博士生课程空间机器人关键技术1

博士生课程空间机器人关键技术=AvA-Ar下面的两个定理给出了左逆和右逆的存在条件定理3设4£*内，则以下的提法是等价的1力是左可逆的；24的零空间Ma={0},4的行空间/4二Rn；3m2n,RankU=n,即是列满秩的定理4设4£〃内，则以下的提法是等价的14是右可逆的；24的左零空间M/={0},4的列空间/A=；3mW/,Rank A=m,即是行满秩的

③矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解是矩阵理论的根本知识，它对于广义逆的计算和冗余自由度机器人逆运动学的求解都具有重要的应用价值在线性代数中曾把〃阶对称矩阵A分解成如下的乘积形式A=PDP6其中〃为对角矩阵，其对角线元素为Z的实特征值，P为正交矩阵，其第J列为与〃的第j.个对角线元素相应的特征向量J=1,2厂・・,〃我们已经看到，这种分解式是研究对称矩阵的有力工具，由它可以推出一系列有用的结论只有对称矩阵才有这种分解式对于非对称矩阵，以至一般的长方形矩阵是否可以建立类似的分解式下面的定理答复了这个问题定理5设/为任意初X〃阶矩阵，其秩数为r,则有/〃阶正交矩阵尸和〃阶正交矩阵0,使得4二尸0或PA4其中为如下形式的勿X/7阶矩阵A=O O它的左上角的子块，是r阶对角矩阵其余几个子块是各自具有适当阶数的零矩阵，我们一律记为，，…，『称为矩阵力奇异值关于矩阵的其他概念，如向量和矩阵的范数，向量空间的基底与坐标，线性相关与线性无关等不介绍了⑵.力学基础

①刚体的质量参数刚体的质量参数除了刚体的质量你还包括与刚体质量分布有关的量，即刚体质心G在刚体上的位置和刚体的惯性张量（惯性并矢）在这里我们由刚体的动能引出刚体惯性张量的概念如图1所示，刚体坐标系（即连杆坐标系）的原点为

①，它在参考系中的位置可由其向径弓.确定，刚体上任一元质量d勿在刚体上的位置由S给定而它在参考系中mfci=j而J dmGi=8因此,dm,[，〃尸s=[sdm9Gi mmJ的位置由不确定刚体的质心为质心在刚体上的位置向径是而,，在参考系中的向径是启i质心应满足刚体上元质量d勿的动能d7二4产d由于尸=5+§,故,=彳+包.xT,其中可是刚体的角速度向量整个刚体的动能应将元质量的动能d7对整个刚体质量进行积分，即T=JdT=

0.5j产dm=

0.5/〃*+%•电xs m+

0.5j®xs2dm,Gi利用矢量数学可得匈xS2dm=[a.x s2E-ss-a.dm=a.x mJm\（s且一蓝）dm@其中积分项是仅与刚体质量分布有关的量，给出如下定义定义2刚体对点0,的惯性张量J.=f52E-JdmOfJm10这样刚体的动能为__二_9•可11T=

0.5/nv3f+%,a x s m+

0.5®x JGiOj若刚体作定点转动，因为%:0,刚体动能为T=

0.5ex7a.0/若取质心G为连杆坐标系原点，因为fGj=0,v-=v.，刚体动能为o Gj〃此,+T=

0.

50.5x J.11-2G■ot这是一般理论力学教科书中的刚体动能公式在连杆坐标系中，1的分量是个33矩阵，称为刚体在该连杆坐标系中对

①点的惯性矩阵，记为J=f（slsE-ssl）dm12（）iJnt式中，s=出,将它代入

（17）式，可得J,.的各元素为1=jS2+见〃7，22=j G+见〃7J33=j$；+S2辿〃13=一[一]耳鼻也几J\2=J\MS2d JI=J=J=-J S2s3d2323台刚体动能的矩阵形式为哈+出向T=05%$G〃+

0.5J14阳

②刚体对参考系原点的角动量和角动量定理质点对参考系原点的角动量为工=尸乂力2,同样，刚体上元质量d/〃对0点的角动量为d〃=^x力m,将元质量的角动量普及整个刚体积分，可得刚体的角动量为Z=f r x rdm=[a4-x v4-a xsd/n=r.x v+xs m-]-s x%〃2+Jm Jtnooi i p OiQi Gj（手、（

①乂6）3〃上式中第3项积分,用惯性张量概念，可化简为77/L=\rx rdm=取x%+匈xsm+s xv m+J-a15o CiGi OiOiJm若P点不动,即外.二0,则—♦L=X

