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一、子集与真子集子集真子集如果________，并且如果集合A的________________都是集合3的元素________，那么集合A称为集定义（若£4贝IJQ£5）,那么集合人称为集合5的子集合的真子集5记法或或A___B BA A—B BA读法集合集合或集合包含集合真包含于或A________B BA AB B______A图示任何一个集合是它本身的子集，即1A—4对于集合若1A,5,C,ARB对于集合若且则；2A,3,C A23C,A___________C且曙则；B C,A____C性质3若_______且_______,则A=若则2AW0,0_______A规定40___A是的子集”的含义集合的任意一个元素都是集合的元素，即由任意能推出1“A3A3在真子集的定义中，是首先要满足其次至少有一个但依2A3A⑶与｛｝的区别是不含任何元素的集合，｛｝是含有一个元素的集合，是｛｝
0000.
二、补集补集
1.设AUS,由S中__________________的所有元素组成的集合称为S文字语言的子集的补集4符号语言CsA=________________定义:⑷图形语言CsA£S；2〔s〔sA=__________________;3〔sS=_________,性质.全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作在2实数范围内讨论集合时，便可看作一个全集R U.注意点:全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的.1“2［以包含三层含义
①AU；
②［川是一个集合，且［uACU；
③［以是U中所有不属于A的元素构成的集合.题型归纳题型01子集与真子集【解题策略】⑴判断集合关系的方法
①观察法——列举观察.
②元素特征法首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
③数形结合法利用数轴或图.Venn⑵求有限集的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集和它本身.0
②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏【典例分析】【例】已知集合满足写出集合所有的可能情况.1M{1,2}MC{1,2,3,4,5},M【变式演练】【变式高一上.湖南株洲.期末集合的子集个数为1]2324{1,2}个个个个A.1B.2C.3D.4【变式】判断下列各组中集合之间的关系2{%仅是的约数},是的约数};14=125={Rx36是平行四边形},是菱形},={%仅是四边形},是正方形};2A={x|x3={4r£={x|x3A={R—lx4},B^{x\x5}.【变式3】已知集合4={（1，y）\x+y—2,x,y£N},试写出A的所有子集及真子集.题型02补集【解题策略】
（1）求补集的方法
①列举法表示从全集中去掉属于集合的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.A
②由不等式构成的无限集表示借助数轴，取全集中集合以外的所有元素组成的集合.U A⑵利用补集求参数应注意两点
①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.【典例分析】【例2】
（1）已知全集为U,集合A={1,3,5,7},CuA={2,4,6},［讳={1,4,6},则集合5=；（）已知全集={尤|尤集合则［〃=.25},A={x|—3Wxv5},【变式演练】【变式1】设集合U=R,M={x\x2,或xv—2},则［四等于（）A.{x|-2WxW2}B.{x\-2x2}［或或C.x\x—2,x2}D.{x|x^—2,x22}【变式2］（多选）（2324高一上•山东泰安・期中）已知全集={1,2,3,4,5},M={1,2,布，其中相金，则知加可以是（）A.{3,4}B.{1,2,3}C.{4,5}D.{2,5}【变式3］（2324高一上广东茂名.期中）设全集={3,5,可，A={3,6},则电A=.题型03由集合间的关系求参数范E【解题策略】利用集合关系求参数的关注点此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值.1此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.2【典例分析】【例】已知集合若朝，求实数机的取值范围.3A={x|—2WxW5},8【变式演练】【变式】高一上.湖南衡阳.阶段练习已知集合{幻{幻工123244=0%1}1=0444}.若求的取值范围.13=0,⑵若求的取值范围.8=4,【变式2】.2324高一上•上海・期末已知集合4=同2+8X—16=0«£R,X£R}.⑴若只有一个元素，试求实数人的值，并用列举法表示集合；⑵若至少有两个子集，试求实数上的取值范围.A AA（工+）卜）xeR12+3%-4=o【变式3】.（2324高一上.吉林四平.阶段练习）已知集合=卜£曰一一3%+匕=},⑴若b=4,存在集合“使得a为M的真子集且M为的真子集，求这样的集合M；⑵若集合是集合的一个子集，求的取值范围.P Qb易错归纳易错点混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错01（多选）如下四个结论中，正确的有（）
1.A.0c B.Oeo C.{0}D.{0}=0易错点忽视对空集的讨论而致错
02.设集合若贝实数的取值范围是（2A={x|2x6},B={x|2axa+3},BuA,!J aD.{a|la3}A.{a|la3}B.{a|a3}C.{a|al}易错点忽略端点的取值情况而致错03），则实数的取值范围为（a.［江苏扬州中学高一月考旧知集合若32022M={x|2x+l3},N={x|xa},NuMD.{a|al}A.{a|al}B.{a|a2}C.{a|al}J分层练习【夯实基础】-、单选题
1.2324高一上,山西阳泉・期末设={乂工是小于10的正整数},A={3,4,5,7},则屯A=A.{1,2,3,9}B.{1,2,6,8,
92.（2324高一上•河南商丘・期末）已知集合A={4,20,3={1,2,4},若则〃的值为（）或A.1B.1C.1J或D.
