第一章集合与常用逻辑用语（压轴题专练）（全题型压轴）

第一章集合与常用逻辑用语（压轴题专练）01单选压轴题

1.（2024・浙江绍兴•模拟预测）对于集合A,B,定义A\B={x|xeA且工史国，则对于集合A={X|X=6〃+5,九wN},8={yly=3/篦+7,},C=x|x£且xvlOOO},以下说法正确的是（）若在横线上填入”则的真子集有个.A.rr,-1B.若在横线上填入“U，则C中元素个数大于

250.若在横线上填入“\，则的非空真子集有个.C.C2153-2D.若在横线上填入“U*“，则短中元素个数为

13.【答案】B【分析】根据各个选项确定相应的集合然后由集合与子集定义得结论.C,【详解】X=6〃+5=3X（2〃+1）+2,y=3m+7=3（m+2）+1,集合A3无公共元素，选项中，集合为空集，没有真子集，错；A A选项B中，由6〃+5vl000得〃165],由而+71000得加331,因此C中元素个数为166+331=497,6正确；B选项中，中元素个数为非空真子集个数为侬一错；C C166,22,C选项D中，贬=HAU翔/）=3口需（*）=通0—而8=6,因此其中元素个数为331个，D错.故选B.

2.（2024高一・全国）已知集合A=则集合笈等{—2,—l,l,2},5=mm=L|L,x£A,y£A,于（A.{-2,-1,0,1,2}B.【答案】D【分析】根据羽）的取值分情况讨论，代入根=土+上计算即可.y%XV【详解】=—时，m=2,y%时，m=-2,］或］或或时，m=—,［或x=_y x=_2,y=_x=2,y=x=_l,y=_2x=l,y=2x=2,y=—2或或时，m=--x=-2,y=1x=-Ly=2x=l,y=-22实数集关于数的乘法构成群C.R=卜+何〃力遇关于数的加法构成群D.6【答案】AD【分析】根据“•”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可.【详解】对于选项，对所有的、bcG,有，力且满足

①乘法结合律；A EG,（）使得^]\-a=a-\=a*2=1G,Va^G,G

（3）e G,3（7eG,有a-a=a・a=l,故A正确；对于选项，

①自然数满足加法结合律；B

②孔=0£N,使得DQEN,有0+=〃+0=4；但是对于OwN,1e N,不存在使l+〃=b+l=O,故B错误；对于C选项，对所有的、bwR,有a・b£R,

①实数满足加法结合律；

②至=1£R,使得VQER,有l.a=a.l=a；但对于IcR,OeR,不存在Z^R,使

0.〃=60=1,故c错误；对于D选项，对所有的、beG可设=x+0y,b=s+万，（x,V,$,^Z）,9则（）（）a+/=x+s+V2y+r G,G

①G满足加法结合律，即X/、bcwG,有（a+〃）+c=a+（〃+c）；

②矢=OwG,使得VawG,有e+Q=〃+e=Q；

（3）\/aeG,设=工+夜）,x,y^Z,3/=-x-\/2y G,^a+b=b+a=e,故D正确.G故选AD.（高一上.湖北.阶段练习）若平面点集，满足任意点存在正实数人都有（尢））£加,则称该点集为“邛

5.2324介集”，则下列说法正确的是（）2A.若〃=｛（无y）及=—｝是“邛介集”，则，=1若加=｛（九产）及=｝是“邛介集”，则为任意正实数B.2%f若“=｛（乂州/｝是“邛介集”，则C.W4y0Yl若加=｛（乂丁）|丁｝是“邛介集则,D.2«1【答案】ABC【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可.2【详解】对于若/=｛（乂》及=—｝是“邛介集”，则）=—,所以产txA,=1,JC因为/〉所以？=故正确；0,1,A对于若〃=｛（）｝是“阶集，则）比，则/为任意正实数，故正确；B,x,y|y=2x=2B对于若〃=｛（毛丁）|工｝是“邛介集，则（比『）由，〉得出比C,244y44,024y,当Ov，4l时，tx2x24y,所以立

24、，当rl口寸，取x=l,y=

0.25,满足fjy,但是比〉所以为使/成立时，及正实数，的取值范围是故是正确；对于若“={乂2=/i=4y,4y244y,0%1,C D,刈”«}是“邛介集”，则而，当£=1，y=4,x=3时，y/tx==—=^^-—,故不成立，故D错误.9V3399故选ABC.【点睛】方法点睛新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.03填空题压轴

1.2324高三下•全国•阶段练习已知集合A={q9，・・,M,〃},3={x£N*|0vxv38},C={x|x=5〃,〃£N*},若且中任意两个元素之和不在中，则加的最大值为.A=A C【答案】17【分析】由已知，・・・A=3,所以集合A中的元素最多有37个，集合中的元素是5的倍数，将8集合按5的倍数和相差分为组，由集合中任意两个元素之和不在中，观察组数中任取两个之和不是的倍数，从55A55而得到加的最大值.【详解】由题意得可将集合分为组，用来表示集合中元素个数，55card则；4={5,10,15,20,25,30,35},card4=7则A={1,6,11,16,21,26,31,36},cardA=8,4={2,7,12,17,22,27,32,37},则card4=8；={3,8,13,18,23,28,33},则card4=7；则；A={4,9,14,19,24,29,34}card4=74A中任意两个元素之和不在集合c中，故A和A，4和4中不能同时取数，且4中最多取一个，所以最多的取法是取和中的一个元素，故机的最大值为故答案为ADA cardA=8+8+1=17,

