人教A版综合测试答案

人教版（）必修第二册综合测试A2019参考答案选择题题号1234567891011答案B AD A C AD DBC BDABD

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知i为虚数单位，复数z满足一^=i,则z的共筑复数亍二（）Z-1A.1-i B.1+i C.2+i D.2-i解因为一L=i,所以z=l+』=l—i,故彳=l+i.z-1i

2.某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了A.21B.19C.16D.181050解:高三年级应该抽取的人数为x56=21800+950+1050调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（）

3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为（）A.48兀B.1671C.64G兀D.竺叵3解设圆锥的底面圆半径为一，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2兀〃二8兀，解得r=4,又侧面展开图是半径为8的半圆，即圆锥的母线长为8,则圆锥的高〃/82-42=4A/3，=A所以该圆锥的体积为V=，兀/〃=,兀*42x4百=处昼

3334.已知用,凡/是三条不同的直线，鬼月,/是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.a工丫邛［Y,acB=1,则B,加与〃异面，I1mJ±n,则不存在使得/_La///a,〃//a木频率/组距

0.030-------1-a---]——

0.020----------------

0.016—

0.010---------------------4102030405卜时长分钟1求的值；2估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；3若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.解1由题意知，

0.16+10^+

0.30+

0.20+

0.10=1,解得=

0.

024.2由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为5x

0.16+15x

0.24+25x

0.30+35x

0.20+45x

0.10=

23.4分钟.3由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的频率为

0.20+

0.10,则该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为2000x

0.20+

0.10=600人.

17.为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已31知甲家庭回答正确这道题的概率是一，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是一，乙、丙两412个家庭都回答正确的概率是若各家庭回答是否正确互不影响.41求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；2求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解1记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”3——⑻孑©则尸z=1p孙《，p4，112P8-PC=%分别为事件4B,C,3所以尸为=『尸«=』・O332所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为三和不o31515二X—X—二——2有0个家庭回答正确的概率有1个家庭回答正确的概率3511311527[=[++=F PABC ABCABC48348348324—X—X—H——X—X—H——x—X—=——,5721所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=H=1----------------------------二一962432L

18.如图，在直三棱柱48C—中，AB JBC,AA.=AC=2,BC=\,E,b分1求证平面平面BRCG；别为8C的中点.2求证在棱4C上存在一点使得平面平面力8£；3求三棱锥£—的体积.解1在直三棱柱44G中・.・J_底面/8C,u底面ABC,上

48.又・AB上BC,BB^BC=B,BHHCu平面片3CG，B}又48u平面••・平面平面A3CG；2证明取48的中点G,连接£G,FG.・・・£,F,G分别是4G，BC,48的中点，:.FGHAC,且尸G=；ZC,££=；4G-v AC//,且/C=4C，:.GF IIEC\,且G/=£G，・・.四边形bGEG为平行四边形,・・.Gb//£G，G尸E平面.5E,EGu平面所以/〃平面Z3E,取4C中点A1,连接W,MC、,则“/〃4g,/3匚平面48£,此2平面48£,所以MF//平面48£,•・・C/「I尸=F,C\F,MF U平面C\FM,故平面GFM//平面ABE.•e•在棱AC上存在中点M,使得平面C】FM//平面ABE.3・・・/4=ZC=2，BC=\,AB IBC,AB=4AC1-BC1=73-••・三棱锥£—为=~345^-AAC ABCV4B=-x-xV3xlx2=^F匕!zc3zx/i oci323一3——

19.如图，在A4BC中，AB=6,AC=4,cos ZBAC=-,54=，点”在C的延4长线上，点P是边5C上的一点，且存在非零实数4,使MP=M4+”1求方与方心的数量积;2求方与团的数量积.AB AC+R R3解1在AA5C中43=6,4C=4,cos/84C=—43由余弦定理得3c2=6+42—2x6x4x—=16,4所以3C=4,所以A43是等腰三角形，且ZC=BC,L所以n23,ABBC4所以AB♦BC=6x4义=-

18.AB AC、__得万=4AB ACW7所以点P在ABAC的角平分线上,又因为点尸是边8c上的一点，rp Ar42所以由角平分线性质定理得——=——=-=-PB AB63——2——所以CP=—C

