Penrose 广义逆矩阵 I

第章广义逆矩阵8年首先以比较抽象的形式提出了广直到年，19201955利用四个矩阵方程给出了更广义逆矩阵定义R.Fenrose后，广义逆矩阵的研究进入了新的版如今广义逆矩阵已成为矩阵论的重要分支,广泛应用于控制理论、系统识别和优化理论等领域本章仅结合解线性方程组的问题.简单介绍广义逆矩对一般的一定可以表示为A,A=XY,这里分别是厂和九矩阵，且X,Y mXrX rankX=rank令Y=rank A=nT=P1H9-1WXT2,则可代入验证A+适合于方程AAF=因1,2,3,41A XY^kXY=X¥=AW2A+AA+=M XYYT=Y X¥=A+;3AA+=XYYi T=XX1=XX1H=AA+4A+A=F MXY=「¥=¥*=可A*=A|l,2,3,

41.见同时该定理也说明了各种广义逆的存在性，但一般并不唯一.该证明实际上给出了Moore-Penrose逆的一种构造方法加号逆的计算方法第一种最大秩分解法定理2任给AwR且A=FG是最大秩分解，则11+=GTGGT-FTF-FTA说明其实因为F为列满秩，G为行满秩=7G GTGG T则丘1由的唯一性可知当A为满秩方阵时，；r1215例1求矩阵A=25I14的A+.P73例

4.

3、49324,解根据定理

2.1的证明过程提供的算法，需要求出标准型及诸初等矩阵的乘积P、Q.为此，对矩阵A进行初等变换、-3-90’1o、10p=-1114「02-101,b215309PT

100001、0A=P-[0Q\则A的满秩分解式为:

0、’

1215、A=P-l1・•E001=b G=2J309;b=T T1T1TG GGy FFy F10-11例求矩阵A=0222的加号逆A+-1453解可求得的满秩分解为-

101..r10-11A=FG=02于是A+=G1F/=GT GGTT1Tr\F FTF-52-f111二4-18T13630第二种奇异值分解法定理设环”,的奇异值分解/3A6C rank A=r,A其中为酉矩阵，l/€CJW VCC斗…，为的正奇异S=diag（3/=J40A fA+=l/H万\00/■o r例3求A=T°的加号逆A+P82例

4.702_10_解因为，所以的非零奇异值为，故对应于特征值5和2的标准正交特征向量为，故0一1显然，所以取所以小-1=口,2=则为酉矩阵VV221E-UTvr0001V20000练习用另一种方法验证上述结果列满秩，求左逆

一、问题的提出给定线性方程组AX=ba当rank A=rank B=r时，方程组有解.而且，当r=m=n时，以存在，方程组有唯一解=AXb当r〈n时，方程组有无穷多解c当rank AWrank B时，方程组无解.

1.现在的问题是当rank A=rank B〈r时，是否存在矩阵G,使得X二Gb为方程组的解，即AGb=b

2.进一步还要考虑，在方程组的无穷多个解中,是否存在向量的2—范数取得最小值的解？当rankA WrankB时，是否存在矩阵G,使得X二Gb为方程组的近似解，而且使得取得最小值？

二、矩阵的左逆与右逆在第4章中，我们给出了矩阵行满秩、列满秩的定义,并且证明了对于任意矩阵，矩阵、与A的秩都相等.由于矩阵是mXni型的，若A是行满秩的，则rankA二明知是满秩的.因此可得如下结论对于任意矩阵，若A是行满秩的，则矩阵是可逆的；若A是列满秩的，则矩阵是可逆的.

1.矩阵左逆与右逆的概念定义1设A是mXn型的列满秩矩阵.若存在，nXm型的矩阵G,使得，则称G为A的一个左逆矩阵.记作.即.例1矩阵是一个列满秩矩阵.容易验证，矩阵（a、b为任意复数）就是矩阵A的一个左逆.定义2设A是mXn型的行满秩矩阵.若存在，nXm型的矩阵G,使得，则称G为A的一个右逆矩阵.记作.即.由此我们还看到矩晖A的左逆或右逆，都不具备唯一,性.

2.矩阵左、右逆的基本表达式定理设A是mXn型的列满秩矩阵，则矩阵是A的一个左逆6L是n阶矩阵，知存在.证明因为且满足GA=（AAE）-・4=（AHA）-1（AH・A）二所以=./

10、例3矩阵A=2-1,求一个左逆相..12）（

10、（1（2-n6-

4、解AHA=2—1=T2）-1-45J

4、14^46154丫

121563、T1-14^46j[o-12厂以428,右逆的基本表达式为:]=A

二、Moore—Penrose广义逆矩阵所谓广义，即推广了原有概念或结果我们知道，逆矩阵概念是针对非奇异的（或称为满秩的）方阵（）1故这一概念可推广到）（2奇异方阵；）（3非方矩阵事实上，Penrose广义逆矩阵涵盖了两种情况对于满秩方阵A,A存在，且AA=A A=E故，当然有二WA A二A{H{AA=AA、A4AH=A4A左、右逆对这四个方程也是成立的这四个等式构成了Penrose广义逆的启示

1.M-P逆定义设A C,若B C且使如下四个等式成立,2ABA-A;13BAB=B;24AB=AB;3H5BA=BA4H则称B为A的Moore-Penrose广义逆M-P逆,记为加号逆.而上述四个等式依次称为Penrose方程1,2,3,

4.{口}-逆的定义:,若且满足Penrose方程中的第个方程，则称B为A的-逆，记为，其全体记为.此处…，左,称之为川-逆-逆，打,逆.443}-由定义知，如果按满足方程的个数进行分类，广义逆矩阵Penrose即，亿工…,/}-逆共有；+《=类，C+C+C15但实际上常用的为如下5类4⑴,力{1,2},J{1,3},川1,4},4{1,2,3,4}=A+其中⑴）最基本;A=A GA|l（）（逆）与最为接近，最为重+A=A

123.4M.P A-1要记称为自反广义逆，I）=A；；称为最小二乘广义逆；A（L3）=A称为最小模广义逆（或极小范数A（L4）=Am r

2.Moore-Penrose逆的存在性和唯一性定理1:任给A C,均存在且唯一证明B C1,2,3,4,唯一性假设、都满足则⑷2414B=BA B=AHB^B=A^C^AHB^B=CA AHB=23133AH AH==CC^C=C AC=C^CC^AH AB=CA1ABA=A;12BAB=B;23AB=AB;3H4BA=Bl4H存在性不难验证，当rank A=m时，A*=AH AAH-1当rankA=几时，=AH A1AH。