17.:

17.max.若规定集合,〃}的子集为的第％个子集，其中=卬+品,则的第2E={0,12………4}E222+2%+……+2E211个子集是.【答案】{0,146,7}【分析】正确理解左的含义,左=2”时,即要先求出满足2〃v211,2日211的〃=7,即E的第211个子集应含有的元素，计算出211-27=83,再要求满足2〃83,2e83的〃=6,即E的第211个子集应含有的元素，如此类推即得.【详解】027=128211,28=256211,则E的第211个子集必包含7,此时211—128=83；又因26=64v83,2,=12883,则E的第211个子集必包含6,此时83-64=19；又2=16v19,25=32,19,则E的第211个子集必包含4,此时19—16=3；又2:23,22=43,则石的第211个子集必包含1；而2°=

1.综上所述，的第个子集是E211{0,1,4,6,7}.故答案为{0,1,4,6,7}.【点睛】关键点点睛本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言.（高一.全国）给定集合用=若集合且对集合中任意两个元素无、儿不妨设工儿都

3.2024{12…,2014},NqM,N有x+yeN或x-yeN,则称集合N具有性质P.假定集合N满足形式{为，勺+1,・・・,2014},则具有性质〃的集合N中的最小元素册=.【答案】672【分析】根据题意，具有性质〃的集合N满足形式{为4+1,・・・,2014}，且％1007,一定有2014-品£口且册2014-4,结合新定义，讨论极端情况（2014-勺）-狐=4-1,求解即可.【详解】由题意分析可得具有性质〃的集合N满足形式{4,金+1,・・・,2014},且册1007,那么一定有劣且册2014-$N,2014-%.・・・任意的都有x+yeN或x—yeN,最极端情况（2014-4）-4=册-1,解得册=

671.

6.当金时，经检验不满足题意;当册时，满足题意.=671=672故答案为

672.

4.用⑶表示非空集合A中元素的个数，定义=5〉筒’若人={0，1}，8=卜卜+办）（f++3）=o},4*3=1,则实数a的所有可能取值构成集合S,则5=.【答案】）{0,273,-273【分析】先由题中条件，得到忸|=或恸结合方程分别求解，即可得出结果.1=3,【详解】因为网=所以冏或忸2,4*3=1,=1|=

3.当忸|=1时，关于x的方程（丁+㈤⑺+依+3）=o有1个实数解，Q=0所以解得4=

0.△=2-120当恸时，关于的方程Y+词仁+依有个实数解,=3X+3=03方程/+ax-0有两个解为和一，贝10和一都不是方程x+ax+3=0的根,Q W0所以需满足2S八，解得=±A

2.[△=〃-12=0当〃时，瓜+=的解为—百，符合题意；=26/+23当〃=—时，氐+的解为外，符合题意.261—23=0综上，〃的所有可能取值为0,26，-20即所求集合S为｛,2班,-26｝.故答案为｛，｝26,-

26.

5.已知有限集A=｛《,％,・・・,巴｝〃22,〃£N,如果A中的元素qi=l,2,L,〃满足a就称A为“完美集q+%+…+%=4x%x.・・xn9

①集合｛后｝是“完美集”；-1-V3-1+

②若生、%是两个不同的正数，且｛4%｝是“完美集”，则卬、〃2至少有一个大于2；

③二元“完美集”有无穷多个；

④若则“完美集，工有且只有一个，且〃4EN,=

3.其中正确的结论是填上你认为正确的所有结论的序号【答案】

①②③④【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质,可判定

①②③正确;设A中q〃23得到…分〃=2和〃=3,两种情况分类讨论,【详解】对于

①中，一1可判定

④正确.一6+—1+6=-2,-l-V3-l+V3=-2,集合卜后-是“完美集所以

①正确；对于

②中，若卬、出是两个不同的正数，且也,%｝是“完美集”，1-1+§根据根和系数的关系卬和〃2相当于V-ZX+.=0的两根，由△二产一期〉，解得，4或，0舍去，所以4・%4,所以卬、出至少有一个大于所以

②正确；对于

③中，由

②知，一元二次方程了一比+/=，当，取不同的2,2值时，力,生的值是不同的,所以二元“完美集”有无穷多个，所以

③正确；对于

④中，不妨设A中4/4，由可卜％na,得aa a_n,4%,••=q+Q2Hn x2n[当〃=2时，即有力2,所以q=l,于是1+2=%，出无解，即不存在满足条件的“完美集”；当〃时，故只能%求得%=3423,=1,%=2,=3,于是“完美集只有一个，为”A{1,2,3}.当〃4时，由4%Ix2x3x---xn-l,即有〃Ix2x3x.・・x〃一1,事实上，Ix2x3x・・・x〃—12几-=/-3〃+2=〃-22-2+〃〃，矛盾，所以当〃时不存在完美集所以

④正确.24A,故答案为

①②③④.【点睛】方法点睛新定义有关的问题的求解策略

①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；

②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”,逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.04解答题压轴.

