2023年绝对值化简题库教师版

绝对值化简1目磔,空皑源位内容基本规定略高规定较高规定借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的会运用绝对值日勺知识处理简朴日勺化简绝对值绝对值问题4目碳雕需楣绝对值的几何意义一种数口的绝对值就是数轴上表达数口的点与原点的距离.数口的绝对值记作口.绝对值的代数意义一种正数的绝对值是它自身；一种负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是

0.注意

①取绝对值也是一种运算，运算符号是“口”，求一种数日勺绝对值，就是根据性质去掉绝对值付万.

②绝对值日勺性质一种正数日勺绝对值是它自身；一种负数日勺绝对值是它日勺相反数；□日勺绝对值是口.

③绝对值具有非负性，取绝对值日勺成果总是正数或

0.

④任何一种有理数都是由两部分构成符号和它日勺绝对值，如□符号是负号，绝对值是口.aa0a{a0a{a0

①同=07=0=-aa0-aa0-a{a0运用绝对值比较两个负有理数的大小两个负数,绝对值大的反而小.求字母口的绝对值绝对值非负性假如若干个非负数的和为那么这若干个非负数都必为0,

0.例如若口，则口，口，绝对值的其他重要性质:由口易知口中必有一正两负或两正一负，不妨设口或口因此或者，因此当时，原式当时，原式【解析】（8级）已知、、互不相等，求日勺值.由题意可得且，把，，当成整体分类讨论

①两正一负，原式值为；

②两负一正，原式值为【解析】（8级）（第届但愿杯试）若有理数、、满足，求时值.由口可得有理数口、口、口中两正一负，因此口，因此口，2mnp2mnp2-----=-------=----.|3m/ip|3mnp\3（6级）已知有理数满足，则（）【解析】A.B.C.D.不能确定提醒其中两个字母为正数，一种为负数，即口【解析】（8级）有理数,,,满足,求日勺值.由知，因此，，，里具有1个负数或3个负数:若具有1个负数，则；若具有3个负数，则.【解析】（6级）已知，求日勺值⑴若□异号，则口

（2）若□都是正数，则口⑶若□都是负数，则口【解析】（6级）已知，求时值.分类讨论当，时，.当，时，.当，时,当，时,综上所述，日勺值为，，【解析】（6级）若均为非零的有理数，求日勺值

（1）当口都是正数时，原式口

（2）当口都是负数时，原式口

（3）当口有两个正数一种负数时，原式口⑷当口有两个负数一种正数时，原式口【解析】（6级）（第届但愿杯培训试题）若，求日勺值.由口可得，口、口、□中有口个负数或□个负数，当口、口、口中有口个负数时，原式口；当口、口中有口个是负数时，原式口；当口是负数时，原式口.【例】板块三零点分段讨论法（中考高端，可选讲）10（4级）（2023年云南省中考试题）阅读下列材料并处理有关问题我们懂得，目前我们可以用这一结论来化简具有绝对值时代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数提成不反复且不易遗漏H勺如下中状况•⑴当时，原式⑵当时，原式⑶当时，原式综上讨论，原式通过阅读上面日勺文字，请你处理下列的问题⑴分别求出|x+2|和|x-4|的零点值⑵化简代数式|x+2x-4\

（1）分别令□和口，分别求得口和口，因此口和口日勺零点值分别为口和口

（2）当口时，原式口；当口时，原式;当时，原式因此综上讨论，原式口【解析】（6级）求日勺值.先找零点，口，口，口，解得口，口，口.依这三个零点将数轴分为四段口，口，口，口.当口时，原式口；当口时，原式口；当口时，原式口；当口时，原式口.【解析】（4级）化简由题意可知零点为口当口时，原式口当口时，原式口当口时，原式口［解析］（4级）（2023年淮安市中考题）化简先找零点.口，□;□,零点可以将数轴提成三段.当口，口，口，口;当口，口，口，口;当口，口，口，口・【解析】（6级）（北京市中考模拟题）化简:,,或，可得或者；综上所得零点有1,-1,3,依次零点可以将数轴提成四段.（D,,,,;（）2,,,,;（）3,,,,;

（4），，，，.【解析】（6级）（选讲）（北京市中考题）已知，求日勺最大值与最小值.法1:根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为.法2:找到零点、，结合可以分为如下两段进行分析当时，,有最值和；当时，；综上可得最小值为，最大值为.【解析】（8级）（第届但愿杯试）已知，那么日勺最大值等于.（法1）:我们可以运用零点，将的范围分为段，分类讨论（先将此分类讨论日勺措施，而后讲几何意义日勺措施，让学生体会几何措施日勺优越性）

