简便计算四——裂项相消法

第讲.简便计算

（四）一一列项相消法（拆分法）5一裂项相消法（拆分法）把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法二列项相消公式1_1_1nn+ln n+\1_1_1k nn+k21111x-----------------------------=x—〃n+Zn n+k k3+1）（+2）+++J2H411a+h--------=—I-axb ab5a2+b2b a-------------——I-axb ab6三数列

（1）定义按一定的次序排列的一列数叫做数列

（3）项数一个数列中有几个数字，项数就是几四等差数列.

（1）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列而这个常数叫做等差数列的公差

（2）等差数列的和二（首项+末项）X项数+2

（3）等差数列的项数二（末项-首项）公差+1♦

（4）等差数列的末项二首项+公差X（项数-1）三经典例题伊!|

1、-----------------------------------------------------------1111111x22x33x44x55x66x77x8（例

1、例

2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用11_1公式7tn+1n+1n1111111例

2、------------------------------------—I11111261220304256例

3、1+3-+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—+19^-6122030425672901101x33x55x77x99x1111x1311111例

6、1i+3—+5—+7—+9—3例

5、15356399-------------------------—I1113153563991111iMr7例

7、--+----+-----+-----+-----1x44x77x1010x1313x16站c222-------------+--------------例

8、---+----+---++・・・2001x20032003x20051x33x55x7加八3579111315人］3549637791105例

9、--+------+-----+——.•例

10、---------+------+-------26122030425661220304256（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和可用公式一=+!）axb ab始「15111997019899例

11、一+—+——+——+・・・+--------+26122097029900（观察到每个分数分母都比分子多1,分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算）713213143577391上一c例

12、-+—+—+—+—+—+——+—612203042567290（观察到每个分数分子都比分母多1,分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算）例

13、22426282102++++1x33x55x77x99x11上一411111例14--------------------------------------------------------------------11111x2x32x3x43x4x54x5x65x6x7观察到分子都是1,分母是连续的三个数相乘，所以可以用公式1111-------------------------------------------------x—〃九+1〃+2+++J212+2222+3232+4220012+20022例

15、----+-----+-----+-・・2001x2002+1x22x33x42（观察此题可用公式区/心-=2+色列项凑整，但不能相消）axb ab四考题精选

1111111116122030425672901102、1-+3i+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—+19—2612203042567290110----------------------------------------------------------111F•••H2x44x66x88x101998x

2000222224、2x44x66x88x1098x100-------------------------------------------------111F•••H

5、1-+2—+3—+4—+--.+10-L3153563399579111315—+-----+-----+—

6、

612203042567、生一丝+生卫+史一些61220304256-----------------------------------------------1F,,•H2x3x43x4x510x11x12------------------------------------------------------------------------------------------------111111x3x53x5x75x7x97x9x119x11x1311x13x

1510、1111--------------------------------------------・・---------------------------------11F•H1+21+2+31+2+3+41+2+3+.--+

201111、I2+2222+3232+4219992+20002--------------------------------------------------------------11F•••H1x22x33x41999x2000。