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学年（下）高一年级训练
（一）（参考答案与解析）
20231.B【分析】由已知运算和复数的运算化简即可.【详解】由题意可得-2iz-i（l-i）=0,（）（）on il-i ixil-i
11.-2i-2ixi22（
11、所以复数z在复平面内对应的点为-亍彳，在第二象限，故选B.
2.B【分析】根据向量数量积分析可知,+6）（万-5）=0等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断•【详解】因为伍+方方）=片-4=0,可得解=片,即同=可可知（4+5）-
（5）=0等价于同=可若或九可得同=可即卜+孙（万一5）=0,可知必要性成立；若伍+孙（万一可=0,即同=瓦无法得出或=工，£例如M=（l,o）=（0,1）,满足同=忖，但Zw万且Zw-九可知充分性不成立；综上所述，“卜+孙
（5）=0”是且的必要不充分条件.故选B.
3.A【分析】利用向量数量积的运算量，结合户4口,6］即可求解.£【详解】取3中点为0,连接PO,显然|所归［1,6］,则而正二（而+砺）（而+元）=（所+而）（府一丽•••220=~PO-OB=PO故选A
4.C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积.【详解】如图，以3为坐标原点建立平面直角坐标系，则5（0,0）,E（0,-2a）,C（2〃,0）,依题意，0
（000）,a（0,0,4）,8
（020）,£（2,0,0）,M（1,1,0）,A（0,—2,0）,£＞（0-2,4）.1,O、M=0,x.+y,-4z.=0,设“=（5,降4）是平面也的法向量,2^0,取寸牝得安4=1,所以m=（lJ-4）,*=（0,2,0）,*=（2,0,-4）.设第=（X2，％，Z2）是平面QME的法向量，则取七=2,得％=2,，Z2=1所以）=（4,0,1）是平面也的一个法向量.n-OM=0,%—4Z=02]2即儿）O1E=2X2-4Z2=0,•所以cos々，==^%4x24-0x2+1x1_3A/17•n2cos6=cos屋区=处
1.17设二面角的大小为区据图可知,-QM-E所以0=
（221）是平面也后的一个法向量所以二面角-QM-E的余弦值为巫.
1719.⑴证明见解析、/Q153⑶丁【分析】
（1）连接BG,即可证明AR〃平面8CGA,根据线面平行的性质证明即可；
（2）设也「|%=/，连接A尸，设8C0|A尸=G,连接G£,即可得到截面即为平面AGE一再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；
（3）取BC的中点N,3⑸的中点用,连接MN、ME.
4、,即可证明平面AMN〃平面AGE，贝IJP在线段MN上，从而得到当为MN的中点时4尸最小，令MEnBG=〃，连接GH,贝1J球心在G”上，设球心为，连接A、OP、PH,利用勾股定理求出外接球的半径R2,最后根据球的表面积公式计算可得.【详解】
（1）连接8G,因为A5=2G且A3//DC,所以A8CQ为平行四边形，所以A〃//g,平面3CC4,B0U平面BCG%所以AR〃平面5再，又平面BCC由Ia=/,平面，所以A/.2在正方形CG2中，直线石与直线QC相交，设山口“二尸，连接瓶，设3Cpp/=G,连接GE,由E为CG的中点，得G为3C的中点，.G//A2,所以平面AGE即为平面，因为石为CG的中点，所以C为尸的中点，所以平面a将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE-D4，因为正方体ABC-4BCA的棱长为4,所以X二V棱台CGE-DADi=VF-D/ID,一^F-CGE_7”_71™_711o5644=~VF-DA^=g xF£=gX-X2X4x4x8=_^*・.另一部分几何体的体积匕=43一日=半，•V7，两部分的体积才=不•V,1/3取AG的中点N,8片的中点“，连接MN、ME、A/、AN,显然MN//3G,EG IIBC,,即以MN//EG,MN N平面AGE，EGu平面AGEj,所以MN//平面AGED1,又石为CG的中点，所以ME//BC1且ME=B】C「又AR//BC且AA=B,£所以AQ//ME且AQ=ME,所以ADE”为平行四边形，所以4〃2石，4“E平面AGE，D|EU平面AGE，所以平面AGE，，又4加口腔=用，4知,加石匚平面4m7,所以平面〃平面AGE2,又点P是侧面8CC4内的动点，且AP〃a,所以P在线段MN上，又AN=AM=4^^=2下,即为等腰三角形，所以当尸为MN的中点时A/最小，因为小AA为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边A2的中点，设为，令MECBCyH,则〃为BG的中点，连接Q,则QH//A所以平面A4Q,所以球心在QH上，设球心为，连接