（1）当时，，当时到达最大值；

（2）当时,

（3）当时，，当时，到达最大值综合可知，在上，日勺最大值为（法2）:我们可以运用零点，将的范围分为段，运用绝对值得几何意义分类讨论，很轻易发现答案当时到达最大值.【解析】（6级）假如，且，求日勺最大值和最小值当口时，有口，因此口；当口时，有口，因此口综上所述，□日勺最大值为口，最小值为口【解析】（6级）（2023年大同市中考题）已知，求取何值时日勺最大值与最小值.法1:表到达点和日勺距离差，画出数轴我们会发现当，时两者日勺距离差最小为，即；当时，两者日勺距离差最大为4,即・法2:分类讨论先找零点，根据范围分段，当时，；当时，,当有最小值；当有最大值.综上所得，当时，最大值为4;当时，最小值为.皿俱潟后缀为（2级）若，则下列结论对H勺的是（2级）（人大附期中考试）假如有理数在数轴上的位置如图所示，求日勺值.答案不完善，选择.b-1c0a1【解析】原式=一+/+4-+/+C=0【解析】（6级）已知，求日勺值.由口可得口，又口，可得口；原式=x+z—y—z-x+y=O.练习L（8级）（第13届但愿杯培训试题）【解析】若，则.由于口，因此口，原式口.【解析】（6级）（2023年七台河市中考题）设，其中，求的最小值.［解析］=\-b\\-20\^\x-b-20\=x-b-（x-20）-（x-b-20）=40-x,y x+x则口时，□有最小值为□.【解析】（4级）若，化简［解析］a-------a=a-\-a\=\2a\=-2a.【解析】（6级）若,试化简.2+3_5〃_5【解析】[pd—《卜3a—《—4-ci4（6级）若口勺值恒为常数，则应满足怎样日勺条件？此常数日勺值为多少？要使口日勺值恒为常数，那么须使口，□,即口，原式□.练习

2.（8级）（第6届但愿杯2试）、、的大小关系如图所示，求的I值.-----•••••Aa------b01c从图中可知□且口，匚□,因此口，口，口，口，口，因此口，原式□.（8级）若，，则练习3・,,・•・、、中一正二负，，.【解析】（6级）求日勺最大值和最小值.法1:根据几何意义可以得答案；法2:找到零点，1,可以分为如下三段进行讨论当时，；当时，；当时，；综上所得最小值为，最大值为.【解析】（6级）（第届但愿杯试）假如,求代数式日勺值.当口时，口，口，口，原式口.2若口，则□或□;a\a\3廿~b4|tz|2=|a2|=cT

（1）任何一种数日勺绝对值都不不大于这个数，也不不大于这个数日勺相反数，即口，且口;5□,对于口，等号当且仅当口、口同号或口、□中至少有一种□时，等号成立;对于口,等号当且仅当口、□异号或口、口中至少有一种□时，等号成立.【例】板块一绝对值代数意义及化简1（2级）

（1）下列各组判断中，对日勺时是A.若，则一定有B.若，则一定有C.若，则一定有…D.若，则一定有假如＞，则A.B.C.下列式子中对的的是A.B.C.D.4对于,下列结论对的J的J是A.B.C.D.⑸若，的取值范围.【例】已知⑴，且；⑵，分别求时值2【巩固】已知，求欧I取值范围（4级）若且，则下列说法对的口勺是（【例3】A.一定是正数B,一定是负数C.一定是正数D.一定是负数【例】求出所有满足条件-闿+乃=1日勺非负整数对（）4非零整数满足，所有这样的J整数组共有假如有理数、在数轴上日勺位置如图所示，求时值.a b0c1【例】已知，那么5【例】是一种五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数码，且，则的最大值是.6【例】已知,其中,那么的最小值为7【巩固】设为整数，且，求欧I值【例】己知且,那么8（6级）

（1）（第届但愿杯试）已知，则

（2）（第12届但愿杯2试）满足（）有理数、，一定不满足日勺关系是（）A.B.C.D.

（3）（第7届但愿杯2试）已知有理数、日勺和及差在数轴上如图所示，化简a+b a-b----•••—••-101这道题目体现了一种重要口勺“先估算+后化简+再代入求值”日勺思想.

（2）为研究问题首先要先将题干中条件日勺绝对值符号通过讨论去掉，若时，,若时，,从平方口勺非负性我们懂得，且，因此，则答案A一定不满足.

（3）由图可知,,两式相加可得，进而可判断出，此时，，因此（8级）（第届但愿杯试）若，则【解析】【角单析】m2+11/71-999=mm4-11-999=1998x1987-9990,m2+22m+999=mm+22-999=1998xl976+9990,故m24-Hm-999-m2+22m+999+20=

20000.【解析】【补充】8级若，求的值.法1:V,则原式——x—1—x—3—•••—x-1997+%+x+2+.,,+x-1996——x+1—x+3—x+5一,,,一x+1997+%+%—2+,•,+x—1996=1+3—2+5—4+・・・+1997—1996=1+1+・・・+1=999法2:由，可得，则原式=|%——岗+k—3|-|x—2|+•••+|x-1997|—|x—1996|=1+1+…+1=999点评解法二日勺这种思维措施叫做构造法.这种措施对于显示题目中日勺关系，简化解题环节有着重要作用.【解析】10级设，其中，试证明必有最小值由于口，因此□进而可以得到□,因此□时最小值为□【解析】8级若日勺值是一种定值，求日勺取值范围.要想使□日勺值是一种定值，就必须使得口，且口，原式口，即□时，原式日勺值永远为

