圆锥曲线知识点总结

班级姓名学号圆锥曲线与方程2013年12月椭椭圆方程及其几何性质双曲线方程及其几何性质圆与双曲线的基本性质定义\MF\+\MF^2a（2|匹玛|）\\MF\-\MF^2a（2，|大巴|）l2l2定义追

①若2a=|FIF2|,则M的轨迹是线段

②若2a|FIF2|.则M

①若2a=|FIF2|,则M的轨迹是两条射线

②若2a|F1F2|.踪的轨迹不存在

②若2a则M的轨迹不存在则M的轨迹不存在

②若2a|FF1，则M的轨迹不存在|FIF2|,焦点焦点在X轴上焦点在y轴上焦点在X轴上焦点在卜轴上标准方22y2X222马一乐=1（，人0）程与+==1（4〃0）a-b-彳+3=1（〃00）=1（4〃0）一股方程mx+ny2=1（/:

0.//0,m*〃）（已知过两点inx~+ny2=\（nm0）（已知过两点时用）时用）a.b.c的关c2=a2-b2c2=a2+b2系L...,A图形w弋*F,Al AF；等里讣7ABi!1,-A-J|\A.p%.ri范围-aWxWa,-bWyWb-bWxWb,-aWyWa x2a或xW-a.y£R y2a或yW-a.xGR42（±，），稣2（°，顶点用.2（±40），

4.2（0，士）A,2（±a，0）

4.2（0,±）坳关于原点，□轴，匚轴对称；长轴长口，短轴长口关于原点，口轴，口轴对称；实轴长口，虚轴长口对称性焦占耳（-c,0），B（c,0）片（0,-c）,玛（0,c）巴（-c,O）,乙（c,0）K（O,-c）,K（O,c）焦距1F,F,|=2c（c0）□（离心率越大,椭圆越扁）□（离心率越大.开口越大）离心率渐近线无£

4.=0即）,=±*a~b a3*=晒=±焦点三角Sw—taQ（6=5）S=b7（e=R华）/^2形面积（当口为短轴顶点时口最大，面积也最大）（当p为短0轴顶点时e最大，面积也最大）先定型后焦点在产,产分母大的坐标轴上焦点在丁项系数为正的坐标轴上定量椭圆与双曲线的补充性质

1.焦点弦的性质过椭圆或双曲线焦点的弦叫做焦点弦，设焦点弦的两个端点坐标分别为口，则

（1）若U过椭圆的一个焦点LL则口的周长口；命题人审题人编号2013T2-专题-02

（2）若口过双曲线的一个焦点口，并与双曲线一支相交,且口，则口的周长口;

（3）通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）是最短的焦点弦，在椭圆与双曲线中，通径长都是口

2.双曲线渐近线的性质焦点到渐近线的距离等于虚半轴长口；

3.由渐近线方程求双曲线方程的方法（此方法一般适用于另一个条件为过一个点〉

（1）若双曲线渐近线方程为口，则双曲线方程可设为口2222

（2）与双曲线［一与=I共渐近线的双曲线方程可设为「-3=4（%工0）ab~az b~

4.等轴双曲线□方程可设为□,且具有以下性质

（1）离心率口，即口

（2）渐近线方程为口，即渐近线互相垂直

5.椭圆上的点的设法若P是椭圆□上一平面内到一个定点E的距离与它到一条定直线/（F不在/上）的距离相等的点的轨迹点，则可设口（可用来解决椭圆中的最值问题）三.抛物线的基本性质定义定义追踪若F在/上则轨迹是一条直线焦点焦点在X正半轴上焦点在X负半轴上焦点在），正半轴上焦点在），负半轴上标准方程y2=2pxp0y=-2xpo x2=2pyp0x2=-2py/PI tv7,1一1fyJK■引图形£7R十多）焦点坐标F例F范围.r0,y£R xSO.y^R yO,xeR yWO.xeRx=E鹏准线方程x=-E22y=-2叱f焦半径公式|MF|=5+/\MF\=^-x.IM尸b5+N IMF一次项定轴，符号定开口先定型后定量四.抛物线的补充性质1-统一方程

（1）焦点在x轴上的抛物线统一方程可设为口，焦点坐标为口，准线方程为口

（2）焦点在y轴上的抛物线统一方程可设为口,焦点坐标为□，准线方程为口

2.抛物线焦点弦的性质设直线口过抛物线二的焦点口，并与抛物线相交于两点口1两个定值口.口2焦点弦长口；3口轴时.此时的焦点弦叫做通径，通径是最短的焦点弦,且通径长口4以口为直径的圆必与准线相切；5若口在准线上的射影分别为口，则口五.直线与圆锥曲线的位置关系

1.类比点口和圆口的位置关系，得点口和椭圆口的位置关系的判断方法2222221P在椭圆内率12p在椭圆上O当+率=13p在椭圆外o毛+野1a b~a lra~/

2.过圆锥曲线上一点的切线方程类比过圆口上一点□的切线方程为□.得221过椭圆5+5=1上一点P毛，兄的切线方程为誓+需=1;2过双曲线£-£=1上一点尸七,九的切线方程为子-爷=1；3过抛物线■□上一点口的切线方程为口，即口；

3.直线与圆锥曲线的位置关系1交点个数问题联立直线方程与曲线方程、消去y得到方程Ax2+Bx+C=0,则

①当A=0时,直线与曲线相交且只有一个交点双曲线中也可能直线与渐近线重合.此时无公共点;

②当A*0时.△□相交两个公共点；△=口相切一个公共点；□相离无公共点2弦长公式若直线口与圆锥曲线相交于两点口，则I AB|=ylx-x2+-y2=Jl+y J%T22=.+3也=4y仇}2yi2JX+X21_4X3中点弦问题涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求整体求解已知口中点为口，设口，则点差法的解题步骤为第一步，代点将口分别代入圆锥曲线方程.得到两条方程式；第二步，作差将两条方程式相减，然后运用平方差公式、中点公式和斜率公式得到弦所在直线方程的斜率.第二步，检验，即验证直线与圆锥曲线有两个公共点也即验证△六.典型例题例1设圆Cx-12+y2=1,过原点作圆的弦0A,求0A的中点B的轨迹方程.例2在直线口上取一点P,过点P以椭圆口的焦点为焦点作椭圆，求长轴最短时的椭圆方程.例3如图.已知定点口，椭圆口，P是椭圆上任意一点，求1|PF|+|PB|的最小值；2|PF|+|PA|的最大值和最小值.例4已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线,交椭圆于A,B两点，□与口共线.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M是椭圆上任一点且二证明口为定值.例5设双曲线C:口与直线口相交于两个不同的点A.B.

（1）求双曲线C的离心率□的取值范围；

（2）设直线口与口轴的交点为P,且二L求□的值.。