5圆与圆的位置关系

5圆与圆的位置关系

10.5圆与圆的位置关系课标要求考情分析核心素养

1.掌握用几何法处理圆与圆的位置关系的相关问题的过程.

2.了解几何法和代数法在处理圆与圆的位置关系的有关问题时的优劣.

3.会求圆与圆相交时公共弦所在的直线方程和公共弦长.新高考3年考题题号考点直观想象数学运算逻辑推理20221卷14圆的公共弦，公切线

1.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为，，两圆圆心间的距离为，则两圆的位置关系可用下表表示位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系公切线条数

432101.设圆

①，圆

②,若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由

①②所得，即.

2.圆系方程1同心圆系方程，为定值，为参数；2过直线与圆交点的圆系方程3过圆与圆交点的圆系方程，—，解题时验证圆是否满足题意.

1.[P95T5]已知与，则两圆的位置关系是A.相交B.相离C.外切D.内切

2.[P95T1]已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹方程.判断中轨迹与圆的位置关系.考点一圆与圆的位置关系判断或求参【方法储备】

1.判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是【典例精讲】所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为.练4-

6.【解析】取的中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，为的中点，，设点，，即在圆上，，整理得，存在点，，，.故答案为.【易错点归纳】例

7.【解析】由题可得，即故圆的圆心为，半径，若两圆外切，贝U,解得，若两圆内切，贝L解得.故答案为或.例

8.【解析】圆的圆心为，半径为，其关于的对称圆方程为，根据题意，圆与圆有交点，即可以是外切，也可以是相交，也可以是内切.又两圆圆心距，要满足题意，只需，解得.故选A.共11页/第1页例

1.（2021•浙江省温州市联考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中有这样一个命题平面内与两定点的距离的比为常数且的点的轨迹为圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且只有一个点满足则的取值可以是（）A.B.C.D.【名师点睛】本题考查阿波罗尼斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法,两圆相切注意讨论内切外切两种情况.【靶向训练】练b1（2022•安徽省模拟）设,若圆与圆相交，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.练「2（2021•河北省邢台市联考）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A.内切B,相交C.外切D.相离考点二圆与圆的公共弦、公切线问题【方法储备】

1.若两圆相交，则公共弦长有两种求解方法几何法利用两圆方程求出公共弦所在的直线方程，再利用勾股定理求出公共弦长，即.其中弦心距可由点（圆心）到直线（公共弦所在的直线）的距离公式求得.代数法将两圆方程联立，解出两交点坐标，再利用两点间距离公式求出公共弦长.方程组解的个数两圆交点个数；方程组的解两圆交点的坐标.角度1圆与圆的公共弦问题【典例精讲】例

2.（2022•广东省模拟）已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为（）A.B.C.D.【名师点睛】若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去，得到，然后将点，代入解得，再利用基本不等式求最值.【靶向训练】练2-1（2022•天津市专项测试）若圆与圆的公共弦长为，则.练2-2（2021•北京市期中）已知两圆，.求证圆和圆相交；求圆和圆的公共弦所在直线方程和公共弦长.角度2公切线问题例

3.（2022•新高考1卷）写出与圆和都相切的一条直线的方程.【名师点睛】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识.方法设直线方程为，利用点到直线的距离公式可求出与的关系，然后再进行后面的求解.方法求出两圆间的位置关系，然后再利用数形结合进行求解可得.【靶向训练】练2-3（2022•山东省部分学校联考）圆与圆至少有三条公切线，则的取值范围是（）A.B.C.D.练2-4（2022•河北省衡水市期末）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（）A.B.C.D.核心素养系列直观想象、逻辑推理一一与圆有关的最值（范围）问题与圆有关的最值问题是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.【方法储备】

1.借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分探究圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用数形结合思想求解.1求形如的最值问题，可转化为求斜率的最值问题，即过点和的直线斜率的最值问题.2若为圆上任意一点，求形如的最值，可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:

①数形结合法，当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值；

②把代入圆的方程中，消去得到关于的一元二次方程，由求得的范围，进而求得最值.3若为圆上任意一点，求形如的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把看作点到圆上的点的距离的平方，利用数形结合法求解.

2.利用对称求最值求解形如且与圆有关的折线段的最值问题其中均为动点的基本思路“动化定”，把与圆上的点的距离，转化为与圆心的距离；“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.

