第5讲 充分条件与必要条件（教师版含解析）

第讲充分条件与必要条件5

一、命题命题的概念一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.

1.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.命题的形式数学中命题常写成“若〃，则夕”或者“如果〃，那么通常我们把命题中的〃

2.叫做命题的条件，夕叫做命题的结论.四种命题

3.⑴对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题.原命题为“若人则/，则逆命题为“若明则.*⑵一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的否命题.原命题为“若贝，则否命题为“若力，则r”.⑶一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆否命题.若原命题为“若则，则逆否命题为“若r,则力”.

二、充分条件和必要条件定义一般地，“若〃，则为真命题，是指由〃通过推理可以得出夕.这时我们就说，由〃

1.可以推出明记作.并且说，〃是的充分条件，是〃的必要条件.P=444相反，“若则夕,为假命题，那么由条件〃不能推出结论明记作此时，我们就说〃不是的4充分条件，不是〃的必要条件.4充要条件如果“若〃，则和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有

2.又有就记作〃=/此时，〃既是彳的充分条件，也是的必要条件，我们说〃是的充分必要条q q件，简称充要条件.重点剖析对充分条件的理解

1.设集合人=｛小满足条件｝｛小满足条件外.1p,3=若则是的充分条件;若则〃不是的充分条件.A=P4Az q我们说〃是的充分条件，是指由条件〃可以推出结论％但并不意味着只能由这个条件〃才24能推出结论以一般来说，对给定的结论％使得成立的条件〃是不唯一的.例如q x=6=.但是,当时，也可以成立，故是的充分条件.f=36x w6*=36x w6=36对必要条件的理解

2.设集合人=｛小满足条件｝｛小满足条件亦1p,3=若卫则〃是的必要条件;若皂乱则〃不是的必要条件.A B,4A92我们说q是〃的必要条件，是指以P为条件可以推出结论q，但并不意味着由条件P只能推出结论公一般来说，对给定的条件〃，由〃可以推出的结论是不唯一的.例如若四边形9是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.另外，若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.显然这两个命题都是正确的..证明命题充要性时，既要证明原命题成立充分性，又要证明它的逆命题成立必要性.3例判断下列说法是否是命题.如果是命题，判断其真假.

1.；1x6垂直于同一条直线的两条直线平行么？2；32+4=7武汉市坐落于湖北省；4若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.5【答案】不是；不是；假命题；真命题；假命题.12345例把下列命题写成“若则的形式，并判断其真假.

2.实数的平方是非负数；1底边相等且高相等的两个三角形是全等三角形；2能被整除的数既能被整除也能被整除；3632弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.4【答案】⑴若一个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题；⑵若两个三角形底边相等且高相等，则这两个三角形全等，是假命题；若一个数能被整除，则它既能被整除，也能被整除，是真命题；3632若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，是真命题.4例下列“若则形式的命题中，哪些命题中的〃是的充分条件？

3.4若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；1若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；2若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；3若％贝；42=],X=1若贝=5若，为无理数，则为无理数.6x yxy【答案】⑴⑵⑸中〃是的充分条件,中不是.3446例

4.列“若则发形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件F4P若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；1若两个三角形相似，则两个三角形的三边成比例；2若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；3若则；4x=l,=1若贝=5ac=be,若外为无理数，则为无理数.6【答案】⑴⑵中是〃的必要条件，中不是.49356例

5.下列各题中，哪些P是q的充要条件？四边形是正方形，一四边形的对角线互相垂直且平分；1P两个三角形相似，/两个三角形三边成比例；2P3P-xyQ^q-x0,y0-〃是一元二次方程加的一个根，〃4x=l+/zr+c=O9a++c=0aw

0.【答案】⑵⑷例设平--若是的充分不必要条件，求实

6.p:|4x-3|1,2a+lx+/+QK

0.数的取值范围.【答案】【解析】由|4工一3|1得一144X-341,解得即由工+/得工一］［九一+］解得+V-24+1+4010,•・•〃是4的充分不必要条件，・.・〃=,二卜g Kx K1}□{x aW%W a+1},_c ya,解得所以的取值范围为—5a212J6Z+11I例求证一元二次方程以〃有一正根和一负根的充要条件是

7.2+x+c=O4c

0.【证明】充分性若QC0,则一元二次方程ax+区+c=o的判别式△=〃-4ac0,所以方程一定有两不等实根，设为玉,马,贝为=1%£0,a所以方程的两根异号，即方程二有一正根和一负根；cue+bx+C0必要性若一元二次方程2有一正根和一负根，设为七,马，根据韦达定理得ax+bx-\-c=0x x=即〃\i~0,

0.a综上可知，一元二次方程+陵+有一正根和一负根的充要条件是ax c=0ac

0.例求关于的一元二次不等式办这对于一切实数都成立的充要条件.