6.X sm+J-co15-1o GiOi若取质心G为连杆坐标系原点，即年产和%,.=%,，则L=rxv-m+J a15-2o QiQ Qi下面我们引出一个刚体动力学的重要定理角动量定理，它在刚体力学中的地位相当于质点力学中的动量定理角动量定理可以叙述为对惯性参考系原点的绝对角动量的绝对时间导数等于所有外力对同一点的合力矩，即L=M16O O由此式和角动量的定义可得这里略去整个推导过程♦♦—••—•—•ms x私+J.-co.+o.乂乙初=M17Gi QOi这就是向量形式的Euler方程，而o,是作用在刚体i上的所有外力对0,点的主矩Euler方程和Newton定律构成了刚体系Newton-Euler力学的基础，是机器人动力学的主要力学工具之一在刚体连杆坐标系0/yz,中，17式的分量矩阵形式为^Gi^Oi JO®i+而18式中，ct=[ty69,69]J,“Oj=[〃],%,4取ip23现在考虑几种特殊情况⑴如果连杆坐标系的原点0；取刚体的质心G；,即电厂0,则二二_二__」初=Gi@+X JGiM18-1Gj⑵连杆坐标系原点加速度如为零，或者容指向质心，则二•二一J*a+S jX J0i@=M°i18-2Oi若略去式（18T）和式（18-2）中的下角标，可以写成统一的公式，右+卫x，0=A7,在刚体连杆坐标系O.nzj中，此式的矩阵分量形式为J而+7cu=M如果坐标系Owyz的3个坐标轴为主轴，上式可以进一步简化为4向1一（，22一，33）82G3=〃1J a）-（J-J））^69）=n

（19）22233］2J3303~（41—,2）

①i

①）—%在大多数力学专著中，Euler方程都采用式（

1.

10.28）的形式，读者在使用时需注意其特殊的使用条件

③广义坐标和自由度、位形空间一,空间描述一个力学系统或机电系统的位形要用到一组坐标，这组坐标称为广义坐标，用S，3，,仇表示，简称为q坐标一个系统的重要特性是它的自由度，对于非自由系统，系统的状态会受到某些强加的限制，这些限制称为约束，约束的数学表达式就是约束方程系统的自由度等于系统的广义坐标数减去这些坐标间的独立约束数各种坐标都可以用作广义坐标，完全描述一个系统的位形对于同一个系统，描述其位形不一定要有相同数目的广义坐标，也不一定要求有相同数目的约束只要广义坐标数减去约束数一样，即等于系统的自由度例如，对于定点转动的刚体，如果广义坐标采用Euler角，只要3个坐标，没有约束如果采用Euler参数，有4个坐标，这4个坐标之间存在一个约束，即4个Euler参数的平方和等于1无论采用Euler角，还是Euler参数，坐标数减去约束数都等于3一般广义坐标都具有显而易见的几何意义，当所选的广义坐标相互独立而不违背约束时，广义坐标数就是系统自由度数，这就是为什么有时人们把独立的坐标定义为广义坐标的原因实际上，“广义坐标〃本身与“独立坐标〃并没有必然联系很自然地，我们可以把系统的位形看成是这个坐标构成的，维空间中的一个点这〃维空间称为位形空间，简称空间这个点是系统的位形点当系统随时间改变其位形时，系统位形点在°空间中描出一条曲线如果所有的坐标是独立的，这条曲线是连续的和不受任何约束的但是如果存在对的约束，这些约束是g空间中的一个超曲面，位形点将在这个超曲面上运动约束的分类对于一个系统，可以用这〃个广义坐标来描述其位形，任一时刻系统位形及其速度是该系统在该时刻的状态假设对有/〃个约束，约束方程可以一般地表示为工（％，％，%，…%，如2，%「4，/）=°1=

（20）当约束方程中不显含时间£时，称为定常约束，否则称为非定常约束若约束方程中仅含运动变量，即・力⑷，%，夕3，…4”=i=L…，根2122这样的约束称为几何约束几何约束的约束方程可以写成微分形式，只要将上式求微分，可以得到微分形式的儿何约束方程2324系统的速度也会受到约束，其约束方程如式23或24,在此式中仅含运动变量、速度和时间，而不含加速度，这样的约束称为一阶约束根据约束方程是速度的线性关系式或非线性关系式，可以把它们分为一阶线性约束或一阶非线性约束在机器人或大多数机械系统中，普遍存在一阶线性约束，只有欠驱动机器人存在二阶线性约束一阶线性约束可以表示为£；L+》df=0，i=l,…命25式中，人和4是坐标心/=1,…及时间I的函数，这种约束称为普法夫Pfaff约束如果方程左边不可积分，即不是全微分时，这类约束称为非完整约束一阶非完整约束如果方程左边可积分，即是全微分时，这类约束为完整约束儿何约束都是完整约束，能够表示成普法夫Pfaff形式因此普法夫Pfaff约束方程是完整约束和非完整约束的统一形式具有非完整约束的系统是非完整系统，全部约束为完整约束的系统是完整系统大多数地面机器人系统是完整系统，非完整的机器人系统的例子是机器人多指灵巧手、轮式移动机器人等而用于太空的空间机器人多数是非完整系统作为完整系统的一个例子，考虑图所示的在x-y平面上运动的两个质点，这两个质点被一个长度为1的无质量的刚性杆连接对应的约束方程为2+Mf尸-/2=0,这个约束方程只含有坐标，因此是完整约束在这种情况下，有4个坐标和1个约束方程，因此自由度为3为了得到独立的广义坐标，可以利用这个约束方程从运动方程中消去一个坐标这个消去过程常常会遇到代数运算的困难，因此很少采用我们可以另外寻找独立的广义坐标例如可以取杆中点的直角坐标x,y和杆与x轴的夹角这3个坐标，它们是独立的我们已经假设杆长/是不变的，约束方程不显含时间，这样的约束是定常约束若长度/是时间的函数，这样的约束为非定常约束在一般意义下，非定常约束是时变约束现在我们考虑一个非完整约束和系统，一个系统有/〃个约束，它们形如26但是是不可积分的，式中，4」和我是坐标心（7=1,…及时间1的函数这种约束是非完整约束由于它们不可积，由

