4.2超几何分布 一等奖创新教案

超几何分布一等奖创新教案

4.

27.

4.2超几何分布教学目标

1.理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布.

2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值.教学重难点重点超几何分布的及其均值，简单应用.难点在实际问题中抽象出模型的特征，能归纳出二项分布与超几何分布的区别与联系.教学过程基础知识

3.超几何分布的概念一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X=k）=,k=m,m+1,m+2,…，r.其中n,M,N£N*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M）,r=min{n,M},如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.说明

1.公式中个字母的含义N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数（如次品总数）n一样本容量k一样本中的特殊个体数（如次品数）

4.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械记忆超几何分布的概率分布列.

5.”任取n件，恰有k件次品”是一次性抽取，用组合数列式.

6.各对应的概率和必须为

1.随机变量符合超几何分布的特征

①样本中含有两类不同的个体；

②不放回地抽取，且无先后顺序；

③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.模型超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成,如男生与女生、正品与次品、优与劣等.超几何分布的特征

①不放回抽样；

②一个总体共有N个内含有两种不同的事物A有M个，B有N—M个，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.求超几何分布列的步骤

7.超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数，则EX==npp=.归纳超几何分布需确定参数N,M,n

8.超几何分布与二项分布区别和联系相同点1超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.2当次品的数量充分大，且抽取的数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布.不同点一般地，超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样，则是有放回抽样.典例讲解探究一超几何分布的判断例

1.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.1抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的分布列；2盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数3盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X,求X的分布列；⑷某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X,求X的分布列；5现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X,求X的分布列.解1中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.2随机变量不是样本中分类明显的两类中的一类的个数.34符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.5中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.跟踪训练

1.多选一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,

10.现从中任取4个球，如下几种变量中服从超几何分布的是A.X表示取出的球的最大号码B.Y表示取出的球的最小号码C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，昌表示取出的4个球的总得分D.n表示取出的黑球个数解析由超几何分布的概念及计算公式知A,B中变量不服从超几何分布.C中和球的颜色有关，可分为固定数目的两类，且占的取值为4,5,6,7,8,故服从超几何分布；D中n和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且T1的取值为0,1,2,3,4,故服从超几何分布.答案选CD.探究点2超几何分布的概率和均值例

2.某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示A小区“低碳族”“非低碳族”比例在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X,求X的分布列.解在A小区随机选择的20户中，“非低碳族”有20X=4户，由题可知，X服从超几何分布.则PX=O==,PX=1==,PX=2==,PX=3==,所以随机变量X的分布列为X0123P跟踪训练是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于

2.5uni的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095—2012,PM

2.5日均值在35u g/m3以下空气质量为一级；在35口g/m3-75pg/m3之间空气质量为二级；在75P g/m3以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM

2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示PM

2.5日均值口g/m325,35]35,45]45,55]55,65]65,75]75,85]频数311113从这10天的数据中任取3天数据.记X表示抽到PM

2.5监测数据超标的天数，则X的均值是A.B.C.D.解析依据条件，X服从超几何分布，其中N=10,M=3,n=3,故E X———.答案:选A.

2.袋中装着外形完全相同且标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字,求1取出的3个小球上的数字互不相同的概率；⑵随机变量X的分布列；⑶计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.解1“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,贝I PA==.2由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,PX=2==,PX=3==,PX=4==,PX=5==.所以随机变量X的分布列为X2345P3“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C,则PC=PX=3+PX=4=+=.

3.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.性别专业中文英语数学体育男n1m1女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动每名同学被选到的可能性相同.1求m,n的值；2求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；3设3为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量3的分布列、数学期望及方差.解1设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”.由题意，可知数学专业的同学共有1+m名，则PA==,解得m=

3.因为m+n+6=10,所以n=l.2设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则PB==.3由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7,自的可能取值为0,1,2,

3.P3=0==,P8=1===,P8=2===,P=3===.所以自的分布列为自0123P数学期望为E昌=0+1义+2*+3义=或E昌=3X=.方差为D^=X+X+X+X=.当堂达标

1.某校为了解高三学生的身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n名学生的成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.已知成绩在［90,100的学生人数为8,且有4名女生的成绩在［50,60中，贝Un=_；现从成绩在［50,60的学生中随机抽取2名作指导工作，记所抽取的学生中女生的人数为昌，则自的数学期望是解析由

0.016X10n=8,得n=

50.成绩在［50,60的人数为

0.012X10X50=6,其中4名为女生，2名为男生.易知之的可能取值为0,1,2,则P昌=0==,P=1==,P=2==,故E9=OX+1X+2X=.答案

502.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组记为甲组、乙组先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第

一、二周达标的员工评为优秀.第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组81620161在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；2每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.设公司员工在方式

一、二下的受训时间分别为a1,自2,求占2的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？解1甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为P===.241的分布列为15101520PE昌1=5X+10X+15X+20X=10；号2的分布列为自2481216PE^2=4X+8X+12X+16X=.因为EUE^2,所以公司应选培训方式一.。