考点31 正弦定理、余弦定理（原卷版）

考点正弦定理、余弦定理31在考点详解【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【基础知识回顾】

1.正弦定理n hc^A=^B=^C=^R为△ABC外接圆的半径）.l6f=2/sin A,b=2Rs\n B,c=2/sin C;a bc2sin A—2R,sinB—R,sin C—R；正弦定理的常〃3b:c=sin Asin3sin C;见变形o+b+c_a⑹sin A+sin B+sin Csin A

2.余弦定理t72=/2+c2—2/ccos A;b1=c2-\-a2-2CQCOS B；c2=a2+b2-2abcos C.余弦定理的常见变形kr+c1—^⑴cos A=一赤一;c2+tz2—Z2；2cos B=2ca6Z2+Z2—c23cos C=.2ab

3.三角形的面积公式

（1）SZ\ABC=]〃e（瓦为边ci上的图）；

（2）SAABC=2a^n C=^bcsin A=^csin B；

（3）S=^r（6z+Z+c）（r为三角形的内切圆半径）.乙士热身训练

1、在△ABC中，若AB=小,BC=3,C=120°,则AC等于（）A.1B.2C.3D.

42、已知8，Q=小，b—y[\5,4=30，则c等于（）A.2y[5D.均不正确

3、在△ABC中,A=60，4=2,且△45C的面积为与，则6c的长为（C.2小或小毒A B邛C.2小D.2C\[s

4、在△ABC中，cos7=，BC=1,AC=5,则A3等于（）A.4yli B.V30C.y[29D.2小

5、设△ABC的内角A,B,所对的边分别为a,b,c,若Acos C+ccos5=asin A,则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

6、在△A3C中，cos27=-^—（^z,b,分别为角A,B,C的对边），则△ABC的形状为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

7、LABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,Z2+c2-a2=8,则BC的面积为________

8、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知吟萨=左芳，则嗯的值为_______________________UCUbfJ o111/1在典例剖析考向一运用正余弦定理解三角形例

1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若AB=^

3.BC=3,ZC=n0，则AC=（）A.1B.2C.3D.43变式

1、（2021•山东泰安市•高三三模）在qABC中，AC=3,BC=2,cosC=—,则tanA=（）4叵A.五B.五C.D.立6633变式

2、［2020江苏淮阴中学期中考试】在aABC中，如果sinA:sing:sinC=2:3:4,那么tanC=cos Acos Bsin Cb1+C1—a1——be,则tan B=-------+---------=---------a bc变式

3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角4B,C的对边分别为若变式

4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在AABC中，内角A，B,所对的边分别为〃，b,c.已知a+〃=10,c=5,sin2B+sinB=

0.

（1）求的值:

（2）求sin的值.方法总结本题考查正弦定理、余弦定理的公式.在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考查基本运算能力和转化与化归思想.考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例

2、（多选题）已知〃，b,c分别是△ABC三个内角A,B,的对边，下列四个命题中正确的是（）A.若tan A+tan8+tan C0,则△ABC是锐角三角形B.若A=bcos3,则△ABC是等腰三角形QCOSC.若反osC+ccos3=/b则△ABC是等腰三角形D・若急=^=枭，则BC是等边三角形变式

1、AABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2口加A=2b+cs加B+2c+bs加C.1求A的大小；2若s%B+s%C=l，试判断4ABC的形状.变式

2、1设5c的内角4B,所对的边分别为，b,c,若cosC+ccosB=〃sinA,则△ABC的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定oitq A2在△ABC中，角A,B,C的对边分别为m b,c,若^^=二，S+c+〃3+c—=3尻，贝U/VIBC si nJLJC的形状为A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形方法总结判定三角形形状的途径

①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系.正余弦定理是转化的桥梁.考查转化与化归思想.考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积例

3、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为m b,c.已知〃cosC+ccos8=2acosA.1求角A的大小；⑵若⑰•祀=#,求△ABC的面积.变式

1、在△A8C中，内角A,B,所对的边分别为，b,c.已知a邦，c=y/3,cos2A—cos2B=\/3sin AcosA—小sin Bcos B.1求角C的大小；42若sinA=《，求△ABC的面积.变式

2、2020届山东实验中学高三上期中在AABC中，a,c分别为内角43,的对边，若32sin B=sin A+sinC,cosB=—,且58c=6,则人=.214变式

3、［2020江苏漂阳上学期期中考试】在AA3C中，角A，B,C所对的边分别为〃，b,c,若b=3,sin2A-sin2B=3sin2C^cosA=-1,则AABC的面积是.-J方法总结

1.求三角形面积的方法⑴若三角形中已知一个角角的大小或该角的正、余弦值，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积.2若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

2.已知三角形面积求边、角的方法1若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.2若求边，就寻求与该边或两边有关联的角，利用面积公式列方程求解.考向三结构不良题型例

4、2020届山东省烟台市高三上期末在条件

①m+Zsin A-sin8=c—/sinC,

②＞6zsinB=ZcosA+—,

③Zsin=，sin5中任选一个,补充到下面问题中，并给出问题解答.62在A4BC中，角4民的对边分别为b+c=6,a=2®.变式

1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，b,C分别为AA3C内角A，B,C的对边，若AABC同时满足下列四个条件中的三个:

①生工=捶生；

②cos2A+2cos2g=1您=指；

④8=c3（〃+加2

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在

（1）所有组合中任选一组，并求对应AABC的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）变式

2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在

①GScosC-a）=csin8；®2a+c=2ZcosC；L A-4-C

③/sinA=Wsin--------------这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.2在AABC中，内角A,B,C的对边分别为b,c,且满足，b=273,Q+C=4,求ZVLBC的面积.在优化提升实战演练•

21、【2020年高考全国III卷理数】在ZkABC中，cosC=-,3/AC=4,BC=3,则cosB二B

2、【2018年高考全国n理数】在△ABC中，cos—=—，BC=1,AC=5,则A325A.4A/2B.V30C.29D.2/

53、【2018年高考全国III理数】AA5C的内角A，B,C的对边分别为4,b,c,若ZVIBC的面积为7T

4、【2019年高考全国团卷理数】AA5C的内角4伐的对边分别为.若b=6,Q=2c,B=—,则AABC的面积为.

5、【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,8C=3,点在线段AC上，若ZBDC=45°,则80=，cos ZABD=.

6、【2018年高考浙江卷】在BC中，角48,C所对的边分别为a,b,c.若q=J7，b=2,A=60，则

7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）AABC的内角A,B,C的对边分别为已知a+2c cosB+b cosA=

0.I求B；II若b=3,A43C的周长为3+26,求A48C的面积.

8、2020届山东省潍坊市高三上期中在乙钻中，内角A，B,所对的边分别为,b,c.已知々+〃=10,c=5,sin2B+sinB=

0.1求，〃的值2求sin的值.

9、【2020年新高考全国回卷】在

①碇=6，

②csinA=3,

③c=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题是否存在△A3C,它的内角A氏的对边分别为且sinA=Gsin3，C=-,注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。