（26）不能得到形如

（21）或

（22）的约束方程，这样也就无法消去不独立的变量，也就无法找到一组独立的广义坐标因此，非完整系统总是要求比自由度更多的广义坐标数来描述其位形作为非完整系统的例子，我们再次考虑图2所示的用无质量的刚性杆连接的两个质点，不同的地方在于在两个质点上各附加一个刀口支撑（图3）,这种支撑只允许质点沿垂至于杆的方向运动，因此杆中心的速度必须垂直于杆的方向，这导致以下约束方程x=-ytan0或者cos6tlx+sin Ody-027这个式子左边不是恰当微分（全微分），即没有一个函数（乂％〃）存在，能使

（27）式左边成为进一步说，方程

（27）也不能被任何整数因子相乘，得到恰当微分，因此是不可积的由数学分析理论可知微分方程+a dy+a（\0=0y o可积的充要条件是/加丫da,da da0x28勺喘一半十%（皆一方+%后一菽）=°式中a,心，是x,y和〃的函数应用这个准则检查方程

（27）,我们可知它是不可积的用无质量杆连接的两个质点组成的系统可以说明完整系统和非完整系统的重要区别对于在平面上运动的两个质点组成的系统（图2）,自由度是4,对应于4个独立坐标的位形空间是4维的加上一个刚性杆约束，使系统的自由度减少为3,系统只有3个独立坐标，对应的位形空间是3维的在位形空间中的任何位形点都是可达的现在考虑非完整约束的影响，在各质点上附加的刀口约束，使质点只能沿垂直于刚性杆的方向运动系统的自由度减少为2,但是所需要的最少的广义坐标数仍然为3从位形空间的角度来看，3维的位形空间中的任一位形点都可以由任何其他位形点到达非完整约束的作用在于限制了在位形空间任•点允许运动的方向，但是这并不能减少位形空间的的维数

④虚功和虚功原理在分析力学中虚功是一个重要的概念，它与用能量方法推导系统的运动方程直接相关，并且是研究系统稳定性的一个重要概念因为虚功的概念与虚位移的概念密切相关，所以我们首先研究虚位移的本质为了引出虚位移的概念，我们考虑一个由N个质点组成的系统，其位形由系统在惯性系中的3N个直角坐标汨，包，的给定，这些坐标可能受有一些约束在任一给定时刻，设诸坐标产生无限小的位移3乂，6电，8检”它们是一些虚拟和假想的位移，因为我们假定这些位移不是发生在一个时间过程中，并且不一定要与这些约束相一致.系统位形的这一微小改变6*叫做虚位移通常情况下，一个虚位移服从瞬时约束，即假定所有的动约束时变约束在虚位移过程中部停滞下来例设这个系统受到/〃个完整约束的用，占，…，=1,2,,mN/=°,J29取」的全微分，可得〃d=+di=0,j=1,2,,ni30一个服从这些约束的虚位移的各个由下面4个方程关联，即2r融=，八1，2,，31这里我们用代替了在方程30中的dx,并且略去仇项，因为在虚位移期间时间约束保持“固定〃类似的，假设系统受到勿个非完整约束，约束方程为=j=1,2,,ni32各5彳由以下m个方程相关联，即EE识=0，1，2,,ni33这就出现一个问题，虚位移能否是实位移，实位移是由一组公描述的，并且是在时间增量公内发生的换句话说，在什么条件下，各5才可以用相应的〃替代？比较方程式30和31说明任何完整约束同时必须是时不变的，即条件~^~=，J=1,2,,A34ct必须适用同样地，任何非完整约束必须满足条件勺=，U=1,2,,ni35至此，对虚位移的讨论所采用的是直角坐标现在来考察一个系统，其位形是由最少数目的广义坐标给定的这样，任何约束都可以是非完整的，并且可以表示为的+%力=°，=1，2,,ni

1.

11.17或者以另一种形式表示为J=1，2,,///

1.

11.18其中各个a都是4和「的函数任何与约束相容的虚位移必须符合条件闻=0,J=1,2,,ni

1.H.19现在我们在讨论虚功的概念让我们再回到由个质点组成的系统，其位形由系统在直角坐标系中的34个直角坐标为，X,,的给定假定力的分量凡，F”作用在对应坐标的正向这些力在虚位移丘上的虚功6/为研=ZFjj

1.

11.20虚功表达式的另一种形式为:力.利

1.

11.21其中F是作月于第，个质点上的力，此是该质点的位置向量，由向量表达式可以看出，虚功与所采用任何特定的坐标系无关，当然，这是假定运动是相对于惯性参考系来度量的在虚功的表达式中，重要的是要认识到在虚位移过程中假定各力都保持不变，即使是实际的力由于无限小位移而发生急剧变化时亦如此力随位置而发生突变是可能的，比方在某些非线性系统中就是这样值得注意的另一点是，虚功表达式被定义为对虚位移是线性的，换言之，虚功类似于一次变分现在来考察有约束系统，我们把作用于第？.个质点的合力分为主动力F和约束力发，约束力的虚功为阿经常存在的多数约束隶属于所谓无功约束可以这样来定义无功约束无功约束是这样的双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的虚功为零可以看出，对于只受有无功约束的系统，虚功5修等于零，即

1.

