第1讲 集合的概念（教师版含解析）

第讲集合的概念1

一、集合的有关概念集合的概念一般地，我们把研究对象统称为造，一些元素组成的总体叫集合，简称集.

1.表示方法一般用大写字母氏…或大括号｛｝表示集合，用小写字母力,・・表示集

2.A c•合中的元素.集合相等构成两个集合的元素完全一样.

3.集合元素的特性确定性互异性无序性.

4.

①确定性给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.例如之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不是它“1〜102,4,6,8,101,3,5,7,9的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

②互异性一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.例如方程（）的解构成的集合是｛｝而不是｛｝X-12=01,1,

1.

③无序性集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.例如｛｝和｛｝是同一个集合.L22,1元素与集合的关系（分“属于与“不属于任”两种）

5.

①如果是集合的元素，就说属于集合记作；A A,QEA

②如果不是集合的元素，就说不属于集合记作A4,【解析】根据题意，其所有元素之和为选A*B={0,2,4},6,D.有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合

6.04常见数集的写法

7.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N+或N*Q RZ例下列指定的对象能构成集合的是.

1.

①大于的整数；

②所有的正小数；

③所有的小正数；

④万的近似值；

⑤高一年级优秀的2学生；

⑥方程一+的解;

⑦吟一；这个数;1=01,4056【答案】

①②⑥【解析】

①②⑥中指定的对象满足集合元素的三个性质确定性，互异性，无序性，能构成集合；

③④⑤中指定的对象不满足集合元素的确定性，

⑦中指定的对象不满足集合元素的互异性，不能构成集合.例用“厂’或“”填空.

2.

①；

②万Q；

③=Q；

④；0N—

1.2Z--------------------------------------------------------------------3

⑤6一；

⑥⑦；

⑧N*.R-3—Z;/—N+—3_【答案】

①;

②任；

③七；

④任；

⑤七；

⑥;

⑦;

⑧史.£££例⑴已知2三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.

3.l,x,x X已知集合户的元素为根,病一加一若且—求实数用的值.21,3,2cp【答案】且；上叵.1xwO xw±l2m=21w%【解析】由集合元素的互异性可得,解得且；1XWO xw±iX2[m=2j mw-l]+0J若且—任尸，则或C C，解得机=上上22wP12C I

21.[m^[m2-m-3=2-m-3^-12

二、集合的表示列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法.

1.说明

①书写时，元素与元素之间用逗号分开；

②一般不必考虑元素之间的顺序；

③集合中的元素可以是数，点，代数式等；

④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示；

⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为N{1,2,3,4,5,…}.例用列举法表示下列集合

4.

①小于的正偶数组成的集合；4

②绝对值小于的所有整数的集合;5

③小于的所有自然数的集合;6

④方程/+尤的所有实数根组成的集合；=0_[x=2

⑤方程组的实数解组成的集合.【答案】

①｛｝；

②｛｝；

③｛｝；

④｛｝；（）｛（）｝2-4,—3,—2,7,0,123,40,123,4,5-1,052,-

1.描述法用集合所含元素的期特延表示集合的方法，称为描述法.

2.一般格式卜|P（X）｝,例如｛121-30｝,｛（羽刈尸/+1｝.说明

①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？例如｛（乂）｝与｛犬+｝是两个不同的集合.y|y=/+3x+2y|y=3x+2

②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如｛整数｝即代表整数集Z.例用描述法表示下列集合

5.

①由大于小于等于的所有奇数组成的集合;226

②不等式的所有解组成的集合；2x-10【答案】

①何]且；

②③{xy|y=f}.=2k+l2x«26,ZeZ}

③抛物线上的点组成的集合.y=/例设集合且人=求的值.

6.A={1,X,Y—x}i={i,2,x},x【答案】=-l.xx=2[x=x【解析】・・或{c，解得％=或.当时，中元素•A=B,-1x=2x=232[x~-x=2x-x=x不满足互异性，故舍去，所以x=-

1.例已知尸=〈若集合中恰有个元素，则

7.{x|2x Zr,x£N},46k7A.B,67C.5cze6D.5Z6【答案】B.【解析】若集合中恰有个元素，则这个元素为所以P443,4,5,6,64Zv

7.例已知集合仆

8.A={X—3x+2=0,Q wR}.2若求的取值范围；14=0,若中至多一个元素，求的取值范围.2A「9\9\【答案】⑴，3+°°;2{0}IJ-,+oo.9【解析】若贝方程以一无解，所以且解得三;1A=0,I]23%+2=0QWO A=9—80,O⑵当时，集合中只有一个元素，满足题意；=0A9当时，若要使中至多一个元素，则解得〉一A A=9—z0,a o综上，的取值范围为{0}U],+8例