3.【解析】8级若口勺值为常数，试求日勺取值范围.要使式子日勺值为常数，□得相消完，当□时，满足题意.2级数在数轴上对应时点如右图所示，试化简［解析］L+|+M—Cl+1/|—ci—ci=—〃+/+/—〃+/——2=Z.（2级）实数在数轴上的对应点如图，化简由题意可知口，因此原式口【解析】（2级）若且，化简若口且口，口，口a-\b\+a+闿+\ak^=-a-V h-a-h-V ab=ab—2a【解析】（8级）（北大附中2023-2023学年度第一学期期中考试）设为非零实数，且，，.化简□,口，口；□,口；□,□,因此可以得到口，口，口;同一Q+⑷-c-h+a-c=-/7+6/+Z—c—Z7--c=Z

7.【解析】（6级）假如并且，化简【解析】1一则+x-10+x-m-\O=X-2+1O-X+2+1O-X=2O-X.2级化简＜—lx-3x-2[3-x（x3）2原式=卜一2＜了＜一1【解析】⑴原式二；I；[x-3（x^3）2x+3xN-113-x；2x+l|+尤+2【解析】怜一〃+“—a-b-5=/7一a+l+a-/—5=—4・【解析】（6级）若，求时直【解析】（8级）（第届但愿杯试）若，，那么等于【解析】（2级）已知,化简由于口，因此口，原式口【解析】（8级）已知，化简当口时,【解析】（8级）（第届但愿杯培训试题）已知，化简由口日勺几何意义，我们轻易判断出口.因此口口.【解析】（8级）若，化简.x|-2x|-X-2x|-3x【解析】-1,------------=—=-%.x--3|—|x|3-x+x3【解析】（8级）（四中）已知，，化简又二又丁241・••原式=———Q+2〃a+2b a+2b Q+2Z点评详细日勺过程要先判断被绝对值日勺式子，再去绝对值日勺符号.、【解析】（8级）（第14届但愿杯邀请赛试题）已知是有理数，且求日勺值因口，故口，又由于,因此，故原式【例】板块二有关口日勺探讨应用9【解析】（6级）已知是非零有理数，求日勺值.若口，那么口；若口，那么口.【解析】（10级）（2023年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知，且都不等于，求的所有也许值【解析】4或0或Y【解析】（10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知是非零整数，且，求日勺值由于口是非零有理数，且口，因此口中必有一正二负，不妨设口，则原式口【解析】（2级）若，则；若，则.【解析】I:-

1.重要结论一定要记得.【解析】（6级）当时，化简【解析】3,/%+3wO,当口，即口时，口，因此口；当口，即口时，口，因此口.（8级）（2023年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若，，则也刍+口±4的值是（）a—\b+2a+h【解析】A.B.C.D.⑴C.特殊值法取，代入计算即可.【巩固】（2级）下列也许对时的是（）A.B.【解析】C.D.选D.排除法比很好或特殊值法，，（6级）假如等于（）【解析】A.B.C.D.【解析】（8级）假如时值等于（【解析】A.B.C.D.易知，因此原式【解析】（8级）已知，求日勺值.三个数都不为零.三个数都是正数，则、也都是正数，故原式值为.中两正、一负，则、中一正、两负，故原式值为.中一正、两负，则、、中一正、两负，故原式值为.中三负，则、、中三正，故原式值为.【解析】（6级）若，，均不为零，求.若口，口，口，全为正数，则原式口；若口，口，口，两正一负，则原式口;若口，口，口，一正两负，则原式口；若口，口,□,全为负数，则原式口.【解析】（6级）（第届但愿杯试）假如，求日勺值.由口得口，进而有口，口若L1,则口,若口，则口.【解析】（6级）若，均不为零，且，根据条件可得口，口，口有1个负数或2个负数，因此所求式子日勺值为口或口（8级）,,为非零有理数，且,则日勺值等于多少？由可知，，里存在两正一负或者一正两负；同a\b\b\c\c\a\a\b\b\c\------1，•—\a\b\b\cc a|tz|b ca------c|Z|若两正一负，那么；若一正两负，那么.（10级）（海口市竞赛题）三个数，，的积为负数，和为正数，且，求ax+bx2+ex+1时值.,,中必为一负两正，不妨设，则；□,因此原式=

1.【巩固】（8级）（第13届但愿杯培训试题）【解析】假如，，，求日勺值.由口，口，口，两两相加可得口，口，口，因此原式成果为

1.若将此题变形为非零有理数口、口、口,求口等于多少？从总体出发口，因此原式口.【解析】（8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数口，口，□满足口，及口，若口，口，那么代数式□日勺值为.由及，知实数，，中必有两个负数，一种正数，从而有.又二，则.（8级）有理数均不为零，且，设，则代数式日勺值为多少？由口易知口中必有一正两负或两正一负，不妨设口或口因此或者，因此，因此原式（8级）有理数均不为零，且，设，则代数式日勺值为多少？。