3.建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值角度1借助几何性质求最值例

4.2022•江苏省盐城市联考已知直线与圆相交于，两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为A.B.C.D.【名师点睛】本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式.画出图形，利用待定系数法求出的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案.【靶向训练】练3-1（2022•山东省泰安市期中）设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.练3-2（2022•云南省普洱市期末）已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为和.角度2利用对称求最值例

5.（2022•江苏省模拟）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为【名师点睛】本题考查了与圆有关的最值问题，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力.求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【靶向训练】练3-3（2021•河北省模拟）已知，分别为圆与圆上的动点,为轴上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.练3-4（2022•浙江省温州市模拟）已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最大值为（）A.B.C.D.角度3建立函数关系式求最值例

6.（2022•四川省成都市期末）已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积、二次函数的最值,画出图形帮助分析是解题的关键.根据为圆的切线可得，设，根据为直线上的动点，可得，利用勾股定理得，把、的坐标代入化简，得关于的二次函数，求出最小值.【靶向训练】练4-5（2022•浙江省专项测试）已知是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为.练4-6（2022•湖北省武汉市模拟）在平面直角坐标系中，已知,为圆上两个动点，且若直线上存在点，使得则实数的取值范围为.易错点

1.忽视分两圆内切与外切两种情形例

7.（2022•山东省青岛市模拟）若圆与圆相切，则的值为易错点

2.对称问题理解不清致误例

8.（2022•福建省联考）若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（）A.B.C.D.答案解析【教材改编】1•【解析】根据题意，，其圆心为，半径，,即，其圆心为，半径，圆心距，则有，则两圆相交，故选.

2.【解析】设，点，贝L,代入圆，可得圆.两个圆的圆心坐标分别为，，半径分别为和，圆心距.—，两个圆相交.【考点探究】例

1.【解析】设，由，得，整理得，又圆上有且仅有一点满足，所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得.故选A.练1-

1.【解析】因为圆的标准方程为，圆的标准方程为，所以，即，解得.故选A.练1-

2.【解析】圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，—，即，即，，则圆心为,半径，圆的圆心为，半径，贝＞],,,,即两个圆相交.故选.例

2.【解析】根据题意将两圆方程作差得，即为两圆的公共弦所在的直线方程，又因为点在公共弦上，所以，即，所以当且仅当，即时取等号，的最小值为.故选A.练2-

1.【解析】

①，

②，两式相减得，此即为公共弦的方程.圆的圆心为，半径.两个圆的公共弦长为，圆心到直线的距离为.，，.故答案为.练2-

2.【解析】圆的圆心，半径，:的圆心，半径，—,,圆和圆相交.两圆，，两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为，即.圆心到直线的距离，圆和圆的公共弦长.例

3.【解析】方法显然直线的斜率不为，不妨设直线方程为，于是，.故

①,，于是或，再结合

①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，.填一条即可方法设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，贝L因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线的方程为，直线与直线的交点为，设过该点的直线为，贝•!，解得，从而该切线的方程为填一条即可练2-

3.【解析】因为圆与圆至少有三条公切线，故两圆外切或相离，又圆的圆心坐标为，半径为，圆，即圆心坐标为，半径为，贝L解得的范围是.故选.练2-4•【解析】由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为，圆心分别为，半径分别为和，故有，—,,,当且仅当，即时，等号成立，故选C.【素养提升】例

4.【解析】直线过定点，不妨记，设,‘贝L代入，可得.的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则到直线的距离的最大值为.故选.练3-1•【解析】曲线表示的是以点为圆心，为半径的半圆，表示的是求点到点的斜率，半圆的左端点为，所以，设，可得，依题意知直线与圆相切时取得最大值，根据圆心到直线距离等于半径可得，，解得舍，故的取值范围是，故本题选B.练3-

2.【解析】根据题意，实数，满足方程，化为,其圆心为，半径，则点是圆上的点，设，化为，当直线与圆相切时，取最值，由圆心为到直线的距离为半径，即，解得或，故的最大值为，最小值为.故答案为；.例

5.【解析】由题意，圆，的圆心分别为，，由题意知，，,故所求值为的最小值，又易知关于轴对称的点为，所以的最小值为.故答案为.练3-3•【解析】圆关于轴对称的圆为，则的最小值为，故选A.练3-4•【解析】设关于直线的对称点为，贝•!，解得,由对称性可得，圆，圆心，半径为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，由于，，,即的最大值为.故选C.例

6.【解析】如图所示，又，，设，在直线上，，，，,当时，的最小值为，即的最小值为.故答案为.练4-5•【解析】圆的标准方程为，则圆的半径为.设，贝L因为，所以，。