第6讲 全称量词与存在量词（教师版含解析）

第6讲全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词概念

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.（全称量词命题的形式Vx£,p（x））

（2）短语“存在”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“丁表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.（存在量词命题的形式*£W,P（x））

2.全称量词命题和存在量词命题的否定二

（1）假设全称量词命题为则它的否定为“并非任意一个X£M，P（X）也就是

（2）假设存在量词命题为则它的否定为“不存在工和（可）也就是£u Vx e Af例

1.判断下列全称量词命题的真假.

（1）所有的素数都是奇数；

（2）V XG/,|X|+11；

（3）对任意一个无理数巴/也是无理数【答案】

（1）假命题；

（2）真命题；

（3）假命题.例

2.判断下列存在量词命题的真假.

（1）有一个实数凡使f+2x+3=0;

（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;3有些平行四边形是菱形.【答案】1假命题；2假命题；3真命题.例

3.写出下列命题的否定，并判断真假.1所有能被3整除的整数都是奇数；2对任意XEZ,/的个位数字不等于3；3存在一个实数的绝对值是正数；4有些平行四边形是菱形；5G7,x2—2^+3=0;6B XG7,x+20；7任意两个等边三角形都相似；8三次兄12—x+1=

0.£【答案】1存在能被3整除的整数不是奇数，真命题；2存在XEZ,/的个位数字等于3,假命题;3所有实数的绝对值都是非正数，假命题；4所有的平行四边形都不是菱形，假命题；5V XG/,^2-2X+3^0,真命题；6Vxe/,x+20,假命题;7存在两个等边三角形不相似，假命题；8V XER,Y-X+I WO,真命题.例

4.由下列四个命题:

①X/x£R,2/—3x+40;

②\/xs{l,—l,0},2x+l0；33xeA^^2^;

④I XEN*,次为29的约数.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C7V23【解析】

①正确，\/XER,2X2—3X+4=2X--+—0；

②错误，3x=-l,2x+l0；

③I4；8正确，*=0或l,Yx；

④正确，虫=1或29,为29的约数.故真命题个数为3,选C.例

5.A.-n/V-l xl,x2-10B.-n/:V-1X1,^2-l0C.—\p3—14%«1,D.-\p\3-1«x«1,厂⑴命题〃—I,/.]0的否定是（）A.3AG/,A:2-B.V XGR,x2—x0x0D.3xe7,x2-A:⑵命题p:3xeR,x2-x0的否定是（）【答案】⑴D；

（2）B.例

6.已知〉=2加+6x-1£R）,对于Vx£R,不等式）44恒成立，求实数a的取值范围.【答案】【解析】由y=2以2+6%—14得2办2+6%—5W0对于D XEH恒成立,若a=0,不等式为6%一50,不恒成立，所以QWO；＜09若QWO,则△=36-

4.2〃.-500，解得而，综上所述，〃的取值范围为K例

7.⑴若“反使得公―%+10成立，，是假命题，则实数力的取值范围是乙⑵若V；X2,使得f_就+10成立”是假命题,则实数z的取值范围是十【答案】1{/l|A2}|A|A|J.;2【解析】1依题意，使得Ax+120,即zlWx+,成立是真命题，2xn1n则4Wx+一,由对勾函数y=x+—的图象可知，当x=l时，x+-=2,所以42,X\X/min XX/min即4的取值范围为状|人2}；2依题意，三使得炉―4工+1之o,即+L成立”是真命题，2x1]1则人卜+一,由对勾函数y=x+—的图象结合计算可知，当工=5或x=2时,，V*/max%（\\555x+—所以％7,即4的取值范围为4九（不.22VXJmax12J跟踪训练

1.下列四个命题中真命题是（）A.\/n G/,n2n B.3n e/,\/m^R.m-n-mC.Xin eR.3m GR.nrn D.\/n eR.n2n【答案】B【解析】A错误，当〃=J时，〃2〃；B正确，三〃=1,\/加民机〃=m；C错误，当〃=£•一1时,nvn;D错误，当〃=2时，n2n,故选B.

2.将+改写成全称量词命题，下列说法正确的是（A.Vx,ye R,x2+y22xy B.3x,y£R,/+2y,2n XC.Vx,yO,x2-hy22xyD.3x0,y0,x2y22xy【答案】A

3.命题“*ER,使X1”的否定是（）••A.PxwR,xl B.不存在XER,使X1C.Vxe7,x1D,Bxe R.xl【答案】C

4.命题“八氏/之0，，的否定为（）£A.Vx G/,x20B.不存在XER,使/VOC.Bxe R.x20D.3xe R.x20【答案】D

5.若“Hx£R,6a2+2x+，vo，，为真命题，则实数应满足（）k.a\B.（21C.-\a\D.-\a\【答案】A【解析】解法一“去尺,以2+2%+40”为真命题，£若0,显然存在XV使得办2+2X+Q0,满足题意；若0,则A=4-4/0,解得Ovavi,综上所述，选A.解法二原命题“*ER,以2+2]+Q O”的否定为“\/尢£尺32+2工+心

0、若原命题为真命题，则否命题为假命题，先求否命题为真命题时〃的取值范围若4=0,不等式为2x20,即尤20,不符合题设；[aQ若QWO,则A4一八，解得21,[A=4-4^-0综上，a\,所以，原命题为真命题时，的取值范围为1,选A.

6.若玉RM+2工_o是真命题，则实数a的取值范围是.£【答案】{a\a-l}【解析】解法一3x£R,f+2x—QVO是真命题，贝1」A=4+40,解得〃—1,所以的取值范围是„—1}.解法二先求否命题X/x£R,%2+2x—为真命题时的取值范围只需△=4+4Q0,解得6Z-1,所以原命题*A,/+2工_v o为真命题时a的取值范围是{4a-l}.£解法三ire R丁+2X-Q0,即〃£+2%是真命题，贝I]a Y+2尤而口=[%+1一一1,所以一1,即〃的取值范围是{4〃〉-1}.

7.已知命题“P*23,使得2x-1一是假命题，则实数机的最大值是.【答案】5【解析】依题意否命题Jpx23,使得2x-12加是真命题，则m2x-1覆=5,所以加的最大值是

5.

8.若命题“玉/,使得/+如+2机—30”是假命题，则实数加的取值范围是£•【答案】{m[2m6]【解析】依题意否命题“V XER,使得/+/噂+2m-320”是真命题，则A=/—42+30,解得24〃叱6,所以加的取值范围是{加|2根6}.。