3.5因为5而二方，-3,a-b=6x4x—=

18.__2___________由C7=—C3,得4P—B=—所以万=又丽=B+而=-5+L,6所以C.mlla.nlI[

3.a V3,则加D.m±a.m±p.n±a,则〃///解对于A,因为_L九尸_L九ac^=/,如下图,若分别为面/

24、面CO〃G、ffi ABCD,且/为3，显然Q_L面/BC，则故A正确；对于B,如下图，为直线加，AG为直线〃，4为直线/,取4”力,8a AG的中点加；N,瓦尸,连接MN,NE,EF,FM,所以四边形MVFE为，存在，使得/J_a,加///〃//a,故B错误;对于C,若加//%〃//JL，则〃M〃相交、平行、异面，所以C错误;对于D,若冽，/加，则几，所以D错误.

5.在△/BC中，角/,B,C的对边分别为Q,b,c,acosC+ccosA=c则△ZBC的形状为（）9A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=sinC,sin（^+C）=sinC,A sin5=sinC,,・,三角形内角和等于180,:.B=C,6,打靶时，甲命中目标的概率为

0.8,乙命不中目标的概率为

0.

3.若两人同时射击，则他们同时命中目标的概率为（）1412123A.一B.一C.一D.-2525505解设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，两人同时射击一目标,0（/）=

0.8,尸⑻=1-

0.3=

0.7,・..他们同时命中目标的概率是P（AB）=P⑷P（B）=

0.8x

0.7=

0.

56.

7.已知向量之二（后cos Jlsino）方=（2sin尸,2cos/）,2万一3=4,则B在万上的投影向量为（）__17*]_A.2b B.2a C.—b D.—a22解因为2万=4,所以4万之+7—4万.B=16，又因为|万『=2』B『=4,所以，B=—展T所以B在万上的投影向量为空■・2二—,晨

28.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为s；,平均数为I；去掉的两个数据的方差为平均数为兀；原样本数据的方差为§2,平均数为口若1二元，则下列选项箱送的是（）B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变102=9；+；C.S SSD.剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数解设20个样本数据从小到大排列分别为芭/2，%3，・・・，30,则剩下的18个样本数据一1一1对于A,依题意，玉=--------（工2+工3--工2=一（X+120）182亍=]$++…+工20，乙\J一一_I1由X]=/，得X]=1^“2+3+,••+X]9=5%+%209即x+x H-----FX=18x”再+x=2吊，231920—\—于是X1+32+工3T卜西9+工20=20项,因此X]+%2+―3+,,•+否9+*20=%]，20对于B,原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为显土为B正确;——11—2—2对于C,因为工=玉=t2，则s；=—（X；+X；+・・・+流）-1,s；=-（x；+x；o）—x,1825456=—（X.2+X；+-・・+-x220v2—2—2于是18s；+18x=2s；+2x,x；+x；+…+x；=,x；+因止匕=-L（18S；+18三2+2s；+2t亍即c§22）—2=22+J s）10§2=92+s；,20V1710110212正确;对于D,因为18x22%=

3.96,则剩下18个数据的22%分位数为占，又20x22%=

4.4,则原样本数据的22%分位数为D错误.

二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示为四边形48C的平面图，其中Z8//C，AB=2CD=4,AD1AB,B.AB=440=2后，用斜二测画法画出它的直观图四边形MCD,其中/x4x=45，则下列说法C.四边形为等腰梯形/M NBr xrCD=2,AD=L D=6,其中AB」/CD,AB=AB=4,CD=A故A错误，B5正确;D.四边形48C的周长为6+4/5解由题意可画出其直观图如下,COW过点D,C分别作DfM1ABCN±AB,垂足分别为点M,N,故AM=DfM=ON=4Osin450=1，NB=AB—CD—AM=1,故5c=E则四边形HQC为等腰梯形，故c正确；故四边形ABCD的周长为4+2+2a=6+2血，即D错误.