11.23式中的虚位移5,与瞬时约束相一致无功约束的例子有1质点间相互的刚性连接，2在无摩擦外表上的滑动，和3无滑动的滚动接触，即纯滚动下面详细地来考察第一个例子首先假定两质点由无质量的刚杆相连，如图

1.n.i所示，按照牛顿第三定律.刚杆作用于质点皿和叱上的力是大小相等、方向相反而且共线的因而R=尼e.，=-R

1.

11.24式中，e,是沿着刚性杆方向的单位向量进一步讲，由于杆是刚性的，二质点的位移在杆的方向的分量必定相等，或e6=a Bm

1.

11.25r因此约束力的虚功为零对于在无摩擦外表上的滑动的物体，和无滑动的滚动接触的园盘，也可得到相同的结论除非作出相反的说明，在以后但凡讨论约束时我们对约束力一词应解释为无功约束力在诸如有摩擦的滑动约束情况，切向摩擦力归并到主动力发一类，而法向分量则按通常的方式作为无功约束力来处理单而约束不归入无功约束一类，因为可以找到这样一组许可的虚位移，单面约束力在这组虚位移中的虚功不是零在讨论虚功原理时，将进一步对此加以分析虚功原理虚功概念的重要应用之一是在力学系统的静平衡研究方面，假设所考察的是具有4个质点的平稳系统，如果该系统处于静平衡，则对于每个质点，有F.+R=

01.

11.26因此，所有的力在与约束相一致的任意虚位移中所作的功是零，即工;玛+K.近=汇:凡,近+E\K a=i.

11.27如果我们假定所有的约束力是无功的，而且6右是与约束相一致的可逆虚位移，于是,况二

01.

11.28由式

1.

11.27和

1.

11.28可得到如下的结果附£尸*=

1.

11.29这就证明了下述结论如果受有无功约束的质点系处于静平衡，则对于与约束相一致的任意虚位移，主动力的虚功等于零现在假定，同一个质点系初始是静止的，但并非处于平衡于是，在一个或更多的质点上必有净力作用，并且根据牛顿运动定律，质点将开始沿净力的方向运动由于任何运动必定同约束假定是固定的相一致，我们总可以沿每点实际运动的方向选取一组虚位移在此情形虚功是正的，亦即加=£.比+£/々°（L1L3）反向的诸5r将导致对于该系统的负功但是，不管是什么情形，如果系统不是处于平衡，总可以找到一组与约束相一致的虚位移，它将使得主动力的虚功不是零这些结果可以概括为虚功原理对于受有无功约束而初始处于静止的平稳系统，其静平衡的必要和充分条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的虚功为零

⑤达朗伯原理再来考察只有个质点的系统，并就每个质点写出如下形式的方程E+居一内同=0（7=1,2,,A）（

1.

11.31）和以前一样，式中“和此分别是施加在第，个质点上的主动力和约束力项具有力的量纲，叫做作用于第，个质点的惯性力，其中m是常质量，而其是相对于惯性参考考系的加速度与惯性力不同，习惯地把F和兄叫做真实力或实际力因此，式（

1.

11.31）说明，作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和等于零这一结果称为达朗伯原理在每个质点上全部力的和等于零这样一个要求，类似于静平衡的必要条件由于虚功原理运用于处在静平衡的系统，因而可以将该原理应用于这个包括惯性力在内的力系全部力在任意虚位移中所作的总功是4时（耳+一见E）.况二°（

1.

11.32）这个方程即达朗伯原理的拉格朗日形式，它是经典动力学的最重要方程之一由于在虚功原理的上述应用中包括惯性力在内，该原理的正确性就和对静平衡系统一样，被推广到动力学系统要注意，方程（

1.

11.32）中不包括往往是末知的诸约束力，而仅仅要求主动力/和诸3r与瞬时约束相一致，则该方程既适用于平稳系统，也同样适用于非平稳系统广义力在上面关于虚功的讨论中已经考察了主动力（或是与它们等效的各正交分量）在某一虚位移中所做的功例如，若给定作用于具有A『个质点的系统上的一组力A,A,,网则这些力的虚功为

1.

11.33现在假定，3”个直角坐标小，M,,X3*经由变换式小二X\（Qi,电,,5，£）

1.

11.34=检v（S,袋,，t与〃个广义坐标S，3，，机相关如果将此式微分，井令St=0（由于我们考虑的是虚位移），我们得到（户1,2,,3A

1.

11.35一般地说，式中的系数」■是各°和方的函数，将这些5M的表达式代入式

（33）,得到5卬=£3£“产一西

1.

11.36西7=1日两我们用下式来定义广义力Q，

1.

11.37然后把式

（37）代入式

（36）,改变求和次序，得到

1.

11.38至二尼（S，3，，5，比较一下虚功表达式（

1.

11.33）和（

1.

11.38）,我们可以看出它们在数学形式是相同的前面我们已经把各歹定义为一般的力分量，它们沿各x正向作用于对应的各人由式（

1.

