦半径公式口，口当口在右支上时，口，口；当口在左支上时，口，口
9、设过双曲线焦点F作直线及双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFLNF.
10、过双曲线一个焦点F的直线及双曲线交于两点P、Q,A
1.A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF_LNF.IL AB是双曲线a0,b0的不平行于对称轴的弦，M□为AB的中点，贝L即
12.若□在双曲线（a0,b0）内，则被P所平分的中点弦的方程是.
13.若□在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.【推论】:
1.双曲线（a0,b0）的两个顶点为□，口，及y轴平行的直线交双曲线于PLP2时A1P1及A2P2交点的轨迹方程是.
2.过双曲线（a〉0,bo）上任一点□任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,Fl,F2是焦点，口，口，则（或）.
4.设双曲线（a0,b0）的两个焦点为F
1.F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记口，□则有□.
5、若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为F
1.F2,左准线为L,则当IVeW□时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d及PF2的比例中项.
6、P为双曲线（a0,b0）上任一点,Fl,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则□，当且仅当口三点共线且口和口在y轴同侧时，等号成立.
7、双曲线（a0,b0）及直线Ar+的+C=0有公共点的充要条件是A/—
8、已知双曲线（ba0）,0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且口.
（1）」^+」^二二一]；
（2）]0P「+|0Q|2的最小值为；
（3）SA,的最小值是.\OPf\OQf a2b
29、过双曲线（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝（
1.
10、已知双曲线（a0,b0）,A.B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线及x轴相交于点口，则或.
11.设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,FLF2为其焦点记口，则
（1）.
（2）.
12、设A、B是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，口，□，口，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
（1）.
（2）tantan尸=1一/.⑶.
13.已知双曲线（a0,b0）的右准线□及x轴相交于点口，过双曲线右焦点□的直线及双曲线相交于A.B两点,点口在右准线口上，且□轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，及以长轴为直径的圆相交，则相应交点及相应焦点的连线必及切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点及焦点的连线必及焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离及以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线及长轴交点分别称为内、外点）.
17、双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点及非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线的常用结论
①ay2+by+c=x顶点.
②y2=2px（p，0）则焦点半径；/=2py（〃工0）则焦点半径为.
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
④y2=2px（或/=2py）的参数方程为（或）（，为参数）.丁y2=-2px J=2py J=-2py=2pxy卜A1y/\/\」V\图形/-------__n X._____Q厂KJ焦点吗0F04F0-y1准线r_p2x-x-2222范围x0,ye7xO,ye7x^R,y0xeR.y0对称轴X轴y轴顶点0,0离心率e=l焦点PF J+修21+九网=＞月PF=P-^y21圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线x2/a2+y2/b2=l ab0x2/a八2-一2/『2=1a0,b0y^2=2px p0标准方程范围x£[-a,a]y£[-b,b]x£-8,-]u[a,+0°y£R xe[0,+8eRa y对称性关于x轴,y轴，原点对称关于x轴,y轴，原点对称关于x轴对称顶点a,0,-a,0,0,b,0,-ba,0,~a,00,0隹占c,0,-c,0c,0,-c,0p/2,0
八、、
八、、【其中」2=a-2-K2】【其中」2=£2+1/2】。
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