02、OP.PH,设外接球的半径为R,0Q=h,则q=0P=R,又D6;AQ=2及,PH=
42.加『，所以R2=+（2后）1R2=（4-/Z）2+（解得〃W，则=*，所以外接球的表面积S=4兀斤=号兀.4【点睛】关键点睛第三问题点的轨迹问题的关键是通过面面平行确定P的位置,在对于外接球关键是确定球心所位置.又/8=60+90=150，所以ZDCr=30，贝lj（2+石凡〃）,所以前=（2a+Ga,Q）,CE=（-2a,-2a）所以加.庵=-2Q（2Q+百Q）-2/=—2（3+@〃.,【分析】举反例可否定ABD,由线面平行性质定理、面面垂直判定定理可知C正确.【详解】对于A,直线〃可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故A错误；对于B,直线〃可以平行平面也可以在平面内，故B错误；对于C,由加〃夕，过加作平面/交夕于直线，即平面7C/=直线，由线面平行性质定理可知，直线阳4t线a,又加_La,所以直线_La,又直线〃=/,由面面垂直的判定定理得a，故C正确；对于D,若，月,相，，直线〃2可与平面夕平行或在平面用内，故D错误.故选C.
6.C【分析】利用样本平均数和样本方差的定义列式计算即可.【详解】由甲同学的样本的平均数，方差分别为与=4,s*=5,乙同学的样本的平均数，方差分别为工=7,s=10,10876510+
9.44一x十一x18181381则合在一起后的样本平均数还卷x4+*7与则合在一起后的样本方差C.故选
7.B【分析】根据题意，求出X=3时，取球的情况，结合独立事件的乘法公式求解即可.【详解】由题意，X=3时，取球的情况为白白红，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑红,黑白白，黑白黑，黑白红，21rl
2、2211所以P（X=3）=—X—X—H--------------F—（）£X]X-+-+54333A.故选
8.D【分析】根据给定条件，将三棱锥P-A3C放到长方体中，求出长方体的体对角线长，从而求得三棱锥P-ABC外接球的半径，从而得解.【详解】因为在三棱锥尸―ABC中，PA=BC=A，PB=AC=扪，PC=AB=3y/2,将三棱锥P-ABC放到长方体中，设长方体同个顶点A的三条棱长分别为Q/,J如图，a12+2=13则〃+，=（3『=18,所以片+/十^=？*，/+=17因为长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，所以二棱锥尸-ABC外接球的直径为，Q2+匕2+2=5y,半径为,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀（了=24兀.•D.故选【分析】由辅助角公式化简即可判断A,结合正弦定理代入计算即可得到cosO=正，从而判断B,由余弦定理代24入计算即可判断D,再由三角形的面积公式即可判断C（71A）所以2cosI-A A『向【详解】因为6sin——FCOS—=2cosC=2cosCA（且A、B、为三角形的内角，所以4£（0,兀）,可0,-.£3I iJ则,所以g-[=C，即A+3c=兀，故A正确；，J JI J33由24+30=兀可得3=兀一（74+）=兀一（兀一3+）=2,2「R,B,所以2sinB=J7sin工，sin—22由正弦定理可得当=sin BsinC即sin B即4sinOcosO=V7sinO,Ksin-^0,2222R71所以COSB=2COS2——1=2x---1=一一,故B正确；2168i A由余弦定理可得力2=+/—2〃CCOS3,即7=/+4—2ox2x--I07整理可得3=，解得=或〃=—2（舍），故D错误;乙乙因为sin3=Vl-cos2B=J1-l.l33V79V7=csinB=x x2x=j贝U故C正确；S^ABC故选ABC