9.设实数集S满足下面两个条件

①les；

②若6Z£S,则JES.1—a求证若；151IJl--eSa若则在中必含有其它两个数，试求出这两个数;22ES,S（）求证集合中至少有三个不同的元素.3S【答案】（）见解析；（）和；（）见解析.12—113【解析】（）证明若贝则;一厂；1,I BPl--eS\-a L;a\-a111e2若2ES,则匚工=—IES,则匚西=£S；-----------由知31QES,£S,1—£S.\-a a下证-』--三者两两互不相等.\—a a

①若匚，贝无实数根，故」；\-a1-a=1IJ/—Q+1=O,QW

②若贝一々+无实数根，故』；a a=1—lJ/1=0,wl—

③若,，则〃无实数根，故［\-a a\-a a1L=1—2—4+1=0,Lwi—L综上所述，集合中至少有三个不同的元素.S跟踪训练下列说法正确的个数为（）

1.

①集合｛｝与集合｛,也卜｝表示同一集合；

②集合｝与集合｝不是同1,3,5,7275|k|V=1y=X-1一集合；

③集合｛｝与集合｛（）｝是同一个集合；

④集合｛｝和集合｛｝y|y=d-1%,y|y=d-12,33,2是同一集合；

⑤集合｛（）｝和集合｛（）｝是同一集合；

⑥方程的解集为｛（）｝2,33,2V—5%-6=06,-I.个个个个A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】

①正确，｛囱,卜｝｛｝｛｝；

②正确，｛｝｛｝2°,75|=1,3,7,5=1,3,5,7x|y=x-1=R,y|y=x-l/；

③错误，前者是数集，后者是点集；

④正确，集合元素具有无序性；

⑤错误，两者均表=示点集，但是点的坐标不同；

⑥错误，方程—的解为西故解集为｛，｝综£5x-6=0=-1,9=6,T

6.上，正确个数为个，选3C.用列举法表示下列集合

2.

①卜；N}

②；[SEZXEN][2-x J

③{（xy）|=2x/N}.【答案】

①；

②；

③（）（）{013,4,5,8}{—6—3,—2,—1,3,6}{2,4,3,6}.【解析】对于

①②，要使则对应的二

①2-x2-xJ—£Z,x=0,l,3,4,5,8,=3,6,—6,—3,—2,—1,中元素为x,

②中元素为3，所以J—£Z,X£N[={0,1,3,4,5,8},2—x[2—x J

③表示上的点集，只有,—^―eZ XG7V={-6,-3,-2,-l,3,6};y=2x,l%3,x£N2-x（（））两个点，所以｛（）｝｛（）（）｝2,43,6x,y|y=2x,lx43,X£N=2,4,3,

6.用描述法表示下列集合

3.

①正偶数集；

②大于的实数；2

③以内能被整除的正整数.1003【答案】

①｛RX=2Z:,Z£N*｝；

②｛x|x〉2且XER｝；

③｛Xx=3ZKxvlOO#£N*｝.已知且〃则a的值为（）

4.e{0,1,2,3}e{1,2,3},A.0B.1C.2D.3【答案】A已知集合人=卜|/=@,那么（）

5.史A.OeA B.1A C.{l}eA D.{0,1}A【答案】A给出下列说法

6.

①集合｛｝用列举法表示为｛｝；

②实数集可以表示为｛小为实数｝或｛｝；xwN|d=x-1,0,1R、x+y=3,

③方程组’的解组成的集合为卜=广=；12\x-y=-1其中不正确的有.（把所有不正确的说法的序号都填上）【答案】

①②③【解析】

①错误，，；

②错误，正确的表示为卜及为实数}或；

③方程组{x£N|d=%}={0l}R11的解组成的集合正确的表示为，）或,（%，刈{；{02}1j•若集合加-依+则实数的取值范围是.

7.4={%|10}=0,【答案】[0,4]无解.ox+lvO【解析】若集合依之-依+}=，则不等式以4={%|102—当=时，原不等式无解，故符合题意；0角不得0Q

4.[tz0当QW0时，加-依+10无实数解，所以A°）八,[A=Q--40综上所述，的取值范围是[，4].aeP,heQ},若尸={0,2,5},设集合是两个非空数集，定义集合+={+可

8.RQQ=则中元素的个数为（）{126},P+A.9B.8C.7D.6【答案】B【解析】根据题意，尸+=选{1,2,3,4,6,7,8/1},B.

9.定义集合运算4*5=卜2=孙.4”用.设4={1,2},8={0,2},则集合所有元素之和为（）中A.0B.2C.3D.6【答案】D。