11.33）可见，万也等于所有其它54都为零时在每单位位移中的虚功类似地，我们可以把广义力Q；看成作用于系统的所有/在每单位位移中所做的虚功，但假定其它的5夕都是零这里我们通常假定虚位移足够小，对系统几何形状的影响微缺乏道，且在虚位移过程中各力都保持不变广义力的量纲取决于对应的广义坐标的量纲，但是无论如何，S必定具有功或能的量纲所以，若S代表线位移，则对应的是一般的力另一种情况，如果S是角度，C-则对应的,是力矩在有些情况，广义坐标可能用一种变异形式表示，在此变异形式中平动和转=动都会在系统的不同局部出现在此情形，如果取q.为一无量纲化的比，则对应的,具有能量的量钢通常选取广义坐标的方式是使这些坐标都是独立的然而，若有约束存在，那么在所要求的虚位移中仅有一个万4不等于零时，就要不计这些约束这并不意味可以不计其约束力，因为在这些约束条件下各力R也和一样对广义力有所奉献例如，在非完整系统情形就有广义约束力出现，因为不可能选出独立的广义坐标，这些广义约束力通常表示为拉格朗日乘子的形式在论述虚功原理时，广义力的概念是非常有用的假定所考虑的是无初始运动的完整系统，它受有定常的无功约束如果系统的位形是用独立的广义坐标来表示,则系统处于静平衡的必要与充分条件是主动力产生的全部都等于零这诱使人们寻找广义惯性力的表达式，并在虚功原理中利用它们来导出动力学普遍方程，亦将运动微分方程以广义坐标和广义力表示这是一个可以用来导出拉格朗日方程的有效途径能量和动量势能考虑一个质点，它的位置由直角坐标X,八Z给定，假设作用于该质点的合力尸具有以下分量dV dVdV£=-------F.=-----------F=--------------

1.

11.397”dxdy zdz式中的势能函数/X，必力只是位置的单值函数，也就是说，它不是速度和时间的函数满足此条件的力众所周知为保守力现在来考虑力尸在无穷小位移女中所作的功有4=F dr=F dx+F dy+F dz

1.

11.40x y7将式39代入，可得曳公+-空力+-空〃Z=TVQ,Z dxdy dz由此可见，Mr是恰当微分下面来考察当该质点沿某路径由点/运动到点5时力尸所作的功我可得rB『3W=\F-dr=-\dV=V-V

1.

11.42A AIi由于势能仅是位置的函数，因而可作出下述结论对质点所作的功依赖于初始和终了位置，但与联接这两点的特定路径无关.如果/I和夕两点重合，可进一步得到下面的结论沿任何封闭路径所作的功是零因此，对于任何保守力长有

1.

11.43功和动能关于功和动能，以及动能定理，我们假定读者已经比较熟悉，所以不在赘述需要指出的是，力尸可能是由任何来源所引起的它不一定是保守的此外，保持与质点速度相垂直的力分量都不作功，因而在应用动能原理时可以略去不计广义动量考虑位形由〃个广义坐标描述的系统，我们定义拉格朗日函数Zq,t=T-V

1.

11.44与广义坐标仍相应的广义动量”由下式定义

1.H.45的它一般是诸6和「的函数但要指出，在大多数情况下，拉格朗日函数是的二次式因此，口是的线性函数在一般情况下，势能与“无关，因此Pi=^~

1.

11.46彻拉格朗日方程阐述经典动力学的题目一般有两种方法这两种方法通常叫做矢量动力学和分析动力学矢量动力学基于直接应用牛顿运动定律它侧重于与系统各局部相关的力和运动，以及各局部之间的相互作用另一方面，分析动力学则更关注的是把系统作为一个整体来考虑，并且使用诸如动能和势能这类表述性的标量函数对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程，而无须明显地解出作用于系统各局部的约束力此外，还可以从变分原理中获得新的认识，而这些原理对于透彻地了解动力学是如此重要我们从拉格朗日方程的推导和应用着手，把重点放在动力学的分析方法方面以后还会看到，这种方法对于系统求解更复杂和更困难的经典动力学问题是非常有用的由分析动力学可知，系统的动能为7=2+刀+A

1.

11.47其中冕是各4的齐次二次函数，7；是各摩的齐次一次函数，6则包括其余的各项，这些项都是各和的函数更明显地写出来，石的形式为其中,E3N dx,.Gx,.,,m.----I人西的

1.

11.49j而

1.

11.50其中,

1.

11.51最后,

1.

11.

521.

11.48由式（LIL49）、（LIL51）和（LIL52）可知,系数的,团以及」都是各q和J的函数现在详细地对A加以考察由式（

1.

11.47）、（

1.

11.48）和（

1.

11.49）可以看出，力是在所有偏导数x/£都为零的情况下的总动能，亦即，当所有的约束和参考系都保k持固定时系统的总动能因此，若假定有一个或更多个Q不变的情况，意指系统中有一个或更多个质点在运动，并且反之亦如此；则可得出结论为必定是各0的正定二次函数力的正定性限制了如的取值如果我们定义一个对称的〃〃广义惯性矩阵如其元素为用介石的正定性要求R正定由式（

1.

11.51）和（

1.

11.52）可知，仅在非定常系统情形下，£和A才不为零对于定常系统，其动能交石是各的齐次二次函数在此情形，由式（

1.

