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第十章J计数原理1时.二项式系数是递增的R7九-I rZ-.当r号时.二项式系数是递减的增减件与最当〃为偶数时.中间的二项式系数最大大值一当H为奇数时.中间两项的二项式系数相等且最大二项（）（、（、+（”=_1_1+..._|_r+...2”n1vn vn八二式系课前•
⑨做敖材数的仁+3+仁+…―和亿知识清单
1.二项式定理考点高考试题考查内容核心素养2017•全国卷HI・T4・5分利用二项式定理求特殊项的系数数学运算利用二项式定理求特殊项的系数2016•全国卷I-T14-5分数学运算二项式定理2015•全国卷I-T10-5分利用二项式定理求特殊项的系数数学运算利用二项式定理求特殊项的系数和数子算2015•全国卷II・T15・5分本节是高考重点考查对象，主要考查二项展开式的通项，二项式系数，展开式中项的系命题分析数等知识.一般以选择题填空题形式出现.第三节二项式定理二项式定理m+byl=C初〃+C=〃—1+…+CZ—7/+…+CSVS£N+）二项式系数二项展开式中各项系数C；G=O,1,…，n二项式通项77+LCQ”方,它表示第一+1项
2.二项式系数的性质与首末等距的两个二项式系数相等.即提醒
1.辨明三个易误点1通项G+i=C，r〃是展开式的第r+1项，不是第厂项.芬麦提第融会贯通我稳操既恭介不
（2）（〃+与〃与S+）〃虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量〃与第二个量b的位置不能颠倒.
（3）易混淆二项式中的“项”“项的系数.项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C；G=O,1,・・.，〃）.
2.二项展开式系数最大项的求法如求他+云）〃（〃，b£R）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项1，系数分别为4,A2,…，A〃+I,且第〃项系数最大，应用，、人从而解出〃来，即得.〔424+1,小题查检
1.判断下列结论的正误（正确的打“J”，错误的打“X”）（i）c/「7/是m+与〃展开式中第〃项.（）
（2）（〃+人）〃的展开式中某一项的二项式系数与〃，b无关.（）品⑶（）〃；（）C1—2+3G—…+—l MC=
0.（）〃〃・・・（）〃（）〃（42-C-2-2++―1-©2+—1=
1.
（5）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（）
（6）（+〃）〃某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同・（）所以（1+§（1+x）6展开式中含f的项为1・C和/Ct/.6X5金方因为C5+C4=2=2X［=30,所以（1+凸（1+幻6展开式中x2的系数为
30.故选C.解析选C因为（1+幻6的通项为C疝，
3.（2017•全国卷III）（x+y）（2x-y）5的展开式中的系数为（A.-80B.-40C.40D.80解析选C因为xy=x.x2y3,其系数为—c*22=—40,2,3=.3,2,其系数为＜323=
80.所以的系数为80—40=
40.故选C.
4.（教材习题改编）化简〃+©〃+…+C犷』解析（1—1）2〃=以一…+C绍
①（i+i）2〃=cg〃+cL+cL+…+c资
②②一
①得a〃+c3〃+G〃+・・・+c;—|=22〃」答案22〃一1课堂•考点突破忏生互动讲练结合曳雄我掌握考点❶二项展开式中特定项或系数问题［明技法］求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项77+i=CM〃一7/的特点，一般需要建立方程求心再将/的值代回通项求解,注意，的取值范围（「=0,12…，，）.
（1）第相项止匕时r+1=加，直接代入通项，如“题组集训”第2题；
（2）常数项即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的事指数为建立方程；
（3）有理项令通项中“变元”的基指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.［提能力］【典例】
（1）（—一$4+G+）8的展开式中的常数项为（）A.32B.34C.36D.38解析选D（一一号4的展开式的通项为/+产C4%3尸•（一D=3（-2）32-4「，令12—4r=0,解得r=3,的展开式的通项为+尸盘卡也＞=C-2/，令8—2厂=0,得厂=4,所以所求常数项为Ci（-2）3+Ct=
38.
（2）若（4x+；）（2x+）5展开式中的常数项为-40,则=.a解析（2x+1）5展开式的第一+i项为乙+1=Cg（2x）5r（）=C425rx5-2「，因为（QX+j（2x+/）5的展开式中的常数项为一40,所以40a+80=-40,解得〃=一
3.答案一
331.（2015・湖南卷）已知（、一定）的展开式中含二的项的系数为30,则4=（）［刷好题］B.一事C.6D.-6解析选D卜区一口:展开式通项+产墨3）5-（-科5一—r5・・・7；+i=C2（一尸一2=（一〃）（§/-r,3;含/的项系数为30,取〃=1即一〃・C!=30,.a=-6,故选D.