1.2024高二下.全国・专题练习已知S={1,2…AqS,7=亿4}=5,记4=卜k=々+j〃£A}i=l,2,用|X|表示有限集合X的元素个数.⑴若〃分别讨论和〃={时,集合的情况;=4,an4=0,4={123}1,2,4}7⑵若〃求的最大值；=6,AAA=0,若〃|川=则对于任意的是否都存在使得说明理由.3=7,4,A,7,4n4=0【答案】⑴当4={123}时,T={1,4}；当各={1,2,4}时,T不存在;⑵1不一定存在，理由见解析3【分析】⑴由已知得以其中，北A,当4={1,2,3}时，GJ相差3；由此可求得乙当人={1,2,4}时，同理可得；若〃口=当时，则卜相差所以2=6,40,S={1,2,3,45,6},A={2,3,4,5,6}L5,7={1,6},A中至多有5个元素，所以4,4也至多有5个元素，求出4，42得出结果.3当4={125,7}时,2-1=1,5-1=4,5-2=3,7-1=6,7-2=5,7-5=2,则々弓相差不可能1，可得结论.2,3,4,5,6,【详解】若则匕，其中力1an4=0,4―WA,否则4+〃=G+儿4n4w0,若〃当时，=4,4={1,2,3}2-1=1,3—1=2,所以则卬相差4—22,-23,因为S={123,4},T={4w}qS,所以丁={1,4}；当八={时，1,2,4}2—1=1,4—2=2,4-1=3,所以4T2工1，2,3,因为S={1,23,4},T={m}qS,所以丁不存在；若〃2=6,404=0,S={1,2,3,4,5,6},当时，A=S2—1=1,5-1=4,5-2=3,7—1=6,7-2=5,7-5=2,所以所以丁不存在；AwS,41,2,3,4,5,所以中至多有个元素；A5当寸，4={2,3,4,5,6}«3-2=1,4—2=2,5—2=3,6-2=4,所以则％,J相差4—2123,4,5,所以T={1,6}；卜.=A,=X=Q+/j,Q£A}1,2,所以A={345,6,7},4={8,9,10,11,12},A UA={3,4,5,6,7,8,9,10,11,

12.因为A中至多有5个元素，所以A，4也至多有5个元素，所以阕的最大值为RD

10.不一定存在，3当时，4={1,2,5,7}2-1=1,5-1=4,5-2=3,7-1=6,7-2=5,7-5=2,则，2相差不可能1，2,3,4,5,6,这与7={4,幻口{123,4,567}矛盾，故不都存在T.Y（高二下.云南昆明•期中）设是非空实数集，且若对于任意的都有一£儿则称

2.2324A OeA.集合具有性质勺；若对于任意的都有外则称集合具有性质鸟.A£4,A（）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合并证明；14A,⑵若非空实数集A具有性质求证集合A具有性质6；⑶设全集=是否存在具有性质£的非空实数集使得集合为具有性质《？若存在,写出这样{NxwO,%wR},A,A的一个集合；若不存在，说明理由.A【答案】

（1）A={—1』，证明见解析⑵证明见解析（）不存在，理由见解析3【分析】

（1）根据题意直接写出A根据定义证明即可；（）根据性质可知分别说明集合中元素为个、个、大于个时，集合中元素满足性质鸟即可；2kA,A122b

（3）令集合5=

①人，设可得一=1EB,令ceB,且cwl,

①QCEB,aeB,这与8b矛盾；

②得B,因此=这与矛盾综上可得到结论.a aOCEA,A【详解】

（1）恰含有两个元素且具有性质片的集合A={-1,1};证明-=1G A—=-le A—=-le A,—=1-11-1

（2）若集合A具有性质片，不妨设由非空数集A具有性质耳，有0=a

①人川】},易知此时集合具有性质鸟.A

②数集只含有两个元素，不妨设冯},A4={1由=且产解得此时集合具有性质鸟.4,1,4=-1,A

③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为的元素知生£人，A1则有由于集合具有性质%A所以有2+（=的2e区,这说明集合A具有性质6；

（3）不存在具有性质尸2的非空实数集A,使得集合aA具有性质片，由于非空实数集具有性质鸟，令集合A3=^4,依题意不妨设〃£氏£4b因为集合具有性质耳，所以=3=1E5,若则6={1},IWL’EA,因为非空实数集具有性质，故这与矛盾，A5=1EA,5={1}故集合不是单元素集B{1},令ceB,且c wl,

①acw B,可得一B,即这与矛盾；e QEB,3=0,Ac

②改£儿由于所以因此这与口矛盾awAleA,,£3,C+L=a a综上可得不存在具有性质的非空实数集使得集合电具有性质立6A,A【点睛】方法点睛集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.已知集合为非空数集，定义力£T={x\x=\a-b\,a,bEA^.