10.ABC【分析】棱CG上取点方，利用线线平行可得截面为四边形片歹，进而求面积判断A,利用等体积法判断B,利用线£面平行的判定定理判断C,假设存在，利用面面垂直的性质定理判断D.【详解】由题意知点后在棱A4上，且AE=I,在棱cq上取点尸，8⑸上取点月，使得C/=4后=与片,所以石〃片〃3尸，平面a截正方体ABCD-A B£所得的截面为四边形4EDF，_fBE+DE-DB cosZB,ED=------------------------------------L3因为四边形瓦瓦尸为平行四边形,2xB\ExDE5717又因为E=37=5,DB1=4g,=J万,3Y4A/26所以四边形与尸的面积5=耳石・七5由/月%=1万乂5*生幽=4后，人说法正确5V
1711、32所以sin AB,ED=连接BR3D,三棱锥—耳板5A的/1体7积~V5三历棱锥8x4x4x4=—.，3I37由上面知4而=2质设点璃平面的距离为心由匕棱铢8四=Q X2=咚棱锥D.B/F=丁,解得h=B说法正确；J J1D延长石交4的延长线于点G,所以士=，解得AG=g,£¥AD EA34在A上取点，使得了=热所以尸G〃AG,且PG=4G,所以四边形AGPG为平行四边形,所以GP〃片G,又c/a平面a,qGu平面a,所以QP〃平面，C说法正确；假设存在点Q,使得G，平面a,因为GQu平面3CC4,所以平面，平面5CG4,又平面A AGA，平面8CC4,平面agGAn平面a=可得用GJL平面3CC4,又44,平面Bcc4,所以〃内，AG A与片Gnag=用矛盾,所以在B片上不存在点，使得G，平面a,D说法错误,故选ABC
11.ACD【分析】对于A,由已知将四棱锥Q-49补形为正方体，即可求得外接球的半径，进而求出表面积，判断A；对于B,取8C、尸中点尸、G,连接EF、EG、GC,可以证得族//平面如C由所=心可得BE与平面PDC不平行，判断B；对£»于C,由已知条件可得QC=Q，得点的轨迹为线段C的中垂线，则可求出夕长度的最大值，判断C；对于D,由已知可得点例的轨迹为以为圆心，2为半径的!个圆弧，则当股在AC中点时四棱锥4尸-/WC的体积最大，进而求出四棱锥尸-/河的体积的最大值，判断D.【详解】对于A,由已知将四棱锥补形为正方体，则该四棱锥的外接球的半径即为棱长为2的正方体的体对角线长,所以（2R『=22+22+22=12,则4=3,所以外接球表面积为4兀a=已兀，故A正确；对于B,取8C、PD中点F、G,连接即、EG、GC,贝IJEG//A且比二=AD,2又3C//A且3C=A，所以EG//FC且EG=FC,所以四边形EFCG是平行四边形,则Eb//CG,又CGu平面0DC即2平面阳C所以成//平面Q0C又EGIIBC、所以£B、EF、GC共面，由斯=心所以BE与平面PQC不平行，故B错误；对于C,由已知，ZDQA=ZBQC,得tan/OQA=^=tanN3QC=W，£»所以QC=Q，则点的轨迹为线段的中垂线，当为尸中点时，8最大,此时BQ=后二区了=灰，故c正确；对于D,由已知，点仍在正方形4内（不含边界），NDPM=45,所以点例的轨迹为以为圆心，2为半径的I个圆弧，4要使四棱锥尸-/河的体积最大，则需四边形408的面积最大，当股在AC中点时四边形AMCQ的面积最大,此时SAMCD=2x-x2x2xsin45°=2V2,所以四棱锥户-/例的体积的最大值为、2逝x2=生”故D正确.33故选ACD.【点睛】关键点点睛求一些几何体的外接、内切球面积或体积的问题，主要是求出球的半径，要合理的利用补形，利用长方体或正方体模型；几何体中动点问题，求线段、面积、体积等最值问题，主要是找到取得最值时的动点的位置.
12.V13【分析】由数量积的定义求出小，再根据|2-可=而工/及数量积的运算律计算可得【详解】因为同=1,忖=石，且日与B的夹角为期，故答案为V
1313.
84.55【分析】利用第70百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可.【详解】由题意得
0.004+a+
0.018+2x
0.022+
0.028xl0=l,解得a=
0.006,因为前4组数据的频率之和为
0.04+006+
0.22+28=
0.6,前5组数据的频率之和为
0.04+
0.06+
0.22+
0.28+
0.22=
0.82,则70%分位数在［80,90内，设70%分位数为x,贝IJ
0.6+x—80x
0.022=
0.7,解得工
84.55,所以70%分位数约为
84.
