完整随机过程试题及答案

设随机变量服从参数为的泊松分布，则的特征函数为

1.X/I X设随机过程其中/为正常数，和

①是相互独立的随机变

2.X6=Acos/t+6,-8Vt8A量，且A和

①服从在区间［0』上的均匀分布，则Xt的数学期望为强度为人的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为—的同

3.一指数分布

4.设｛Wn,n21｝是与泊松过程｛Xt,t20｝对应的一个等待时间序列，则W/艮从—分布袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

5.对每一个确定的匕对应随机变量Xf=如果时取得红球，则这个随机过e，如果时取得白球I程的状态空间

6.设马氏链的一步转移概率矩阵P=PP，n步转移矩阵P，m=p，，二者之间的关系为o

7.设｛X0,n之0｝为马氏链，状态空间I,初始概率R=PX0=i,绝对概率Pjn=P｛Xn=j｝,步转移概率碟，三者之间的关系为n

8.设｛X”,fN0｝是泊松过程，且对于任意/2/,0则P｛X5=61X3=4｝=

9.更新方程K，=H«+J Ks/s解的一般形式为o记〃“，对一切当8时，

10.=EX a20,17A/f得分|评卷人|

二、证明题本大题共道小题，每题分，共分

48321.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:PBC|A=PB|APC|ABO

2.设｛鼠生0｝是独立增量过程，且才0=0,证明｛1，90｝是一个马尔科夫过程

3.设｛Xn，n20｝为马尔科夫链，状态空间为I,则对任意整数nN0,144n和ijel,n『=步转移概率PZPP旷，称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,kel证明并说明其意义

4.设｛Nt,t0｝是强度为4的泊松过程，｛Yk，k=l,2，…｝是一列独立同分布随机变Nt量，且与｛NgtNO｝独立，令Xt=ZY20,证明若EY；oo,则k=!E[Xt]=/tE｛Yj o得分评卷人

三、计算题本大题共道小题，每题分，共分48321/32/

30、设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P=1/302/3，求其平稳分布

1.01/32旬.设顾客以每分钟人的速率到达，顾客流为泊松流，求在分钟内到达的顾客222不超过人的概率

3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关又设今天下雨而3明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为夕；规定有雨天气为状态无雨天气为状态设=夕=求今天有雨且第四天仍有雨的概率0,

10.7,

0.4,.设有四个状态的马氏链，它的一步转移概率矩阵4I={0,1,2,3}00~00%%01画出状态转移图；1对状态进行分类；2对状态空间进行分解3I%%%O得分评卷人

四、简答题（本题分）6简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系一.填空题为苴

1.

22.

8.18e«9KF=〃r+J KOMs

10.-二.证明题

1.左边二PABC=PABC PAB证明:二=右边PC|ABPB|APA-PAB PA

2.证明当时，0Gt t尸尸PXtX|Xt1=XP Xt2X”…Xtn Xn=卜xef=PXt-Xtnx-xn|Xt,-XO=xpXt2-XO=X2,.-X I.PX⑴・Xtn4X-Xn,又因为PXtx|Xtn=xn=PXt-Xtnx-xn|Xtn=xn=故PXt-Xtnx-xn,PXt x|Xt,=xpXt2=x2,••Xtn=xn=PXt x|Xtn=xn

3.证明=P{Xn=j|X0=i=P|xn=j,|JXl=k|X0=i.=I kel£p{Xn=j,Xl=k|XO=i}kel二ZP{Xl=k|XO=i卜P{Xn尸j|X⑴=k,XO尸i}:，其意义为n步转kel移概率可以用较低步数的转移概率来表示

4.证明山条件期望的性质£凶叨=£同*叨},而3w「NtE[Xt|Nt=n]=E ZYQt=n二E，丫|Nt=n=E[£YJ=nEYJ,所以E[Xt]=2tE{Yj三.计算题每题分，共分1050解

1.21+工万.%23解方程组乃=和2肛=i叫22九乳3=42+3乃I+〃2+=

1、124/24解得=于犯=于%=亍，故平稳分布为%=于于亍

4132.解设{N⑴,t20}是顾客到达数的泊松过程，2=2,故p{N2尸1}=^，则k!371P{N23}=P{N2=0}+P{N2=l}+P{N2=2}+P{N2=3}=e-4+4c8c«+—e4=—e-33一f t-Q7A

33.解由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=Po°Po1=二，于是.Pio PHJL0-40-6_

0.

610.

390.

57490.4251p2=pp=四步转移概率矩阵为P

（4）=P（2,P,2）

0.

520.

480.

56680.4332=而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P^=

0.5749o

4.解

（1）图略；⑵3=1,而2P3p P32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态,记C1={3}；0,1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集,记C2={0,l},且它们都是正常返非周期状态；山于状态可达中的状态,而中的状态2C-C2C-C2不可能达到它，故状态为非常返态，记口={22}

（3）状态空间I可分解为E=DUC,UC2四.简答题（6分）答（略）共6页第10页。