3.A S={X|X=Q+44A},若集合直接写出集合T；1A={2,3},S,⑵若集合人={芯,%2，，％4}，%%2%3%4，且7=4求证%+%4=工2+尤3；若集合口也冲，记为集合中元素的个数，求同的最大值.340%2023/£5nT=0,A【答案】1S={4,5,6},T={O,1}⑵证明见解析31349【分析】根据题目的定义，即可求得.1⑵根据集合相等的概念，可以证明.⑶通过假设{以根求出对应的集合通过建立不等式关系，求出对应A=+1,m+2,m+3,..2023,}meN,S,T,ScT=0,s的值即可.【详解】当则11={2,3},5={4,5,6},7={0,1}2证明因为集合4={5,/,%3，％4}，％%2%3工4，且丁=4所以丁中也只包含4个元素，即7={0,々一与，七一与，入4一毛}，剩下的元素满足尤2一玉=%3-％2=九4一%3，所以％+%=々+工

3.3集合A={X|04X2023/£N},SCT=0,记|川为集合A中元素的个数，设集合A={《,％,・・・与}满足题意，则4a--a,则々ak2qq+%q+3V4+%+%%+%4T+%2%,2k所以同因为由容斥原理,2201,ScT=0,|5uT|=|S|+|T|3^-l,所以最小的元素为最大的元素为所以以即女-解得SUT0,2%,|Su7|2+1,1W24+1«4O47%£N,A1349,实际上，当人=｛｝时满足题意；675,676,…2023证明如下设4=｛租,机+1,加+2,机+，・・・,2023,｝WE（N）,则S=｛22m+1,2m+2,・・・4046｝,则7=｛012,・・・2023—加｝,依题意可知,2023-m2m即加67人，所f以加的最小值为所以当根=时，675,675集合中元素最多，即｛｝时满足题意，A A=675,676,…,2023综上，|山的最大值为

1349.（高一上.内蒙古赤峰.阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下把集合中的各数相加；

4.2324定义“交替和”如下把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如｛｝4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而⑸的元素和与交替和都是

5.⑴写出集合｛｝的所有非空子集的交替和的总和；1,2,3⑵已知集合=｛｝根据提示解决问题.求集合〃所有非空子集的元素和的总和；123,4,5,6,【答案】

（1）12；（）

2672.【分析】

（1）先求出集合｛1,2,3｝的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；（）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和.2【详解】

（1）集合｛123｝的非空子集为｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛2,1｝,｛3,1｝,｛3,2｝,｛3,2,1）,集合｛｝｛｝｛｝的交替和分别为1,2,31,2,3,集合｛｝的交替和为2,12-1=1,集合｛｝的交替和为313-1=2,集合｛｝的交替和为3,23-2=1,集合｛｝的交替和为3,2,13-2+1=2,所以集合｛1,2,3｝的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12；

（2）在集合｛123,4,5,6｝所有非空子集中，数字1与｛2,345,6｝中的元素构成子集，故数字在集合｛｝所有非空子集中共出现、次，1123,4,5,62=32同理各出现次，2,3,4,5,625=32所以集合所有非空子集的元素和的总和为（）M32x1+2+3+4+5+6=

672.【点睛】关键点睛本题的关键是在第

（2）问中求集合｛1,2,3,4,5,6｝的所有非空子集.对于给定的整数，若非空集合满足如下条件

①；

②｛｝；

③对任意、若

5.i A A[N*A1x y£N*,x+y£A,则冲-则称集合为“减集二icA,iA⑴分别判断集合是否为“减集”或“减集”,并说明理由;5={1,2}01证明不存在“减集”;22⑶请写出所有的“减集”.无需说明理由1【答案】⑴是“减集”,不是“减集”01⑵证明见解析；⑶答案见解析.【分析】根据“减集”定义结合=判断即可；1i l+l=2cS,lxl-O=lcS,1x1-1假设存在“减集”，若令可得中的最小元素为加＞进而当时，可以得到a-3k^A,进而可得22y=l,A4,ZEN*,中至少有一个属于集合再依次检验即可得矛盾，进而证明结论.4,5A,假设则集合中必然还有其他元素，当时，可以得到进而得到为奇数，再分中有最3SA,A acAawl Q-Z:eN,A大元素和中无最大元素两种情况讨论求解即可.A【详解】解:根据题意，对于结合由于所以，集合15={1,2*“,S={l,2}w{l},1+1=2WS,1X1-0=1£S,S={1,2}是“减集”;0对于结合由于所以,集合不是“减S={l,2}qN*,S={1,2}1},l+l=2wS,1x1-1=035,S={1,2}1集”；所以，集合是“减集”，不是“减集”.S={1,2}012证明假设存在“减2集”，记为A,则4=N Aw{l},对任意x、yeN\若犬+y《A,则个—2cA；所以，令＞则对任意者有故=1,XEN x+leA,B X—2EA,所以，中的最小元素为加A24,所以，当时，由于故一QEA1+Q-1£A,3CA,所以，当4一3£八时，由于1+〃-4£/4,故4一6£/1,以此类推，a-3k A,e Ze N\所以，中至少有一个属于集合4,5A,若4£A,则1+3=4W A1X3-2=1e A,故4e4；若5EA,则l+4=5cAlx4-2=2eA,故5e4；所以，与中至少有一个属于集合矛盾，4,5A所以，不存在“减集”2解:存在“减集”31A,因为故假设则集合中除了元素以外，必然还有其他元素，Aw{l},IwA,A1所以，当时，由于1+〃-1$A,故Q—2EA,当时，由于故Q-2GA1+Q-3£A,Q-4GA,故选D.已知非空集合且设=卜,，F=[x\x^ArB},则对

