第01讲集合的概念（3个知识点1个要点5种题型2个易错点过关检测）原卷版

第01讲集合的概念（3个知识点+1个要点+5种题型+2个易错点+过关检测）思维导图❶知识点1:集合的含义❶题型一集合中元素特性的应用❷知识点2:集合的元素❷题型二元素与集合的关系❸知识点3:集合的表示方法与分类❸题型三集合的表示方法要点集合与方程的综合应用F❹题型四集合的新定义问题❶易错点1:混淆集合的表示方法而致错❷易错点2:不理解集合中元素的性质而致错者知识梳理▼知识点集合的含义1:

1.元素一般地，我们把研究对象统称为元素一元素通常用小写拉丁字母4C,…表示；

2.集合把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合通常用大写拉丁字母A,B,，…表示.知识点集合的元素

21.元素和集合之间的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素a属于集合AC.Q=0或Q=1D.且awl

4.（2223高一上•天津滨海新•阶段练习）已知集合A={-2,4+4凡10},若-3”,则实数的值为（）A.-1B.-3D.

55.（2024高一上•全国.专题练习）已知集合4=卜£/“+21+1=0},其中QWR.若1是集合A中的一个元素，则集A.{-3}B・{1}？1-合4=（）

6.2324高一上•上海,期末数集4={x|%=2女-LAEZ},B={x\x=2k9k^Z}9C={x|兀=4左一1/$Z},若A,b eB,则cz+hw A.A B.B C.C D.A,B,都有可能□3149D.T

7.（2324高一下.江西.阶段练习）若集合A={2,4,8},8=卜则3中所有元素的和为（）

8.（2324高一上.江苏盐城.阶段练习）设集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},定义集合5={3加匕£A北氏a+b而},则集合S中元素的个数是（）A.5B.6C.8D.9

二、多选题

9.（2223高一上•陕西商洛•期中）集合A={%eN|六GN},集合A还可以表示为（）A.{3,6}B.{X|^（X2-3X+2）=0}C.{0,1,2}D.{%eN|-lx3}

10.（2324高一上.浙江台州•期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A.-IGN B.OeNC.V2Q D.兀任Q

11.（2223高一•全国•课堂例题）若3c{m-1,3m,＞-1},则实数机的可能取值为（）A.4B.2C.1D.-2

三、填空题

12.（2324高一上・云南曲靖.阶段练习）用列举法表示集合A={XGZ|O＜尤＜2}可以是4=

13.（2425高一上•上海•课堂例题）用符号或“任”填空.1-3N；

23.14Q；3—Z；4—R；3251Z；60N.

14.（2324高一上•湖北襄阳.期中）已知集合M={a+2,+2叫，若IcM,则实数的值为

四、解答题

15.（2324高一上.全国.课后作业）若集合A={X£R|X2+〃X+I=O,Q£R},且A中只有一个元素，求Q的值.

16.（2324高一上•宁夏吴忠•阶段练习）已知集合4二卜£叫妙2+2尤+1=0},其中QWR.⑴若集合A中有且仅有一个元素，求实数组成的集合历⑵若集合A中至多有一个元素，求实数的取值范围.

17.（2324高一上•全国.课后作业）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件:

①1eS；

②若£S,则-——e S.⑴求证若£0,则1一一；2若2ES,则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.

18.2324高一上•江苏•课后作业若大,工2£加=卜11=+〃直，£Z},证明x yx2G M,X}+X2^M,

19.2324高一上•福建厦门.阶段练习已知由实数组成的集合A,又满足若xeA,则一11A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由;2A中含元素个数一定是3〃〃£N个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.不属于如果a不是集合A的元素a^A a不属于集合A

2.集合中元素的特征确定的,互不相同的,无序的.