11.49）可见，惯性系数砥都是诸g的函数，而不是时间的函数由于7；对各〃是线性的，显然，它可以是正的或是负的另一方面，6是正的或是零作为推导拉格朗日方程的出发点，我们来考虑具有N个质点的系统，将达朗伯原理表达式写成如下形式

1.

11.53空间机器人概述1数学力学基础2冗余自由度机器人3柔性机械臂4欠驱动机器人5机器人灵巧手6

（一）空间机器人的概述

1.空间机器人在空间技术中的地位从20世纪50年代，以美国和苏联为首的空间技术大国就在空间技术领域展开了剧烈的竞赛i苏联1957年8月3日，前苏联研制的第一枚洲际弹道导弹SS-6首次发射成功不久，前苏联火箭总设计师柯罗廖夫从美国新闻界得知美国试图在1957T958年的国际地球物理年里发射一颗人造地球卫星于是，他立即将SS-6导弹稍加修改，将弹头换上一个结构简单的卫星，抢先将第一颗人造卫星送上了太空接着，在第一颗人造卫星发射后一个月，即11月3日，又用SS-6导弹作航天运输工具，将装有小狗“莱伊卡〃的第二颗人造卫星送入太空的圆形地球轨道1959年5月，前苏联又将“月球〃1号人造卫星送入了月球轨道ii美国在1958年以前，以“红石〃近程导弹和“维金〃探空火箭为基础，分别研制成“丘比特〃C和“先锋〃号等小型运载火箭，用于发射最初的几个有效载荷仅为数千克至十几千克的小卫星开展到今天，从地面实验室研究到人造卫星、空间站、载人飞船、航天飞机、行星外表探测器，空间技术大国都投入了大量人力、物力和财力空间技术对于天文学、气象、通信、医学、农业以及微电子等领域都产生了很大的效益不仅如此,空间技术对于未来国家平安更具有重要的意义在空间技术开展的过程中空间机器人的作用越来越明显20世纪60年代前苏联的移动机器人研究所著名的俄罗斯Rover科技有限公司前身研制了世界上第一台和第二台月球车LunohodT和Lunohod-21976年美国发射海盗一号和二号Rover-

1、Rover-2的登陆舱相继在在火星外表登陆，通过遥操作机械臂进行火星外表土壤取样随着空间技术研究的日益深入，人类空间活动的日益频繁，需要进行大量的宇航员的舱外活动EVA,这对宇航员不仅危险，而且没有大气层的防护，宇宙射线和太空的各种飞行颗粒都会对宇航员造成伤害建造国际空间站，以及未来的月球和火星基地，工程浩大，只靠宇航员也是非力所能及的还有空间产业、空间科学实验和探测，这些工作是危险的，但有一定重复性，各航天大国都在研究用空间机器人来代替宇航员的大局部工作此外许多空间飞行器长期工作在无人值守的状态，这些飞行器上面各种装置的维护和修理依靠发射飞船，把宇航员送上太空的方法既不经济，也不现实在未来的空间活动中，许多工作仅靠宇航员的舱外作业是无法完成的，必须借助空间机器人来完成空间作业2空间机器人的任务和分类1空间建筑与装配一些大型的安装部件，比方无线电天线，太阳能电池，各个舱段的组装等舱外活动都离不开空间机器人,机器人将承当各种搬运，各构件之间的连接紧固，有毒或危险品的处理等任务有人预计，在不久将来空间站建造初期，一半以上的工作都将由机器人完成2卫星和其他航天器的维护与修理随着人类在太空活动的不断开展，人类在太空的资产越来越多，其中人造卫星占了绝大多数如果这些卫星一旦发生故障，丢弃它们再发射新的卫星就很不经济，必须设法修理后使它们重新发挥作用但是如果派宇航员去修理，又牵涉到舱外活动的问题，而且由于航天器在太空中，是处于强烈宇宙辐射的环境之下，有时人根本无法执行任务，所以只能依靠空间机器人挑战者号和哥伦比亚号航天飞机的坠毁引起人们对空间飞行平安的关注，采用空间机械臂修复哈勃太空望远镜似乎是一件很自然的事情安装上新的科学仪器（包括一台视野宽阔的摄象仪和一台摄谱仪）后，哈勃望远镜的观测能力可增强十倍以上空间机器人所进行的维护和修理工作包括回收失灵卫星，对故障卫星进行就地修理，为空间飞行器补给物资等3）空间生产和科学实验宇宙空间为人类提供了地面上无法实现的微重力和高真空环境，利用这一环境可以生产出地面上无法或难以生产出的产品在太空中还可以进行地面上不能做的科学实验和空间装配，空间修理不同，空间生产和科学实验主要在舱内环境里进行，操作内容多半是重复性动作，在多数情况下，宇航员可以直接检查和控制这时候的空间机器人如同工作在地面的工厂里的生产线上一样因此，可以采用的机器人多是通用型多功能机器人空间机器人是空间技术研究的重要内容，它是代替宇航员进行空间科学研究和作业的有力工具空间机器人按照用途可以分为i空间站机器人（包括空间站与航天飞机舱内机器人和空间站与航天飞机舱外机械臂）；ii星载机器人（包括空间自由飞行机器人和空间自由漂浮机器人）；iii外星外表探测机器人从空间机器人的结构组成来看，可分为单臂和多臂（主要是双臂）空间机器人（）3空间机器人的特点空间环境和地面环境差异很大，空间机器人工作在微重力、高真空、超低温、强辐射、弱照明的环境中，因此，空间机器人与地面机器人的要求也必然不相同，有它自身的特点由于空间机器人在空间微重力的环境下工作，因此当机械臂运动时，会对载体产生反作用力和力矩，从而改变载体的位置和姿态，即空间机器人的机械臂和载体之间存在着运动学和动力学耦合问题如果不考虑这种力学耦合问题，而依然采用地面固定基座机器人的运动控制技术，空间机器人就无法完成预定的操作任务所以研究空间机器人，首先要解决的是如何考虑这种因素，建立相互作用的运动学、动力学模型及运动控制算法另一个关键问题是在地面上模拟微重力条件的地面试验平台，用来验证空间机滞人运动特殊性、卫星姿态、捕捉目标路径规划等各种运动控制算法的可行性由于是高真空，液体无法附着在固体外表，而且极易挥发，无法采用地面上常规的液体润滑和密封技术，而必须考虑固体润滑和磁流体密封对于舱内空间机器人，要求体积比较小，重量比较轻，抗干扰能力强其次，要求空间机器人的智能程度高，功能全空间机器人消耗的能量要尽可能小，工作寿命要尽可能长由于是工作在太空这一特殊的环境之下，对它的平安性、可靠性和可维修性要求也比较高从控制的角度看，由于空间的遥操作距离远大于地面，时延成为不可忽略的因素，在地面上成功的控制策略和控制方法对于空间的遥操作往往行不通，必须考虑空间机器人的自主性和智能性，以及控制和通信的智能系统总之，由于空间活动的本钱高昂，空间技术的研究和开展需要强大的经济基础为后盾,这导致空间飞行器的设计需要采取特殊的思路，控制系统需要采用先进的策略和软硬件装备由于空间活动的未知因素多，必须具备一定的自主工作能力智能性和灵活性，同时还必须具有良好的容错能力和可靠性空间发射本钱高，减轻发射重量成为诸多考虑因素的首选因素，这就使空间机器人大多为轻质柔性结构，因此具有较大的变形微重力和载体不固定，使得空间机器人系统为非完整系统因此空间机器人的根本特点是轻质柔性、灵活性、容错性、非完整约束、智能性此外为了使空间机器人具有容错性，一般都采用冗余自由度的构形、欠驱动方式和柔性结构这些造成空间机器人系统的高度复杂性和综合性空间机器人的研究涉及多学科领域，它集成了力学、机械学、控制工程、计算机科学、测试技术和通信技术等多学科领域的最新成就4空间机器人开展现状加拿大臂大anadarm的空间机械臂的正式名称是SRMSthe ShuttleRemote ManipulatorSystem,长