3.AB C A},O={HxqB},E=Cc于区尸的关系，下列问题正确的是EjF FjEE=F E、尸的关系无法确定A.B.C.D.【答案】C【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.【详解】有从而有进一步xeF所以£口尸，VxeE=CnD,xqAxqB,x=Ac3,B|J9，，\/%£/=卜,之有从而有进一步有即所以F=E,综上所述，有AcB},xqAcB,XECXW XW£=CC E=b.故选C.

4.2324高一上•广东江门•期中设wcR,当〃口20时勿2〃n；当.0时加8〃=m+〃.例如-604=2,则“〃=0,或匕=是区的条件.b=-lQ=—1,0”46=—1充分不必要必要不充分A.B.充要既不充分也不必要C.D.【答案】A【分析】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当或=一时，ab=Q,=0,b=-l1,b=0由相〃之时相？九九知，〃区/=一0M+1+0=—1,当时,根据定义可知ab0所以々+=故只要满足〃且〃即可，8/=-1-1,20+8=-19显然不止=0,=-1或=一1,〃=0这种情况，131比如〃=/=_；；,〃=_:力=_:等也满足，244所以“4=0,〃=-1或=-1,b=0是a区〃=一1”的充分不必要条件.故选A

5.2324高一上•辽宁•阶段练习已知集合加={》|依―勿=1},N={a，y|x—3y=—2},在求McN时;甲同学因将x—3y=—2看成x+3y=-2,求得MnN=[—2，—]1],乙同学因将x—3y=—2看成x—3y=2,55JJ、[17求得卜.若甲、乙同学求解过程正确，则Mp|N=McN=lv39/A.{U}B.{-1,1}C.{-1,-1}D.{1,-1}【答案】A以此类推，a-2keA,keN,若2£4,1+1GAlxl-1^A,故2eA；若为偶数，则必存在使得〃—左=与矛盾，不成立；ZEN22wA,2e4所以，为奇数，由于都成立,且Q-2%£A QW1,所以，tz3M3e A,

①若中有最大元素，设为则为奇数，A M因为2+Af-2=〃wA,故2〃-2-1=2M-5eA,所以，即2M—5M,M5所以,或A={1,3}A={1,3,5}

②若A中无最大元素，下面证明4={1,3,5,♦・.,2〃-1,・♦.}〃£

4.首先，必有47{1,3,5,・・・,2〃—1,・・・}〃£N,若存在某个奇数〃史则只能有〃+2攵eADZeN；否则，若存在某个使得则必有匈£则与矛盾；a+2/£A,4+2%0-2A,但是，这样一来，中最大元素这与中无最大元素矛盾.A2,A所以，A={1,3,5,♦・・,2〃—J.・}£N,综上，4={1,3}或4={1,3,5}或4={1,3,5,・・・,2〃一1,・・・}〃£底【点睛】本题第二问解题的关键在于正确理解“减集”的概念，结合反证法，令丁=可得中的最小元素为i1,A加进而得当时，可以得到―左左中至少有一个属于集合再依次检验即可得矛盾，进而证24,A3EA,EN*,4,5A,明结论；第三问解题的关键在于利用反证法，当时，得到keN,且为奇数，再分中有最大元素和中无最Q-AA大元素讨论求解.

6.若集合A具有以下性质，则称集合A是好集

①OwAleA；

②若x、*A,则x-yeA,且xw时，-eA.X⑴分别判断集合有理数集是否是“好集”，并说明理由；5={-1,0,1},Q2设集合A是“好集”，求证若X、yeA,则x+ywA；⑶对任意的一个“好集判断下面命题的真假，并说明理由；命题若则必有盯2,ywA,M【答案】集合不是“好集”，有理数集是“好集、理由见解析1B⑵证明过程见解析⑶真，理由见解析【分析】由定义判断.1由yt可得一从而可得出2OEA,A,x+ycA.不中有时，易得结论，、中没有时，可得进而再由x-\X3y0,1x y04X—1,—XX—IEA,2119的结论可得出得VEA,y2e/l,进而得x+y-£A,从而得2外£人厂£人，进而一e4,即得出【详解】由便可得出从而得出集合不是“好集:I—1—1=—2e5,5有理数集是“好集”，理由是£」£，对任意都有％-且时，、xX£Q,yeQ,wQ,xwO Q.故有理数集是“好集因为集合是“好集所以若、则一即—”所以即尤+丁£2A OEA,x yeA,A,x—―y”A,

4.故得证.若、中有时，显然有3X y0,111111A z下设不,中不存在由定义得工一所以一---=-一万£则由0,1,1,--,-eA,4xx—1£4,2X xxyx—ljX—1XT得工%—=尤A,同理了1+12G2£A.若x+y=O或x+y=l时,显然x+ypwA；若尤+yw或x+y时，显然x+y『£A,PJW2AY=^+^2-x2-y2GA,所以;^EA,由2得」-=/-+所以J-EA,xycA.xy2xy2xy综上犯cA.故若、则必有x yeA,