3.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的知识点集合的表示方法与分类

3.常用数集及其记法1非负整数集名称正整数集整数集有理数集实数集（或自然数集）记法N N*或N+Z QR

2.集合的表示方法

（1）自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合，

（2）用列举法表示集合列举法一一把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法｝

2.3先写花括号逗号隔开

（3）用描述法表示集合一般地，设力是一个集合，我们把集合/中所有具有共同特征P（禽的元素x所组成的集合表示为｛x£加元x）｝,这种表示集合的方法称为描述法.先写花括号分隔线（）］ftxEA\P x代表元素代表元素的性质（所满足的条件）

（4）图示法:画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合.集合｛12｝用图示法表示如图所示

3.集合的分类按集合中元素个数的多少，可将集合分为有限集和无限集.

（1）有限集:含有有限个元素的集合.例如,集合A二｛a,b,c）是有限集.⑵无限集:含有无限个元素的集合.例如,所有自然数组成的集合是无限集.要点集合与方程的综合应用集合应用的一个典型问题:把集合的共同特征或若干元素用含有参数的式子表示出来，同时已知集合中特定元素或元素个数,求参数的值或取值范围,解决这类问题的关键是将集合问题转化为方程问题⑴集合的方程化:通过集合的表示方法，明确集合中的元素是什么，依据已知条件,确定等量关系,列出方程2）求解有关方程由于方程常有多个解，解方程时要结合集合中元素限定的条件，一般要对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果,易错点1混淆集合的表示方法而致错用描述法表示集合，注意区分数集和点集，以及集合中的代表元素及其范围，对集合的认识是基于对集合中元素的认识.易错点2不理解集合中元素的性质而致错注意理解集合中元素的性质，明确集合中元素的确定性，以及元素与集合的关系，可进行适当变形或者写出一些集合中题型归纳的元素进行比较注意尽可能多写且要注意特殊元素.题型一集合中元素特性的应用【例题1】（2023高一•全国•课后作业）由〃2,2-，3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数的取值A.-1B.1D.2可以是（【变式1］（2324高一上,广东韶关.阶段练习）已知集合4=｛凡同〃-2｝,若2£4则实数的值为（）A.2B.-2C.2或—2D.4【变式2］（2024高一上•全国・专题练习）已知M={Q—3,2Q—=2,4—3,3—1},若例=N,则实数〃的值为.【变式3］（2223高一上•上海静安•期中）已知集合人={根-2,2”7—4},若一，求实数小的值.题型二元素与集合的关系【例题2】2425高一上•上海•课堂例题集合P={xl x=2Z次£Z},Q={x\X=2Z+1MEZ},M={X\x=4k^keZ}9且QEP,bl Q,贝ijB.Q+b QC.a+b MD.4+b不属于尸，Q,A7中的任意一个A.a+b P【变式1］（2324高一上.湖南常德.期末）集合A={x\x=2k,%£Z},B={x|x=2k+1,%£Z},C={x|x=44+1,Z£Z},A.6;+Z eA B.a+be BC.6z+ZeC D.〃+5£AB,C任一个【变式2]2425高一上•上海•课堂例题用符号”「或W填空.100；20Z；3V3Q;4兀R.【变式3】（2223高一上,上海长宁•阶段练习）设集合=卜|工=/一〃2,“力£2}；⑴判断元素7是否属于并说明理由;⑵已知实数%=4攵—2（%£Z）,证明x^M；0⑶对任意4马£加，判断当马是否是集合中的元素？并证明你的结论;题型三集合的表示方法【例3】（2024高一上.全国.专题练习）用适当的方法表示下列集合⑴一年中有31天的月份的全体；⑵大于-

3.5小于

12.8的整数的全体；⑶所有能被3整除的数的集合；⑷方程（工一1）（工一2）=的解集；⑸不等式2x7＞5的解集；

（6）抛物线y二一上的点组成的集合.【变式1］（2324高一上.河北.阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（）A.｛（乂丁）,＞0且丁＜0｝B.｛（尤,丁）,＜且＞＜｝C.｛（乂,）,之且0｝D.｛（x,y）|x＜且0｝【变式2］（2324高一上•青海西宁•期中）集合A=，xeZ无=+a,aGZ，用歹1J举法表示为.【变式3］（2425高一上•上海•课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合.若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由.⑴我国现在的直辖市；⑵比较小的自然数的全体；

（3）数轴上到坐标原点距离是2的点的全体;