123.（2024高一上・全国・专题练习）已知集合加满足{1,2}则满足条件的集合的个数为（）{1,2,3,4,5},A.5B.6C.7D.8C.{1,2,4,6,8}D.{2,4,6,8,9}A.3B.4C.7D.8（高一上.河南开封.期末）集合卜的真子集的个数为（）
4.2324
二、多选题A.{-1,3}B.{-1,1}C.{-1,0,3}D.{-1,0,1,3}
5.（2324高一上.江苏南京•期中）下列各个选项中，满足卜尸一2尢-3=0}qA{T（M,3}的集合A有（）（高一上.广东惠州•阶段练习）下列选项中正确的有（）
6.2324卜代是质数}是奇数}A.B.集合{1,2}与集合{（1,2）}非空子集的个数相同空集是非空集合的真子集C.若三则D.AgB,B C,AqC
三、填空题
7.（2023高一•全国・专题练习）设U=£N|X9},A={1,2,3},5={3,4,5,6},则=；3心=
8.（2324高一上・河北•阶段练习）{x|x是廊坊人}{•%是河北人}.（填=,=,=,=，卫）（高一上.新疆.期中）已知集合满足（）（）则满足条件的集合的个数是.
9.2324M{,2}qMq{,l,2,3,5},M【能力提升】
一、单选题（高一上.吉林长春.期末）设集合若则〃的取值范围是（）
1.2324A={R1X2},B={x\xa},A g8,A.a2B.a2C.a\D.a\（高一上.浙江杭州.期中）若集合下列关系式中成立的为（）
2.2324X={x[x-1},（）口A.X B.{0}GX C.0eX D.{0}o X（高一上•湖北•阶段练习）集合（）且孙£则集合的真子集的个数为（）
3.2324A={1,2,3},3={x,y Ix£A y£A,A},BA.5B.15C.31D.32（高一上•河南安阳,阶段练习）设集合集合办若则实数取值集合的真子
4.2324A={3,5},3={x|-1=0},3=集的个数为（）.A.2B.4C.7D.8
二、多选题（高一上.山西太原.阶段练习）已知集合满足仁加是则这样的集合可能为（）
5.2324M{1,2{1,2,3,4},MA.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}（高一上.广东珠海.阶段练习）给出下列四个结论，其中正确的有（）
6.2324A.{0}e{0,l,2}若则一〃B.4£Z,£Z集合是无限集C.{y|y=2x,x£Q}集合{止的子集共有个D.1X1,XCN}4
三、填空题
7.（2324高一上•黑龙江牡丹江•阶段练习）设全集U={〃£N[l〃10},A={1,2,3,5,8},则8A=.b（高一上.上海杨浦.阶段练习）以下六个关系式中正确的编号是
8.2324
①0=〃}；
②Q「{q}；
③{a}q{a}；
④⑷4区可；
⑤々田上仇c}；
⑥0£{a2}（高一下.广东佛山,竞赛）设集合的所有子集构成的集合记为集合则集合的非空真子集一共有个.
9.2021A={04},A3,3【创新拓展】
一、单选题之},
1.（2324高一上・甘肃白银•期中）已知集合4=卜£叫21—3—集合3={y£R|y=/—3x+2},若AgB,则的取值范围为（）77A.a——B.a——2277C・〃—D.ci—82（高一上.甘肃武威.阶段练习）已知集合{止若则实数机的取值范围
2.2324A=72%—33},B={x|3m-2^m+l},3=是（）、3mm—2
二、填空题
3.（2223高一上・广东广州•阶段练习）已知/（X）=Y+如，设集合A=[x\/（%）=x},集合B={x\/（/（x））=x},若3《A,则实数用的取值范围是.
三、解答题）（高一上•上海嘉定•期中）已知集合卜辰之一
4.2324A=3%+2=0,£R,x£R（）若中只有一个元素，求的值1A⑵若中至多有一个元素，求的取值范围A（）若（）求〃的取值范围3Aq O,s,【下节预览】（高一上.河北石家庄.期中）已知集合•求及；
1.23244={2,3},3={1,2,3,6}AuB。
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