8.X2+1X【答案】{«|0«4}【解析】必要性若一元二次不等式依以，即—女+对于一切实数都成立，2+1a10X[aQ则{解得v；54A2A=6/-4-ci01Y2充分，性右则2------0v a4,cue—ux+l=a x—+10,；124即一元二次不等式以〉以对于一切实数都成立.2+1X综上可知，不等式分办对于一切实数都成立的充要条件是〃2+11M04}.例已知全集非空集合=卜|三|°，，

29.U=E,4B=[x\x-ax-a-20当时，求；1G0UA命题〃命题工氏若乡是〃的必要不充分条件，求实数的取值范围.2X£A,9£［答案］垢；22{a\a-l^la2}.］1{1Y9}1f19［解析］当〃=彳时，15=X--X--0=x|—x—,，八［2I k4J J24j或=X x—x—24又・.・A=（2i\/.8=卜|%-々工一片-2）v o}={x|a vx v/+2},⑵（）:/+2-a=a——\2J（）x0}={x2x3},/.Qi|J A=\x—^x2若^是，的必要不充分条件，则A B,a2所以《,一解得一或41/+223所以的取值范围为{|T或a«1442}.跟踪训练是的

1.“2x—lx=0x=O充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件A,B.C.D.【答案】B【解析]若（）贝或即（）2x—l x=0,l]x=0x=5,2x—l x=0%x=0,乙若贝］（）＞（）x=0,l2x—l x=0,gpjr=0=2x-l x=0,所以（）=”是的必要不充分条件，故选“2x-l x“x=0”B.

2.设XEH,贝IJ“d—5X0是牛一1|「的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件A,B,C,D,【答案】B【解析】由得由得—即5x0Ovx5,|%-1|1lvx—1vl,0vxv2,・・.0x5#0vx2,0cxv2noexv5,・是的必要不充分条件，..0x50vx2即u2n是“卜-的必要不充分条件，故选x-5x01|1B.设夕（）（）；若是〃的必要不充分条件，则实数应满足（）

3.2Vx4,x+2x+a v04A.a4B.a-4C.a-4D.a4【答案】B【解析】若是的必要不充分条件,则卜口{玳）（工+〃）4|-204}1+20},所以{x|（x+2）（x+a）0}={x|-2x-〃},且一〃4,即Q-4,故选B.设实数满足（其中）.若〃是的必要不充分条件，则实

4.P145+342Vo0,92x439数的取值范围是.【答案】{矶〃42}【解析】由九片得，2-4or+3v0ax v3「是的必要不充分条件,•P4/.{x|2x3}[j[x\ax3a],解得所以的取值范围是142,a{a|la2}.已知〃是的必要条件，则

5.P={x|_4xa+4},Q={x\lx3}.xwQ”实数的取值范围是.【答案】七M—15}【解析】由是“工”的必要条件可知之夕，£所以[；；，解得—所以〃的取值范围是{|一1WQM5,4«5}.已知条件2条件加若〃是的充分不必要条件，求实数〃

6.p:x-3%-40,4/-61+9-

20.42的取值范围.【答案］或机{mm-44}【解析】由一一得一由得［（）］［（一机）］£3140lx4,Y—6X+9—m240%—3+m x-3«0,当机=时，；0/x=3当机时，0^:3+mx3-m;当机时，0^:3-/n%3+m,♦P是q的充分不必要条件,・・・科_1X4}□{心_（3+㈤］0-（3-m）］0},7/20m0+根-或解得/篦W或加313-m-124,53-/n43+m4v.v.综上可知，加的取值范围为{时机或〃4-4224}.已知是非零实数，且工＞＞,求证的充要条件为孙＞.

7.x y【证明】充分性若孙＞，=-~即成立；肛x yx y必要性若则，=」＜，即孙＞成立.x yx yxy综上所述，的充要条件为个＞.x。