7.对于一个数集M,若满足下列条件

①中至少有两个非零元素；

②OwM；

③任取〃中的两个非零元素，它们加、减、乘、除后的结果都仍属于则称数集用为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域.Q R证明整数集不是数域；1Z⑵判断集合是否为数域，并说明理由；A=W x=⑶若民为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由.BcC8cC,8uC【答案】证明见解析1⑵集合4=卜|X=+力EQ｝是数域，证明见解析⑶BcC为数域，BuC不一定是数域，，证明见解析【分析】按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明；12集合A=Wx=0Q+bM£Q力EQ｝是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可；（）为数域，不一定是数域，，按照数域的定义分别证明是否满足三个条件即可.3BcC【详解】⑴证明任取破且互质，那么”定是分数，即『故根据数域的概念得整ZZ,9Z,数集不是数域.Z（）解集合人=2k1X=0Q+A,Q£Q/EQ｝是数域，理由如下:

①当=人=或=/=一时则A,则至少有两个非零元素；11x=0+1£A,x=-V2-1e A

②当=/=时，a,beQ,则.及x=0+OEA;

③取％=\l2a+4，q eQ,b[eQ,%=y[2a+b2M2eQB eQ｝2则不+=及（％+4）+仅+4），又（4+々）£（^0]+仇）£^，所以办+马七人；西一工2=血（4-伪）+色-4）,又伯_/2）£Q,所以（-々/A；%.%=（6%+4）（04+4）=血（〃也+）+（212+结2），又（也2+0bJ eQ,（2q%+）£Q，所2以%_四a、+b\_叵（%々一也2）+2q〃2-4生乙一《瓦门2%出.岫2小打乂2am2a；—b；〜“q+h2Q；-b；2Q；-b；1综上，集合｝是数域.A=U x=+/wQ（）解为数域，不一定是数域，理由如下:35cC5uC良为任意两个数域且BcC中至少存在两个非零元素，任取a,b£（BcC）,则Q/CBM/由于反为个数域，则〃S«8cC）,Oe（BnC）；«BDC）,Oe（BuC）所以〃±b£氏4±b£，则1±b£（5cC）,同样〃〃£民々人£，则Qb£（3cC）,-E B,-G C,Z^0,则b hye（BnC）,所以5cC为数域；b当3关且两集合无包含关系时，不妨设awB,b史B,bwC,a史C,则〃,Z£（3DC）,若是数域,则阻八）,即（或（3uC a-a-a-bC,当（a—时，[a—⑺―即与假设不符；当（-〃）£时，,+（〃—〃）上，即与假设不符；所以此时不是数域；a QEC,5uC当3=C或两集合有包含关系时，（3uC）=3或（3DC）=C,此时3D是数域;所以不一定是数域.BuC=13174【分析】确定-夕+〃=且-+=得到心…根据交集的概念联立方程解得答案.1b=35539X.[a=41317【详解】根据题意-」+¥=1且一共+，=1，解得7,，[b=35539，解得厂=；[y4x-3y=1=lx-3y=-2即（）M={x,y|4x—3y=l},故选A.⑷A.二丁⑷一0⑷ARC已知集合A={Xd+x=4B=\x（3/+0x）（/+以+2）=}，且A*B=1,（高一上.山西大同.期中）用（）表示非空集合中元素的个数，定义

6.2324C AA设实数的所有可能取值构成集合则（）（）S,C S=A.1B.3C.5D.7【答案】c【分析】先分析8中有1个或者3个元素，即方程（3/+奴）（/+以+2）=有一个根或者三个根，分析方程（3/+6）卜2+公+2）=的根的情况，可得到可取的值，即可得答案.【详解】集合{集+==4=0}={01},A*B=1,根据集合的新定义知中有个或者个元素，313当区中有1个元素时，（3%2+词1+依+2）=有一个解，可得〃=0；当B中有3个元素时，易知QWO,（3/+依）（/+依+2）=有三个解，其中的两个为%=0,%2=-大，当/+狈+有一个解时，令△=（）,可得々2=0=±20;当依+有两个解且其中一个和或者相等时，也满足条件，Y+2=00此时=士正士五三，显然冷匕不等于£Z=o,22所以“7三上或亚三上,解得或=3a=-3,2323综上所述，设实数a的所有可能取值为所以构成集合元素个数为即（）0,20,-20,-3,3,S5,C S=

5.故选C高一上•湖北•阶段练习在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质

7.2324㊈

①对任意Q®a=a；QER,

②对任意ZeR,a®b=b®a；

③对任意，b,以下正确的选项是CGR,^®Z®C=C®6Z/+^0C+Z0C-2C,A.200®2=0B.280区2

③0=6对任意的，b,,有伍

③=区区C.CGR cD.对任意“，b,ceR,有+8

③CWQ®C+/OC【答案】C【分析】根据

②③可推得区〃虑位+々区区-义进而结合

①即可得出0=00+20,伍区〃虑=，应〃=必+〃+然后根据新定义对每个选项进行运算化简可得.0【详解】由

②③可得，令c=,6Z®Z®0=0®^+6Z00+Z700-2X0,HP^a®b^®0=a®b=ab-\-a+b.对于故错误；A,20002=202=2x2+2+2=8,A对于B,2区0虑2

