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《数值分析法》ppt课件•引言•数值分析基础•线性代数方程组的数值解法•非线性方程的数值解法•插值与拟合目•数值积分与微分•数值分析的应用案例录contents01引言课程简介数值分析法是一门研究数值计算中数学问题的近似解法的学科,主要应用于科学计算、工程技术和经济领域该课程介绍了数值分析的基本概念、原理和方法,包括数值代数、数值微积分、常微分方程数值解、线性方程组数值解等课程目标掌握数值分析的基本概念、原理和方法,理解各种算法的数学原理和适用范围能够运用数值分析方法解决实际问题,具备编程实现算法的能力培养学生对科学计算的认识和理解,提高其解决实际问题的能力02数值分析基础数值计算中的误差舍入误差截断误差由于计算机的有限精度,导致计算结果与真由于对原函数进行近似处理而产生的误差实值之间的差异初始误差舍入误差的传播由于输入数据的近似性而产生的误差舍入误差在计算过程中的累积和放大误差的来源与控制提高精度迭代法收敛性分析病态问题使用更高精度的数据类通过迭代过程不断逼近对算法的收敛速度和收对于病态问题,需要采型和算法,以减小舍入真实解,减小初始误差敛性进行分析,确保算用特殊的算法和技术来误差的影响法的有效性控制误差的放大数值稳定性和病态问题数值稳定性病态问题算法在受到舍入误差的影响下,是否由于问题的特殊性,导致算法在计算能保持其稳定性和正确性过程中误差放大,难以得到准确结果的问题数值稳定性的判断提高数值稳定性的方法通过分析算法的稳定性系数和误差放采用适当的算法和技术,如预处理技大因子来判断算法的稳定性术、迭代改进等,以提高数值稳定性03线性代数方程组的数值解法高斯消元法总结词直接解法详细描述高斯消元法是一种直接求解线性代数方程组的方法,通过消元和回代过程,将方程组化为最简形式,从而求得方程的解总结词稳定性和可靠性详细描述高斯消元法在理论上具有较高的稳定性和可靠性,但在实际应用中可能会受到舍入误差的影响,导致解的不精确总结词适用范围详细描述高斯消元法适用于系数矩阵为方阵且系数矩阵元素具有较高精度的情况,对于大规模稀疏矩阵和病态问题可能不太适用迭代法总结词迭代过程详细描述迭代法是一种通过不断迭代逼近方程解的方法,通过构造迭代公式,将方程组的解逐步逼近到真实解总结词收敛性和收敛速度详细描述迭代法的收敛性取决于迭代公式的选择和初始值的选择,收敛速度与迭代公式的选择和系数矩阵的性质有关总结词适用范围详细描述迭代法适用于大规模稀疏线性代数方程组和病态问题,但需要选择合适的迭代公式和初始值,否则可能不收敛或收敛到非解矩阵分解法总结词矩阵分解详细描述矩阵分解法是将系数矩阵分解为几个简单的子矩阵,然后利用这些子矩阵的性质求解线性代数方程组的方法总结词稳定性和可靠性详细描述矩阵分解法在理论上具有较高的稳定性和可靠性,但在实际应用中可能会受到舍入误差的影响,导致解的不精确总结词适用范围详细描述矩阵分解法适用于大规模稀疏线性代数方程组和病态问题,但需要选择合适的分解方法和子矩阵,否则可能影响解的精度04非线性方程的数值解法牛顿法牛顿法是一种迭代算法,它基于泰勒级数展开,通用于求解非线性方程的根过迭代公式逼近方程的根牛顿法的收敛速度较快,牛顿法在求解非线性方程但需要选择合适的初始值时,可能会遇到局部极小和迭代步长值和鞍点问题拟牛顿法拟牛顿法是牛顿法的改进,拟牛顿法的收敛速度较快,用于解决牛顿法中出现的且适用于大规模问题雅可比矩阵问题A BC D它通过构造拟牛顿矩阵来拟牛顿法需要选择合适的逼近真实的雅可比矩阵,初始值和迭代步长,以及避免了直接计算雅可比矩正定矩阵阵梯度下降法梯度下降法是一种迭代算法,梯度下降法的收敛速度较慢,用于求解无约束优化问题但适用于大规模问题它通过沿着负梯度方向搜索最梯度下降法可以通过选择不同小值,逐步逼近最优解的步长和迭代方式进行改进05插值与拟合拉格朗日插值法总结词一种通过已知的离散数据点来构造插值多项式的方法详细描述拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式,通过构造一个多项式来逼近未知函数该方法通过使用已知数据点来计算插值多项式的系数,从而得到一个适合的插值函数牛顿插值法总结词一种利用差商的性质来构造插值多项式的方法详细描述牛顿插值法基于差商的概念,通过构造差商表来计算插值多项式的系数该方法在已知数据点较多的情况下具有较高的计算效率最小二乘拟合总结词一种通过最小化误差的平方和来拟合数据的方法详细描述最小二乘拟合通过最小化实际观测数据与拟合函数之间的误差平方和,来求解拟合函数的参数该方法广泛应用于各种数据分析和回归分析中06数值积分与微分矩形法与复化矩形法矩形法将积分区间划分为若干个小区间,每个小区间上用矩形代替曲边梯形,从而求出近似值复化矩形法将积分区间划分为若干个小区间,每个小区间上用矩形代替曲边梯形,然后对每个矩形进行复化,从而求出更精确的近似值梯形法与复化梯形法梯形法将积分区间划分为若干个小区间,每个小区间上用梯形代替曲边梯形,从而求出近似值复化梯形法将积分区间划分为若干个小区间,每个小区间上用梯形代替曲边梯形,然后对每个梯形进行复化,从而求出更精确的近似值辛普森法与复化辛普森法辛普森法将积分区间划分为若干个等分小区间,每个小区间上用梯形代替曲边梯形,从而求出近似值复化辛普森法将积分区间划分为若干个等分小区间,每个小区间上用梯形代替曲边梯形,然后对每个梯形进行复化,从而求出更精确的近似值07数值分析的应用案例非线性方程求解实例总结词迭代法详细描述迭代法是一种求解非线性方程的数值分析方法,通过不断迭代逼近方程的解常用的迭代法有牛顿迭代法和二分法等矩阵运算实例总结词详细描述矩阵乘法、特征值求解矩阵运算在数值分析中占有重要地位,包括矩阵乘法、逆矩阵、特征值和特征向量VS等这些运算在解决实际问题中具有广泛的应用,如线性方程组、控制系统等数据拟合实例总结词最小二乘法、多项式拟合详细描述数据拟合是数值分析中常见的应用,通过最小二乘法等数学方法,将数据点拟合到某个函数模型上,以更好地描述数据内在规律多项式拟合是数据拟合的一种常见形式,可以用于曲线拟合、预测等实际问题的解决THANKSFORWATCHING感谢您的观看。