1410.设4民是一个随机试验中的三个事件，且P（/）=—,p

（3）=—,A与互斥，则下列说法正确的是（）139A.若尸（4+8）=石,则尸

（45）二74B.若事件4台相互独立，则P（/8）=mD.PM]C.解对于A选项，因为P（4+8）=P（/）+P

（3）—P

（45）,尸（/）=;，P⑻=p（/+5）=*14134则有（/8）=P（Z）+P

（8）—P（/+8）=—+---------=—,所以A选项错误;3515154对于B选项,因为事件48相互独立，所以（N5）=P（/）P

（5）=一,所以B选项1正确;对于C选项，因为事件A与互斥，故尸

（4）=0,所以C选项错误;对于D选项，P（AC）=P（A）-P（AC）=-,所以D选项正确.

11.如图，在直棱柱4片GD中，底面是边长为2的菱形，NBAD=60°,力4=2,点2为CG的中点，动点在侧面CGA内（包含边界），则下列结论正确的A.BDA.AC,B.若点在线段4上，则四面体4田月的体积为定值c.若4=近，则点轨迹的长度为工D.若点£在直线力由上，则AE+EP的最小值为J9+2而连接力C,4G，8，由菱形/BCD可得/C工，再由直棱柱/Be—44GQ,可得eq，底面又因为8Zu底面48CD,所以CG，3，而CG C%G=G，所以平面/CG,又因为/£u平面ZCG，所以aJ,4C；,故A正确;取GO的中点为〃，连接又由点P为CG的中点，可得MP//CD],//3,而46//],所以MP A即四点民4共面,由MPu平面MP34，C02平面所以CD|//平面必有4,因为动点£2,所以动点到平面MP54的距离不变，又因为己民4三点固定，则四面体45P的体积为定值，故B正确;动点在侧面CGA内（包含边界），过4作4N，G，垂足为N,由直棱柱/3C-44G〃，易证明4N，平面CGA，而N0u侧面CC]〃，即有4NJ_N，由菱形/BCD边长为2,NBAD=60°,可得4N=J5,再由勾股定理得=万=2,则点的轨迹是以N为圆心，以2为半径的圆弧，7T则由侧面正方形CG2,可知叫=1，NQ=2,可得/QV，=—,271所以点的轨迹的圆弧长为——，故C错误；3利用直棱柱力BCD—44G的所有棱长为2,可计算得4B=2叵BP=区A、P=屈,再把这三角形与三角形48P展开成一个平面图，如下图_2/28+13-5A由余弦定理得:cos/BA/=2x2瓜而一而利用平方关系得:sin/BA、P=所以cos AAAP=cosX—4-/i-o,—t A再由余弦定理得/夕=4+13—2x2x Mx—『=9+2加，2V132即AP=,9+2丽，故4E+EP的最小值为+2瓦，故D正确;

三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若向量万=2,—1,a-b=10万+B=5板，则3=.解v a=2,-1,a\=\/5,由题意可得,2+庐+2限5=50,万.3=10,・・・5+庐+20=50，.・庆=25,.,也=5,♦

13.若一组数据%,%，的，…，〃的方差为4,则34—1,3%—1，3%-1，…，3〃一1的标准差为解因为外,a,4，…，〃的方差为4,平均数为三,2所以[-亍+g—亍『-------------|_Q〃_亍4〃，22=新数据的平均数为3H-1,所以新数据的方差S2=-n|^36-1-3+12+3^-1-3+12+---+3^-1-3+12]Z X XX12所以3q—1,3%—1,3%—1,・・・，3一1的标准差为

6.

14.已知四棱锥尸的侧棱长都相等，且底面是边长为3亚的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P-/8C的体积为.解由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为3亚x也=6，棱锥的底面积为5=3万『=18,据此分类讨论当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为力=5+JF=？=9,棱锥的体积」S〃=54；JZ3当球心位于棱锥外部时,棱锥的高为h=5—加2—32=1，棱锥的体积P=6；综上可得四棱锥P-的体积为6或

54.

四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知△NBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,c=3asinC—ccos4⑴求/;2若〃=寸7,b+c=汨，求△ZBC的面积S解1因为c=\3asin C—ccosA,所以sin C=3sin/sin C—sin CeosA,5C sinC#0,所以1=\Gsin力一cos4,即sin[6^=-.2又4是△ZBC的内角，所以4=四.32因为Q=S,/+c=V19,A=~,所以由a1=b1+c1—2/ccos A,得7=/2+02—命，即7=6+c2—36c,解得6c=

4.所以S=%csin A=\

5.

16.为了全面提高学生素质，促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计,得到如下的样本数据的频率分布直方图.。