15.2m,重410kg已制造并交付使用了5套完整机械臂系统每套臂系统中有2套手动控制器，分别控制3个移动和3个转动等6个自由度该臂末端速度为600mm/s空载；有载荷的情况下的速度为60nlm/s已飞向太空执行任务34次在地面上是用气浮方式模拟太空微重力环境，作二维水平运动来试验、维护的加拿大为国际空间站提供一个移动效劳系统MSS及其有关地面设备作为回报，加拿大将获得国际空间站3%的使用权移动效劳系统包括空间站遥控机械臂系统SSRMS、专用机械手SPDM两局部SSRMS长

17.6m,重936kg,负荷时移动速度为6nmi/s,空载时移动速度为600mm/s,定位精度10nmi/°,能搬动重量为19500kg、尺寸为

18.3m义

4.6m的有效载荷SSRMS可用于空间站的装配与效劳、轨道器的对接与别离、有效载荷操作以及协助出舱活动等，在国际空间站的装配和维护中将发挥关键作用SPDM是一个双臂机器人，每个臂长2m,有7个自由度，能承当目前由舱外活动航天员完成的许多维修和装配任务从1981年第一次太空飞行，SRMS就表现出高可靠性、高效性和万能性，能够对负载进行准确、精细和复杂的操作它是由加拿大MDA公司为美国NASA设计和制造的以后NASA又订制了4台SRMSo加拿大臂能够无缝地实现把卫星放入轨道和回收有故障的卫星1990年4月24日加拿大臂稳固地将Hubble空间望远镜放入轨道从1990年4月到2002年3月它在4次太空飞行中协助宇航员完成了18次太空行走，进行了总计129小时的EVACanadarm的非方案性任务包括去除阻塞的废水口的冰块，它们可能对航天飞机返回时收起天线和激活失效卫星重新放入正确轨道造成威胁在1998年12月，Canadarm在国际空间站的第一次装配任务中发挥了关键作用，实现了美国单元与俄国空间站Zarya的对接Canadarm将会继续在空间站装配中发挥重大的作用加拿大臂由肩关节2个自由度、肘关节1个自由度和腕关节3个自由度，整个臂分为上臂和下臂总质量905磅410kgTechnical DetailsTheCanadarmoorrwsesanupperandtowarmboom,anendelfectof.andaoonrdcentrewheetietanslaionaiandrotationalhandcontoii€fsdirectthemovementofthearm.Lengti152m50ftDiameter38cm05in.时W ilonEarth410kg{905lbs.SpeadofMcvemsnt-unloadad60cnVsec.Q1L3G-loaded6an.sec24hJsecUpperLcwerfirnBoom CartonCcrnposileMatenalWistJcint©的心闸町用ThreagneesdmovamentBbwJoint OnadegreeofmovementShoulderJcxitTAPcfeyeesofmo^en!plchya*呵TransiafcnaiHandCaitroMer it,up.down.foMaid.andbadCA-andmovementsofthsarm网RatatonalHandContioller CenMsthapilch,rol,and vofthaarm2数学力学基础

