高考总复习文数（北师大版）讲义第7章第05节直接证明与间接证明

第五节直接证明与间接证明考占

八、、J高考试题考查内容核心素养直接证明与间接证明未单独考查对直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、命题分析数列、不等式、立体几何、解析几何等综合考查.课前.回顾双材夯恚提能纵会贯通我稳操胜券介不法知识清单

1.直接证明综合法分析法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个算法则，通过演绎推理,一步一步地接近要证明结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条定义的结论,直到完成命题的证明，这样的思维方法件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的称为综合法.思维方法称为分析法.思维过程由因导果执果索因证题步骤尸（已知）今尸1今尸2台…今尸〃今（结论）（结论）仁勒仁2仁…仁〃仁P（已知）文字语言因为……，所以……或由……，得……要证……，只需证……，即证……符号仁语言

2.间接证明反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、定义公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反向不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.

（1）作出否定结论的假设；

（2）进行推理，导出矛盾；⑶否定假设，肯定结论.证明步骤适用

（1）否定性命题；范围2命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；3当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；4要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.提醒辨明两个易误点1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证欲证…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论.2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.0小题查检

1.判断下列结论的正误正确的打“，错误的打“X”1综合法是直接证明，分析法是间接证明.2分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.3在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.4证明不等式源+#＜木+加最合适的方法是分析法.5用反证法证明结论“，＞/”时，应假设6反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.答案1义2X374V5X6X

2.用分析法证明欲使

①只需

②这里

①是

②的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选B由题意可知，应有

②今

①，故

①是

②的必要条件.

3.命题“对于任意角仇cos4一sin%=cos20”的证明^cos4sin4^=cos2sin2^cos2O+sii＜9=cos2sin29=cos29”过程应用了A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法解析选B结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确.

4.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于60解析选B因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”，即“三个内角都大于60”.

5.教材习题改编用分析法证明不等式如一族〃一12—■“〃一3〃一3时,最后推出的显然成立的最简不等式为.解析要证a-Z-y]a-3,只需证y[^i+yja—37a—2+y]a—1,两边平方得^〃伍-3[〃-2Q—1,两边由平方得0V2,显然成立.答案02课堂•考点突破忏生互动讲练结合重难我掌握公疝考点❶只需证cb+c+aa+Z=a+//+c,需c12-\-a1=ac+b3,又△ABC三内角A,B,C成等差数列，故3=60,由余弦定理，得b1=c1+a1—27CCOS60°,即b2=c2+a1—ac9故c1+a1=ac-\-b1成立.于是原等式成立.［刷好题］分析法的应用[明技法]+Z7+Q C即证，=3也就是分析法证题的技巧Z+c a+b1逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价或充分的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证.[提能力]【典例】已知△4BC的三个内角A,B,C成等差数列，A,B,C的对边分别为m b,2|3求证^+b+b+^=a+b+c113证明要证F+H=工〃工，a-rb b+c a+b+c〃2+」一/巳+1一

2.已知a0,求证:证明要证//+!一2,\J VvCzv只要证\//+」5+22〃+，+

6.*/«0,故只要证（弋+,+2）20++也）2,即4+*+72+*+心/+2+*+2吸（a+1）+2,从而只要证2y次+}+,只要证4（/十点）22（/+2+点），即/+十22,而上述不等式显然成立，故原不等式成立.考点❷综合法的应用［明技法］综合法证题的思路［提能力］【典例】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin5+sin Bsin C+cos23=

1.⑴求证a,b,c成等差数列;27r⑵若NC=7，求证5a=3b.证明1由已知得sin Asin B+sin BsinC=2sin2B,因为sin3W0,所以sin A+sinC=2sinB,由正弦定理，有Q+C=2，即a,b,c成等差数列.27r⑵由C=7，c=2b-a及余弦定理得2〃一2=/+〃2+出，即有56活一3〃=0,所以5a=3b.［刷好题］2018・聊城模拟已知函数/九=lnl+x,gx=a+bx—^x2+|x3,函数y=/x与函数y=gx的图像在交点0,0处有公共切线.1求m b的值；2证明yuWgx.g0=/0，由题意得/0=屋0,⑴解:fx=Y^p grx=Z—x+x2,解得Q=o,b=\.2证明令/zx=/x—gx=lnx+l—]x—

1.I—则力幻=干一*+尤—1=干.所以〃x在一1,0上为增函数，在0,+8上为减函数.故/lX x=/10=0,〃XW/0=0,即八九WgX.ma反证法的应用［明技法］用反证法证明命题的基本步骤⑴反设，设要证明的结论的反面成立.⑵归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾.⑶否定反设，得出原命题结论成立.［提能力］【典例】已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且满足斯+s〃=

2.⑴求数列｛斯｝的通项公式；⑵求证数列｛斯｝中不存在三项按原来顺序成等差数列.1解:当〃=1时,u+Si=2ai=2,则0=

1.又〃+S〃=2,所以斯+i+S〃+i=2,,所以｛〃〃｝是首项为1,公比为;的等比数歹L2证明假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为劭+i,的+i,a+\pqr,且p,q,rr£N+,则2,=所以2・2「一夕=2厂〃+

1.*又因为pqr,所以厂一夕，厂一p£N+.所以*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.［刷好题］已知x£R,〃=x2+,,Z=2—x,c=x2-x-\-1,试证明a,b,至少有一个不小于

1.证明假设a,b c均小于1,即〃vl,b\,cl,9贝有〃+/+c3,而6r+Z+c=2x2—2X+T+3=2X-Z2+3^3,两者矛盾，所以假设不成立，故a,b,c至少有一个不小于

1.。