（4）比2小的质数.题型四集合的新定义问题【例题4】（2324高一上.湖南长沙.阶段练习）设集合A含有-2,1两个元素，3含有-1,2两个元素，定义集合,满足々£8且8,则中所有元素之积为（）A.-8B.-16C.8D.16【变式1］（2324高一上.江苏徐州.期中）对于集合A,B,我们把集合且xe母叫做集合A与B的差集，记作4—

3.若A={1,2,3,4,5},3={4,5,6,7,8},则3-A=.【变式21（2023秋•徐汇区校级月考）用|A|表示非空集合A中元素的个数，定义=产甘1,若4={0,1）,3=支|（/+以）（尤2+仆+3）=0},A*5=l,则实数的所有可能取值构成集合S,则5=（请用列举法表示）.【变式2］（2425高一上・上海•课堂例题）对于非负整数集合S（非空），若对任意x,S,都有x+S,或者上-y|£S,则称S为一个好集合，以下记同为S的元素个数.⑴写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）⑵设集合5={也,力，abcd若集合S为好集合，求出、b、c,d所满足的条件.（需说明理由）9题型五集合中的方程问题【例题5】（2324高一上.广东广州.期末）已知集合A={x|加-2x+l=0}只有一个元素，则实数〃的值为（）A.1或0B.0C.1D.1或2【变式1］（2425高一上.上海.课堂例题）若集合A={x|/+x+l=O,xcR},且A中只有一个元素，则〃=【变式2］（2324高一上.陕西延安.阶段练习）集合A={x|依-3%+2=0MGR}若A中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来【变式3】（2022高一上.全国.专题练习）已知集合A=W|G2-3X+2=0,X£RM£R}.⑴若A中只有一个元素，求〃的值，并求集合4⑵若A中至少有一个元素，求的取值范围.易错归纳易错点1混淆集合的表示方法而致错例给出下列说法1:x+y=3的解组成的集合为{x=l,y=2}.x-y=1

①集合尤}用列举法表示为；{x£N,3={T0,1}

③方程组其中不正确的有.（把符合题意的序号都填上）【变式11］（2324高一上•辽宁沈阳•阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（）j2x+40X[x+30

②{y y=2x2+1}={x y=2x2+1卜1«1〃X=——-——,〃£N=\x-lx2,xe N；2

④｛（%y）\y=Vx-i+Ji—-｝=｛o,i｝A・0个B・1个C・2个D.3个【变式12］（多选）（2324高一上.四川绵阳•阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（）A.集合｛x£N|d=x｝用列举法表示为｛0,1｝B.实数集可以表示为“卜为所有实数｝或｛R｝（x+y=0f11C.方程组,的解组成的集合为卜=-不/=不［x-y=-i I22J1D.集合｛y Iy=f｝与｛（苍y）|y=工2｝是同一个集合【变式13］（2425高一上•上海・假期作业）用适当的方法表示下列集合⑴大于0且不超过10的全体偶数组成的集合A；⑵被3除余2的自然数全体组成的集合B；

（3）直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合C.易错点2不理解集合中元素的性质而致错x yz Ixyzl例2（多选）已知x,y,z为非零实数，代数式「+告+—+匕」的值所组成的集合是则下列判断正确的是国3Z孙Z（）A.O^M B2eM C.-A^M DA^M【变式21］（2022高一上•全国・专题练习）设集合A={1,2,3},5={4,5},C={x+y|x£AycB},则中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【变式22］（多选）（2324高一上•江苏盐城•阶段练习）已知集合4={-1,北苏—2m_2},若16A,则加的取值为（）A.3B.1C.1D.3【变式23］（2425高一上•上海,课堂例题）集合A中的元素为、b,集合8中的元素为

0、”，且集合人=人求Q+b的值.过关检测£▼

一、单选题

1.（2324高一上,四川乐山•期中）集合l2x+l7}用列举法表示为（）A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1}

2.（2324高一上•河南•阶段练习）设集合M={m-若OwM,则实数〃2=（）A.0B.-1C.或—1D.0或

13.（2324高一上.北京.期中）若关于1的一元二次方程依2+2（Q+1）X+4=0的解集为单元素集合，则（）。