2.（2017•山东卷）已知（l+3x）〃的展开式中含有％2项的系数是54,则〃=.解析（l+3x）〃的展开式的通项为+i=C；（3x）令r=2,得乃=9C
1.由题意得9cA54,解得〃=
4.答案4考点❷二项式系数的和与性质问题［明技法］
1.赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（以+切〃、（ax2+bx+cyj（a,b£R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=l即可;对形如（以+力0〃3,A£R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.
2.二项式系数最大项的确定方法⑴如果n是偶数,则中间一项（第5+1项）的二项式系数最大;则中间两项（第哆1项和第M项）的二项式系数相等并最大.⑵如果〃是奇数,［提能力］【典例】（
2018.辽宁联考）⑴若（5+金开展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展式的常数项是（）A.360B.180C.90
（2）^（1—2x）4=ao+a\x-\-a2x1+,则a\+02+03+04=.解析
（1）展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以〃=10,通项公式为7+I=C IO（G）5{|}=©022-2r,所以r=2时，常数项为
180.
（2）令X=1可得（）+1+2+3+4=1；令X=0,可得0=1,所以1+2+3+4=
0.答案
（1）B
（2）0［刷好题］
1.（2018•漳州模拟）已知（21一1）1°=0+〃1%+2%2一II-4Z9X9+6Z IOX10,贝ij z+sH---------------------------------卜〃9+〃10的值为（）A.-20B.0C.1D.20-------------解析选D令X=l,得Qo+m+a2H19+10=1,再令X=0,得〃0=1,所以+念+…+9+10=°,又易知a\=CoX21X（—1）9=-20,所以及+密+…+9+10=
20.
2.（x—2y）6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（用数字作答）.解析二项式系数最大的项是A=C标3（—2y）3=-160xy,故填一
160.答案-160多项展开式中的特定项或系数问题［析考情］在高考中，常常涉及一些多项式问题，主要考查学生的化归能力.常见的命题点有
（1）几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题；
（2）几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题；
（3）三项展开式中的特定项（系数）问题.［提能力］命题点1:几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题【典例1】（2018•荣成模拟）在1+（1+X）+（1+X）2+（1+X）3+（1+X）4+（I+X）5的展开式中，含％2项的系数是（）A.10B.15C.20D.25解析选C含x2项的系数为C9+C+CS+CW=
20.命题点2几个多项式积的展开式中的特定项（系数计可题【典例2］（
2014.课标全国卷I）（x—y）（x+y）8的展开式中x2/的系数为.（用数字填写答案）.解析依题意，（x+y）8的二项展开式的通项为7；+1=（2a8一了；0式〃8,r£Z,当〃=7时，7s=Clxy1=Sxy1;当r=6时，7=Ctr2y6=28X2/.；•（X—y）（x+y）8的展开式中X2y项为X-8xj7+（—^）-2Sx2y6=-20X2/,故2y7的系数为一
20.答案一20命题点3三项展开式中特定项（系数）问题【典例3】（2015,全国卷I）（f+x+y）5的展开式中，丁尸的系数为（）A.10B.20C.30D.60解析选C方法一（f+x+y）5=［（x2+x）+y］5,含）2的项为八二3⑴+工产/其中+x）3中含X5的项为Ch+xnC*
5.所以2y2的系数为Csd=30,故选C.方法二（f+x+y）5为5个f+x+y之积，其中有两个取y,两个取％2,一个取x即可，所以V产的系数为cgGc|=30,故选C.［悟技法］
1.对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可.
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.［刷好题］
1.（2015•全国卷ll）（a+x）（l+x）4的展开式中x的奇数次累项的系数之和为32,则=解析（1+x）4=1+4x+6x2+4x3+d故（〃+x）（i+幻4的展开式中的奇次赛的项分别为4ax,4^x,6x3,xx5,其系数和4a+4〃+l+6+l=32,解得=
3.答案
32.（%+〃严的展开式中,/的系数为15,则〃=解析「+1=00x1°—”,（用数字填写答案）.令10一r=7,得厂=3,10X9X8%.%・・・；即C oa3=15,・・3X2X10=15,答案
3.2017•浙江卷已知多项式x+l3x+22=X5+7iX4+6r2X3+t73X2+24x+6Z5，则4=，Cl5=・解析44是X项的系数，由二项式的展开式得26i4=d-Cl-2+CM-2=16;5是常数项，由二项式的展开式得cis=C^,C^,22=
4.答案164。
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