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泛函分析题内积空间1_6p75极化恒等式设是复线性空间上的共辗双线性函数,夕是由“诱导的二
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6.1X次型,求证有Vx,yeX9y=1/4-qx+y-qx-y+i qx+iy-i qx-i y.证明Vx,yeX,qx+y-qx-y=ax+y,x+y-ax-y x-y9=Qx,x+ax,y+ay,x+ay,y-3a,x-ax,y-ay,x+ay,y=2〃%,y+ay,x,将代替上式中的有iy y,式x+iy-qx-iy=2〃x,i y+ai y,x二一2i ax,y+i y,x,将上式两边乘以得到i,i qx+iy-i qx-iy=2y-a y,x,将它与第一式相加即可得到极化恒等式.求证在切中不可能引进一种内积,,使其满足
1.
6.2C[a,・・fJi/2=rmiXaxb\f x|V/e C[a,b].证明若句中范数||||是可由某内积,•诱导出的,C[a,・・则范数II・II应满足平行四边形等式.而事实上,出,句中范数||||是不满足平行四边形等式的,・因此,不能引进内积,使其适合上述关系.・・范数卜||是不满足平行四边形等式的具体例子如下设/%-x-d/b-ci gx-b-x/b-d99»\f\\=\\g\\=\\f+g\\=\\f-g\\=^显然不满足平行四边形等式.
1.
6.3在厂7]中,求证函数不#』0,”-丁-「*7〃|\/]££2|堆单位球面上达到最7大值,并求出此最大值和达到最大值的元素%.证明V L2[0,若||二由不等式,有XG7],x||1,Cauchy-SchwarzI f[o,7]e~T~rxr drfJ[o,7]e~T~r2dr J[o,7i xr2dr-ho,7]e~^T~r2dr-e~2T\[^r\e1Tdz-1-e~2T/
2.因此,该函数的函数值不超过产.1-27/2前面的不等号成为等号的充要条件是存在/LeW,使得x⑺=-.再注意||x||二1,就有Jon Ae~T~r2dr-
1.解出;二I±l—e-2T/2-”
2.故当单位球面上的点T时,MC=±1-6-27/2-1/
2.6-T该函数达到其在单位球面上的最大值产1-27/
22.设是内积空间中的两个子集,求证164M,N M=N=证明若则xeN\X.y=
0.而故也有A/=N,X/y6M,x,y=
0.因此所以,NyML
1.
6.5设M是Hilbert空间X中的子集,求证M11=cl spanM.证明:匕总有%,故有%1Vxe MA/y=
0.9所以,从而得到〃口〃,、因V尸是线性子空间,所以,spanM=M,,又/是闭线性子空间,所以,cl spanM^CM
11.⑵V£A/\因是的闭子空间,X cl span X故存在关于的正交分解x cl span Mx=x\+xiy其中xi wcl span A/,%2ecl spanAf1,从M=cl span M,根据习题
1.
6.4,我们有cl spanM1c Af
1.所以X2E M
1.因故总有x,y=O.而蕴含y_L My±spanM.再由内积的连续性,得到肚clspanM.所以,X2,y=x-xi,y=x,y-孙y=
0.即ML,总有X2,y=
0.所以X2E A/
11.故%2eA/1u Af1因此X2,%2=
0.这样就得至lj X2=,,x=x\+X2=x\+8=xi£clspanM.所以,M11^clspanM.在〃[一]中,问偶函数集的正交补是什么?证明你的结论.
1.
6.61,1解设偶函数集为£,奇函数集为
0.显然,每个奇函数都与正交£.故奇函数集与O=EVfeE1,注意到了总可分解为/=g+/z,其中g是奇函数,是偶函数.因止匕有九九=%/.0=/z=g+/z=g,/z+故几乎处处为
①即/二是奇函数.g所以有£空
0.这样就证明亍偶函数集的正交补是奇函数集E在〃伍,勿中,考察函数集二{「日〃
1.