③0=202=2x2+2+2=8,故B错误；对于C,•.・6Z®Z@C=6Z®/C+6Z0Z+6Z0C-26Z=ahc+a+bc+ah+a+b+ac+a+c—2a=ahc+ah+ac+bc+a+b+c,b®[^c®a=b®[ac+b®c^b®a-2b=abc+b+ac+bc+b+c+ah+a+b—2h=abc+ab+ac+bc+a+b+c,・二对任意的6Z,Z,ceR,有a®h®c=b®c®a,故C正确；对于D,,「Q+Z8c=a+Zc+Q+/+c=ac+bc+Q+〃+c,a8c+〃§=QC+Q+C+〃C+力+c=ac+〃c+a+〃+2c,・•・当c=0时,W{a+b®c=a®c+b®c,故D错误.故选C.

8.2324高三上•四川南充•阶段练习对非空有限数集4={4％,・・・,4}定义运算“min”minA表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集B,定义集合加={巾=|〃-瓦力£可，我们称〃为集合之间的“距4QEA minA,B离记为.现有如下四个命题〉；

①若则％=°;

②若则minA=minB,minAminB,ZB

③若％=，则AC5W0；

④对任意有限集合A,B,C,均有“十%2般.其中，真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】根据题中条件可得

①③正确，通过举反例可得

②④错误.【详解】对于

①，若则中最小的元素相同，则九=，故

①为真命题；minA=min3,48对于

②，取集合满足而“=，故

②为假命题；4={1,2},3={0,2},minAmin8,对于

③，若则中存在相同的元素，所以交集非空集，故

③为真命题；48=0,48对于

④,取集合可知“=，d=\,A={1,2},B={2,3},C={3,4},4=0,AC则“+记不成立，故

④为假命题.d4c24综上，真命题的个数为个.2故选B已知集合中都至少有两个元素，并且满足下列条件

①集合尸，中的元素都为正数；

②对于任

9.P,意a,b£Q（ciHb）,都有:cP；

③对于任意£P（aW〃），都有必£；则下列说法正确的是（）b若尸有个元素，则有个元素A.23若有个元素，则有个元素B.P2PU4若有个元素，则有个元素C.P2PDQ1存在满足条件且有个元素的集合D.3P【答案】C【分析】若集合中有个元素，设尸={“/},根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选P2项ABC；假若P有3个元素，设={力1},再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素,推出矛盾，从而可判断出选项.D【详解】若有个元素，设尸={力}（〉力力勾，则〃匕£，P200,因为至少有个元素，所以中除仍外至少还有一个元素，2不妨设xsQ,xwab,则三，至ab xx0,£P EP,若兹,则（洲且%”原〉,ah x2L=f=X nh所以与假设矛盾，所以丝,abx=「匚2ab J—x.ab所以=,一=b或一；~=b,—=a ab x abxxX nh当▲=丝=人时，则abxX=Q,Qb=l,若则=人=与〃矛盾，所以同理可知a=l,1,q]awl,hwl,所以此时尸=卜,},斗，尸Q={a}J、，[,Q={1,PUQ=1,I;当二=,或=时，则〃〃所以二,，abxbX=M=1,若则与矛盾，所以同理可知a=l,Q=Z;=1,i Zawl,Zwl,此时|』抄};P=,1},Q={1,6},PUQ=q},PI Q=由上可知，当有个元素，则有个元素，有个元素，有个元素，P22PUQ3PPIQ1故错误，错误，正确；A BC不妨假设有个元素，设={/则为互不相等的正数，P31},由

③可知abeQ,aceQ,bc£Q,又因为也为互不相等的正数，所以功,,儿也为互不相等的正数，4c由

②可知士二:二法都是集合}的元素，a a b b c c5P={M,因为也为互不相等的正数，所以±二:怖二法都是不等于的正数，所以也c1a a b bc ca ba c bc又因为白为互不相等的正数，所以Cb ca a考虑到和工一若2’巴,则:法二为互不相等的正数，abbca cb a c又因为所以:所以上是与:不相等正数，a cb aaba c“g,2因为二:都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾，abac224P因此考虑2=g的情况，所以/=反，同理可得2=42=，所以/二/二^=0,ac所以这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故错误；故选a=b=c,P,3D C.【点睛】关键点点睛本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的.

