样本均值平方的方差

样本均值平方的方差根据定义，样本均值的方差为总体方差除以样本大小，即\frac{\sigm”2}{n},其中\sigma人2是总体方差，n是样本大小而样本均值平方可以表示为\overline{XA2}=\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}X_iA2将X」人2展开可得\overline{XA2}=\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}XJ-\overline{X}+\overline{X}A2展开并移项可得\overline{XA2}=\frac{l}{n}\sumJi=l}A{n}XJ-\overline{X}A2+\overline{X}A2其中第一项为样本方差sA2,第二项为样本均值的平方\overline{X}人2因此，样本均值平方的方差为Var\overline{XA2}=Var\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}X_i-\overline{X}A2+\overline{X}A2根据方差的性质，可以将上式展开得Var\overIine{XA2}=Var\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}XJ-\overline{X}A2+Var\overIine{X}A2+2Cov\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}XJ-\overline{X}A2,\overline{X}A2由于\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}X」-\overline{X}人2是样本方差sA2,因此第一项为VarsA2=Var\frac{l}{n-1}\sum_{i=l}A{n}XJ-\overline{X}A2=\frac{2\sigmaA4{n-lA2n-2}第二项为\overline{X}的方差,即\frac{\sigmaA2{n}o第三项为协方差，可以计算得Cov\frac{l}{n}\sum_{i=l}A{n}XJ-\overline{X}A2,\overline{X}A2=\frac{n-2\sigmaA4}{nn-lA2}因此，将三项代入原式可得:Var\overline{XA2}=\frac{2\sigmaA4{n-lA2n-2+\frac{\sigmaA2}{n}+\frac{n-2\sigmaA4{nn-lA2}化简可得Var\overline{XA2}=\frac{\sigmaA4nA2-l}{nA3n-lA2}。