1.矩阵理论

①矩阵的四个根本子空间线性方程组可以用矩阵形式写为Ax=b1式中，4为mXn系数矩阵，x为〃维向量空间〃的列向量，6为/〃维向量空间〃的列向量如果方程的数目小于未知数的数目，即加S我们假设4是行满秩的，即4的秩r等于他由于方程数勿小于变量数小方程组为欠定方程组由线性代数可知，方程组的解不唯一，在所有的解向量中，有一个解向量是最小范数解其他的解可以认为是由这个解和线性方程组对应的齐次线性方程组4r=0通解之和齐次线性方程的这些解组成了向量空间〃中的一个子空间，称为矩阵力的零空间，或者称为/的核它的维数是〃-机记作MZ如果矩阵Z的秩r小于例零空间的维数则为〃丁类似地，齐次线性方程组/才二0的全体解组成了向量空间*的一个子空间，称为矩阵4的左零空间它的维数是勿-八记作M/如果矩阵行满秩,即r=m,M/为零4的T个线性无关列在加维向量空间中张成一个二维子空间，记作〃力，称为矩阵力的列空间4的尸个线性无关行在〃维向量空间中张成一个r维子空间，，它也可以看成是矩阵/的列空间定理1任何加X/矩阵4其左零空间M/与列空间依⑷互为向量空间中的正交子空间，并且二H⑷㊉2才，一般称为它们互为正交补空间定理2任何/X〃矩阵4其零空间双冷与行空间以互为向量空间;中的正交子空间，并且〃二人/㊉4,一般称为它们互为正交补空间综如上述内容可知，给出一个勿X〃实矩阵4与之相联系的有4个重要的子空间Z的列空间它由矩阵力的线性无关的列生成，用/4表示Z的行空间它由矩阵力的线性无关的行生成，用人/表示4的零空间它由满足齐次方程组4r=0的全体解组成，用M4表示Z的左零空间它由满足齐次方程组0的全体解组成，用4表示一中的两个子空间发/、M4;一中的两个子空间仪⑷、M#它们的关系为R=R⑷㊉M4,且//1=AU；R=RUO©M/，且R种=/¥/；这里，上标”工〃表示是正交补空间

②矩阵的广义逆由对线性方程组4r=6较完整的讨论，可知它可能无解，或有唯一的一组解，或有无穷多组解初看起来，无解的矛盾方程组没有任何意义，但是在实际工程问题中，常常会遇到矛盾方程组，或者叫作超定方程组虽然不能求得4r=6精确解，但是若能求得使||八一同最小，也是具有实际意义的，这就是矛盾方程组的最小二乘解对于欠定方程组，在无穷多组解中常常需要求最小范数解这两个问题不能用一般的矩阵逆的概念解决，这促使人们把矩阵逆的概念推广到长矩阵和非满秩的方阵，这就是广义逆产生的背景1955年Penrose建立了下面的命题对任一个矩阵A w,存在唯一的矩阵G,同时满足下面四个方程{i}AGA=Ax iiGAG=Gx iiiAGT=AGx ivGA T=GA.3它是在Moore在1922年发表的论文基础上提出的一般将同时满足上面矩阵方程的矩阵G称为矩阵4的Moore-Penrose逆，或简称为MP逆，记为4它来源于线性方程组求解，目的是线性方程组痴对下述问题的解能用矩阵形式给出i相容方程的解；ii相容方程的最小范数解；iii矛盾方程的最优近似解；iv矛盾方程范数最小最优近似解这里讨论的矩阵均为实矩阵它确定一个#至〃的线性变换Z是X〃矩阵，才是〃维向量，y是勿维向量前面已讲到，与矩阵4相联系的有四个重要子空间耳的两个子空间会/和MN；〃的两个子空间以4和八储『它们的关系为〃二斤3㊉M⑷，且内才_LM4；〃二斤⑷㊉M/,且换言之，#/与M与互为耳中的正交补空间,以⑷与M/互为〃中的正交补空间关于广义逆，需要用很多时间讲清楚，这里不准备详细介绍只考虑最理想的情况，即矩阵力是满秩的行满秩或列满秩当勿〃，矩阵Z只可能是行满秩；当勿〃，矩阵Z是只可能列满秩有必要研究满秩矩阵的单边逆左逆和右逆它们是广义逆的特例定义1设4W川x\若存在使得〃1=/或而=2,则称G为2的右逆或左逆，记为“或4广可以证明，如果矩阵2£如‘行满秩，则必存在以下形式的右逆，A]=AvAAvy}R如果矩阵力£乃内列满秩，则必存在以下形式的左逆,。