高考总复习理数（北师大版）第9章第10节第1课时圆锥曲线中的最值与范围问题

第为蕈-平面解析几何第十节核心素养考占高考试题考查内容-J

八、、椭圆方程、几何性质，直线与椭圆2017•全国卷I T2012分的位置关系，定点问题椭圆方程、几何性质，直线与椭圆圆锥曲线的2016•全国卷H・T20・12分数学运算的位置关系，求参数的取值范围综合应用逻辑推理直线与椭圆位置关系，弦中点，直2015•全国卷H・T20・12分线斜率与方程，四边形面积问题高考对本节内容的考查以解锥答题为主，难度较大，考题大多围绕直线与圆j■命题分析定值，最值，参数取值范围等问题的考查.曲线的位置关系展开对圆锥曲线的综合应用第一课时圆锥曲线中的最值与范围问题课堂•考点突破忏生互动讲练结合曳雄我掌握考点❶圆锥曲线中的最值问题［明技法］圆锥曲线中求解最值问题的常用方法1建立函数模型利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值.2建立不等式模型利用基本不等式求最值.3数形结合利用相切、相交的几何性质求最值.［提能力］【典例】2018,安阳月考设椭圆M+%=14心0的离心率与双曲线f-y2的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为

4.1求椭圆〃的方程；2若直线加交椭圆M于A,3两点，Pl,6为椭圆M上一点，求△RLB面积的最大值.解

（1）由题可知，双曲线的离心率为后，则椭圆的离心率e=C=号,a，由2a=4,色=号，h2=a1—c2,得a=2,c=y/2,b=y［2,aL故椭圆M的方程为亍+弓=

1.y=y[2x+m92联立方程“尤+9]X.得4f+2+祇4=0,2—由A=2y[2m2—16m2—40,得一2吸VmV2色.正f,十2m，X1X2=—且《.m4X\X2=4，所以|A3|=y[l+2\x\=小々—X2I3+i22—4XI12又P到直线A8的距离为d=嗯,所以S^PAB=^\AB\-d=；74一号第=之4（4-号）加1m2+8-m2*2当且仅当加=±2£（—2吸，2吸）时取等号,所以（S△%gmax）=4i［刷好题］

721.已知椭圆，+$=1（0＜从2）与y轴交于A,5两点，点/为该椭圆的一个焦点，则4ABF的面积的最大值为.解析不妨设点、F的坐标为（勺4一属,0）,而|A8|=2，1匕4一2Z义寸4一J=川4一J=取4一吩）或——-2—+—=2（当且仅当b2=4~h2乙,SAABF=5X9乙即2=2时取等号），故AAB产面积的最大值为

2.答案

22.（2018・长春模拟）已知抛物线V=4x的焦点为「过点方的直线交抛物线于A,B两点.1若求直线A3的斜率；⑵设点M在线段48上运动，原点关于点M的对称点为C,求四边形O4C8面积的最小值.解1依题意知F1,O,设直线AB的方程为x=my+\.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去得y2-4my-4=Q.x设》A3,y,5X2,2,所以加，yi+.=4yiy2=-

4.

①因为苏=2而，所以》=一

2.

②联立

①和

②，消去巾，，得根=土乎.所以直线A3的斜率是±2，12由点与原点关于点M对称，得M是线段的中点，从而点与点C到直线AB的距离相等，所以四边形QAC8的面积等于2sAAOB.因为2s△AO3=2・T・|OF|・|yi—y2l=yy+y22—4yiy2=4［l+m2,所以当m=0时，四边形O4C8的面积最小，最小值是

4.考点❷圆锥曲线中的范围问题［明技法］圆锥曲线中求解范围问题的常用方法1利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.3利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.4利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.5利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.[提能力I【典例】2018•贵阳监测已知椭圆C5+最=1心Q0的离心率为当且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为小一也.1求椭圆C的方程；2已知过点70,2的直线/与椭圆交于A,B两点,若在x轴上存在一点使乙4股=90，求直线/的斜率攵的取值范围.解1设椭圆的半焦距长为c,c y16则由题设有卜一3^a—c=yl3—y[2,解得〃=小，c=y[2/.b2=1,9故椭圆的方程为弓+f=L2由已知可得，以A3为直径的圆与x轴有公共点.设为，%,中点为例州,4BX2,2,A3xo,将直线/:丁=h+2代入^■+-=1,得3+Ff+4+1=0,—4k1~2kxi+%2yo=Axo+2=一・・M4=121-12,口,为％储.X]+%2=32=3\AB\=yj1+Zr|xi—X2I=.14及+Q・+XI+X22—=y/l+kfJ=12Zr-120,由题意可得d解得六三13,即攵三加或左或一酊§.故直线/的斜率k的取值范围是―°°,-^13]U[^13,+°°.[刷好题]2018・贵阳月考设椭圆及了J=la0的焦点在x轴上，且椭圆E的焦距为a0-ci

4.1求椭圆石的标准方程；57r_2过椭圆外一点M,0Oo作倾斜角为不的直线/与椭圆交于C,D两点，若椭圆E的右焦点尸在以弦CD为直径的圆的内部，求实数机的取值范围.x2V2解析

1.•椭圆140的焦点在X轴上，^2=/2+c2,a o-cr.•・/8—即标4,又・・・/一8一层=4,.a2=69所以椭圆方程为菅+-=L o22因为直线/的倾斜角为，则直线/的斜率攵=tan一坐,・二直线/的方程为y=一当x-,设Cxi,yi,DX2,,一骂…,.3消去y得2〃2%+切6=0,2A2—2—6,j+3y2=m2—6/.xi+x2=m,x\X2=-2-且/=—2根8/—60,即切12,2—2V,・•椭圆的右焦点厂在以弦CD为直径的圆的内部,.FCFD0,即汨一2%2一2+9”〈0,Qn+6xi，层+12V0,/.4%1%2-+12+祖62_4~~z—m+6Xm+m2+120,X即m2—3m0,则0V〃2V3,又〃2加，m212,/.m£yjb,

3.实数机的取值范围玳，

3.。