10.若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足

①XE,0eM；

②对于X的任意子集A,B,当Ac且时，有AD3£/；

③对于X的任意子集A,B,当人£〃且BE时，有AC5EM,则称M是集合X的一个“M集合类”.例如{〃},{〃,〃}}是集合〃/}得一个M={0,X={集合类”.若反可，则所有含伽的集合类”的个数为X={a,c}A.9B.10C.11D.12【答案】D【分析】确定中一定含有伍力,再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案.M c},【详解】*={々也的子集有伍},屹},©,{向,伍,仇},伍力©,0}0,00},{由题意知M中一定含有{瓦0,c},{a,b,c},则中可以含有的其他元素从剩余的伍},协},伍力},他,}个集合中选取；M{c},5当剩余的个集合都不选时,©，集也都},共个;5M={0{1当只取个时，},},{也}}或={外,屹©,他也1M={0,{g,0,{0}},或〃={瓦满足题意,此时有个;{0,{c},c},{a,b,c}},M3当取个时，加={},{,圻,{反},{也}}或加={圻,{},电他也}},20,{0,{0},或{凡他,也满足题意,此时有个;={0,{4c},c},{ac}},M3当取3个时,M={0,{〃},{7},{a,c},{/,4,{〃,瓦c}}或“={0,{b},{c},{a,c},{/7,c},{a,,c}},或={0,⑷,网,伍力},仍©,他也}}或加={0,仍},亿},伍力},仍©,{〃也0}},满足题意，此时M有4个;当取4个时，没有符合题意的情况；当个全选时,M©},共个，5={0,{a},{b},{c},{a,O},{a,c},{0,c},{a,1故所有含{瓦}的“加一集合类”的个数为1+3+3+4+1=12,故选D02多选压轴题高三下.全国.专题练习大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，

1.2024而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集A3,A3合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且关于任意非空集合N,T,下列说法错误的A BAx3Ax3={x,ykcA是MxN=NxM MxNxT=MxNxTA.B.C.MXNUT MXNUMXTD.A/XA^HT=MXNAMXT【答案】ABC【分析】对于举例分析判断，对于利用直积的定义分析判断即可.ABC,D,【详解】对于若加={则错A,1}”={1,2},MxN={l1,l,2},NxM={l,l,2,l},MxNwNxM,A误;对于B,若加={1},%={2},7={3},则MXN={（1,2）},（MXN）XT={（（1,2）,3）},而Mx（Nx7）={（l,（2,3））},（MxN）x7wMx（NxT）,B错误；对于C,若={1},N={2},7={3},则干X（NUT）={（1,2）,（1,3）},MXN={（1,2）},MxT={（l,3））,Mx（N\JT）=（MxT）,C错误；对于D,任取元素（x,y）£Mx（NnT）,则xsM且NCK,则ycN且”7\于是（X,y）£M XN且（x,y）£A/Xr,即（x,y）£（M xN）C|（M x7）,反之若任取元素（x,y）£（MxN）n（MxT）,贝A/xN且,因此且即工£加且y$N ycNn7,所以（x,y）£Mx（Nnr）,即Mx（Nn7）=（MxN）n（Mxr）,D正确.故选ABC

2.（2324高一上・河南开封,期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合A=1-2,0,g,l},B=[x\（ax-l）（x^a）=0},若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（）A5A.2B.--C.0D.12【答案】BCD【分析】考虑=0时，B={0},QHO时，8={-a,},依次将各个选项中的数据带入，计算集合B,再判断A和8之间的关系得到答案.【详解】当时，=卜|⑷03TX+Q=0}={0},B=1x|ar-l对选项A若=一2,8=此时Ac3=0,不满足;对选项B若a=_g,3=12,}对选项C若=0,3={0},此时满足;对选项D若a=l,3={-1,1},止匕时Ap|B={l}w0,满足;故选BCD.

3.（2324高一上.山东德州.阶段练习）我们知道，如果集合AqS,那么S的子集A的补集为a.A={x|x£S且入任小，类似地，对于集合我们把集合且任母，叫作集合和的差集，记作例如AI xA3A-A={1,2,3,4,5},4={4,5,6,7,8},则有下列解答正确的是A—B={1,2,3},6—A={6,7,8},已知则A.A={4,5,6,7,9},6={3,5,6,8,9},3—A={3,7,8}已知则或B.A={x|x-l^x3,B={x|-2x4},A-3={x|xv—2124}如果那么C.AgB,A—5=0已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则口D.A3A-3=423【答案】BCD【分析】依题意根据的定义可知，可先求出再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关A-B Ac3,A系逐项判断，即可得出结论.【详解】根据差集定义即为且3-A{x|x£3xeA},由可得所以错误；4={4,5,6,7,9},3={3,5,6,8,9},3—A={3,8},A由定义可得即为且元仁研，A—8{xlxwA由或〉可知或即正确；A={x|xv-1x3},8={x[-2x4},A-3={x|x—2124},B若那么对于任意都!满足所以且因此所以正确；易知且任xeA,xeB,{x|A3}=0,A—3=0,CA—B={x|x£A x研在图中表示的区域可表示为«储口也即可得@可,所以正确.5,AG3,A-3=4D故选BCD.安徽合肥.模拟预测群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对

4.2024抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运G G算满足以下条件

①对所有的、beG,有・；Q0EG、

②VQ b、ceG,有a・b・c=a•9・c；

③mewG,使得X/a^G,有e・Q=Q・e=，e称为单位元；

④VQGG,3ZGG,使a,b=b・a=e,称a与〃互为逆元.则称关于“构成一个群.则下列说法正确的有G关于数的乘法构成群A.G={-1,1}自然数集关于数的加法构成群B.N。