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《概率论第4讲》ppt课件•概率论的基本概念CONTENTS目录•随机变量及其分布•多维随机变量及其分布•大数定律与中心极限定理•参数估计与假设检验•贝叶斯推断简介CHAPTER01概率论的基本概念概率的定义与性质概率的定义01概率是描述随机事件发生可能性大小的数值,通常用P表示概率的性质02概率具有非负性、规范性、有限可加性和完全可加性概率的取值范围03概率的取值范围是[0,1],其中0表示事件不可能发生,1表示事件一定发生条件概率与独立性事件的独立性如果两个事件A和B满足条件概率的性质PA∩B=PAPB,则称事件A和B是独立的条件概率满足非负性、规范条件概率的定义性、乘法法则和全概率公式在某个事件B已经发生的条件下,另一事件A发生的概率,记为PA|B贝叶斯定理贝叶斯定理的表述01对于任意两个事件A和B,有PB|A=PA∩B/PA贝叶斯定理的应用02贝叶斯定理常用于在已知某些条件下,对其他条件进行推断或预测贝叶斯定理的意义03贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理,它提供了在已知某些信息的情况下,更新对其他事件概率估计的方法CHAPTER02随机变量及其分布离散随机变量定义例子离散随机变量是在可数样本空间上的概率函数投掷一枚骰子,其出现的点数(1,2,3,4,5,6)就是一个离散随机变量性质离散随机变量的取值是可数的,并且每个取值都有确定的概率连续随机变量定义性质连续随机变量的取值是连续的,并且连续随机变量是在一个连续样本空间其概率密度函数描述了取值在各个点上的概率函数的概率例子一个物体的下落速度在其落地的那一点是确定的,但在下落过程中的任何一点都是随机的,因此是一个连续随机变量随机变量的函数定义对于一个随机变量X,其函数fX也是一个随机变量性质如果f是线性函数,那么fX的期望值和方差与X的期望值和方差的关系是线性的随机变量的期望与方差期望的定义EX=Σx_i*PX=x_i,其中x_i是随机变量的所有可能取值,PX=x_i是相应的概率方差的定义VarX=E[X-EX^2]性质对于任意常数a和b,有EaX+b=aEX+b,VaraX+b=a^2*VarXCHAPTER03多维随机变量及其分布多维随机变量的定义与性质定义多维随机变量是概率空间中的可测函数,其定义域为多维实数空间性质多维随机变量具有可加性、独立性、有限可加性等性质,这些性质在概率论和数理统计中有着广泛的应用边缘分布与条件分布边缘分布在多维随机变量中,某些变量的边缘分布可以通过其他变量的条件分布来描述条件分布在给定其他变量值的条件下,某一变量的概率分布称为条件分布条件分布的求法可以通过联合概率密度函数或联合概率质量函数进行计算多维随机变量的独立性定义如果对于任意的$n$个事件$A_1,A_2,...,A_n$,都有$PA_1cap A_2cap...cap A_n=PA_1PA_
2...PA_n$,则称这$n$个事件相互独立性质如果两个随机变量相互独立,则它们的边缘分布和条件分布也相互独立CHAPTER04大数定律与中心极限定理大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律大数定律的定义大数定律是指在大量重复实验在独立同分布的情况下,当试在独立重复试验中,当试验次中,某一事件发生的频率将趋验次数趋于无穷时,随机变量数趋于无穷时,某一事件发生近于该事件发生的概率的算术平均值将以概率1趋近的频率将趋近于该事件发生的于真实平均值概率中心极限定理中心极限定理的定义中心极限定理是指在独立同分布的情况下,无论1各随机变量的分布是什么,它们的和的分布都将趋近于正态分布棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理无论随机变量的个数和分布情况如何,当它们的2个数趋于无穷时,它们的和的分布都将趋近于正态分布列维-林德伯格中心极限定理在独立同分布的情况下,无论各随机变量的分布3是什么,它们的n次方根的和的分布都将趋近于正态分布强大数定律强大数定律的定义强大数定律是指在独立同分布的情况下,当试验次数趋于无穷时,随机变量的算术平均值将以概率1趋近于真实平均值强大数定律与切比雪夫大数定律的区别切比雪夫大数定律强调的是随机变量的算术平均值与真实平均值的接近程度,而强大数定律则强调的是随机变量本身的性质CHAPTER05参数估计与假设检验点估计与估计量点估计用样本统计量估计总体参数的方法,如用样本均值估计总体均值估计量用于估计总体参数的样本统计量,如样本均值评价准则无偏性、有效性和一致性区间估计区间估计的概念根据样本数据和一定的置信水平,对总体参数的可能取值范围进行估计置信区间的构造方法基于样本统计量和标准误差置信水平的意义反映区间估计的可靠程度假设检验的基本概念假设检验的步骤提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策假设检验的意义用于判断总体参数是否符合某种假设,为进一步决策提供依据假设检验的局限性无法保证完全正确,存在第一类和第二类错误的风险CHAPTER06贝叶斯推断简介贝叶斯推断的基本概念贝叶斯推断是基于贝叶斯定理的统计推断方法,1它通过使用先验信息来更新和修正对未知参数的信念先验信息可以是历史数据、专家意见或任何其他2可用的信息,用于估计未知参数的概率分布贝叶斯推断的核心思想是将先验信息和样本信息3结合起来,以获得对未知参数的更准确的估计贝叶斯推断的步骤与示例步骤1步骤2步骤3示例假设我们有一个硬币,其正面朝上的概率为θ我们先验地认为θ根据后验分布进行推断,例根据样本信息更新先验分布,为
0.5,但在抛掷硬币后发现正确定未知参数的先验分布如计算未知参数的估计值或得到后验分布面出现了5次,反面出现了3次进行预测我们可以使用贝叶斯推断来更新θ的信念,并计算θ的后验分布贝叶斯推断的优缺点优点贝叶斯推断能够结合先验信息和样本信息,从而更准确地估计未知参数它允许使用主观信念和经验来调整分析,并能够处理不确定性缺点选择合适的先验分布可能具有挑战性,并且对先验信息的依赖可能导致推断结果的主观性此外,对于复杂的问题,计算贝叶斯推断可能需要高昂的计算成本THANKS感谢观看。