55.故答案为
84.
5514.23【分析】空1延长CG交AA于点心由线面平行的性质，可得到GE//M,从而得到CG=2G凡进而得解；空2取C4中点，找到081平面2A，所以NOGB或其补角为直线G8与平面所成角，进而得解.【详解】如图所示空1延长CG交A2于点尸，连接员则尸为中点，如下图所示G\ZEST4B因为GE〃平面状3,GEi平面CB/，平面C5尸c平面质3=即所以GE//BF,因为点G为△AAC的重心，所以CG=2GG所以石=2仍,4=
2.空2取C4中点0,连接ORG氏GO,，则OBLAC,设正方形//7边长为2,因为GE//B/，GE1D/,所以B
①,又则尸为A，中点，所以AB=R3=2,RMABC中,AC=26,0B=LAC=6,2同理可得，20=0,因为22+52=田2,所以又ACcO0=，所以81平面2AC,则GO为GB在平面D.AC内的投影,所以NOGB或其补角为直线G6与平面
①所成角,Rt^OGB中，G0=-D0=—,tan/OGB==3,33OG]故答案为2；
3.
15.lc=
97.5,夕⑹=
3.5%;-
0.008c+
0.82,95c100⑵fc=最小值为
0.
020.01c-
0.98,100c105【分析】1根据题意由第一个图可先求出J再根据第二个图求出
297.5的矩形面积即可解出；2根据题意确定分段点100,即可得出/的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.【详解】1依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x
0.002＞
0.5%,所以95＜＜100,所以c-95x
0.002=
0.5%,解得c=
97.5,c=
0.01x100-
97.5+5x
0.002=
0.035=
3.5%.2当/£［95,100］时,/c=pc+7c=c-95X
0.002+100-c x
0.01+5x
0.002=-
0.008c+
0.
8220.02；当cw10,15］时,fc=〃c+qc=5x
0.002+c—100x
0.012+105—c x
0.002=
0.01c-
0.980,02,-
0.008c+
0.82,95c100故/c=,
0.01c-
0.98,100c105所以/（C）在区间［95105］的最小值为
0.
02916.⑴历2—24【分析】
（1）列出所有基本事件，根据古典概型及对立事件求解；
（2）根据独立事件的乘法公式、互斥事件的和的概率公式及对立事件求解即可.【详解】
（1）从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、小东、小英），（小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小红、小军、小青），（小红、小英、小青），（小东、小军、小英），（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青）共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的，对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青），10所以至少有1人是通讯专业的概率为=1一日=
（2）设4=小红应聘成功”，B=“小军应聘成功”，C=小青应聘成功”，则至少有2人应聘成功的概率2133213^117x—+—X—1---------—X—X——l——x X242432I4J324P=+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）【分析】
（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）取AC的中点，连接30,在和中，分别利用余弦定理表示cos，结合〃=十，+枇、化简求出J再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】⑴♦.,26cosC-c=2a,.序_〃
242.・由余弦定理得2b.T—c=2%•2ab化简得+j—/=一cosB=/+百一/=一’.2ac227r3E（0,兀.3=7；
（2）由⑴可得2=/+°2+QC=,2+3c+9
①，▽ci2+b2—c2r又cos C=------------
②，2ab取AC的中点，连接3D,b219在△C5中，「BC2+CD2-BD2+1一%
③9,cosC==—2BC-CD ab由12
③得2
④2—A=],由
①④得，-3c-10=0,解得=5或c=-2（舍去）,
18.1证明见解析小•q3后••乙A1B7C24【分析】1通过线面平行证明线线平行,、-*,—匕2利用空间向量的方法解决角度问题，cos勺%==【详解】1证明取AE的中点N,连结N,MN.在△人中，M、N分别是EB,E4的中点所以MN〃曲RAB=2MN.£»ZA在正方形ABC中，AB//CD,且AB=CD,又点是CO的中点，所以OQ〃AB,且AB=2a.所以MN〃0Q,且MN=QQ,所以四边形是平行四边形,所以QM〃QN,又Nu平面AT£,01Mz平面4石,MNDQ所以加//平面AO£.«2解因为A5是圆的直径，石是A3的中点，且钻=4,所以EJ_Q3,且OE=OA=OB=
2.以为坐标原点，以石，OB,1所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系-肛z.。
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