6.7s1若|一〃|41,求证S1={0};⑵若|—求证S,w{};证明首先直接验证,{日}是乙匕]中的一个正交集.VceZ,S=e2c+1再将其标准化,得到一个规范正交集Si={pnx=dne27tinx\}.其中的〃二||日并且只与〃有关,与的选择无关.d e2c当=时,根据实分析结论有{}.15-1S=当Z-〃1时,若b],且ueS1,我们将u延拓成[〃,a+1]上的函数v,使得vxV Z,]则[]=0XG a+
1.vel3a,a+I.同时把5={e1Kinx\n^7}也看成〃[Q,Q+1]上的函数集.那么,在乙伍,[+中,有眩21]5\根据前面的结论,u=
0.因止匕,在此句中就有〃=.[a,故也有{};S=分成两个区间[七—和切来看.21g—1,在上取定非零函数伍-1x=1VXE
1.,己仰Pn=\[a,h-\X x dx.我们再把看成是g-上的函数®在g-〃上去值为U2-1]2,
0.那么〃就是在}匕-上关于正交集{|%/}的系数.p ul[b-2,1]5i=pnx Fourier由Bessel不等式,I Pn\2+oo.再用Riesz-Fischer定理,在l7[b-1,切中,Z//p〃3收敛.并且,若令V=—Zne,pnpn,则匕侬=一p〃V女/.设/:[a,b]f II为fix-〃x当xe[a,b-1,fx=ux当xe[b-1,/].则一团a],/w,但工例=但-危仰但+勿例dx1X Jg-1,“X x,{dx+\b-\,b\dx=J[b—1uxgx二Pn-pn-0,因止匕,故网./eSijSL SJ设表示闭单位圆上的解析函数全体,内积定义为
1.
6.8X1/OJl dzg=ZI=1—z・gz*/zV gcX求证兀是一组正交规范集.{z〃/21/2}g0证明兀兀兀兀Z〃/21/2,Z〃/21/2=l//f|z|=1z/21/2・Z*〃/22/z dz=1/2日[|=i z〃♦z*〃/z dz-l/27izfi|=i1/z dz=
1.Z Z若〃m,则九一zn-1N0,从z加一i而解析.兀产,机兀兀兀dzz/2z/21/2=l/zf|z I=1z〃/21/2・z*〃/21/2/z=1/2KZJ|Z|=dz=l/2nzJ|z|=zn~m~}dz=
0.i z〃・z*y〃/z i因此,{Z〃/2兀严}〃20是正交规范集.
1.
6.9设{e〃}—•,{/}—・是Hilbert空间X的两个正交规范集,满足条件Xne.•||Cn-fn||
21.求证{〃}和{人}两者中一个完备蕴涵另一个完备.e证明不妨假定{}完备.aVxef/i}1,我们有x,力=0V/7W.J.由于{〃}完备,故{■是基,因此e ex=ee.n n若贝xw®,III x II2=II£〃£..•x,en enII2二I X,e〃F—Z〃e,J|X,Cn-fnF«Z ne.•||X||2,||^n—fn||2=II II
2.X«€..•\\en-fn II2II XII2,矛盾,故了=.因此{力}也完备.设是空间,是的闭线性子空间,出},{/}分别是和
1.
6.10X HilbertXo X XoXo,的正交规范基.求证{e〃}c{力}是X的正交规范基.证明容易验证{e〃}c{/,}是正交规范集,下面只证明{e〃}c{%}是X的基.由正交分解定理,存在关于的正交分解VxeX,x Xox=y+z,其中y^Xo,ze Xo
1.因{备},{力}分别是和邛勺正交规范基,Xo Xo故y=2在y,ee〃,z=Z作zjfn.n n因ze Xo1,故x,e〃=y+z,e〃=y,e〃+z,e〃=y,en.因故y£Xo,x/=y+Z.fn=yjn+z,fn=zjn.故x=y+z=y,.•z,fnfn二Z/G.•X,6〃6〃+Z nefn*因此{e〃}c{/}是X的正交规范基.设是中开单位圆域,表示在内满足
1.
6.11II20J|D U Z\dxdy+ooz=x+i y的解析函数全体组成的空间.规定内积为〃,Jv=D-vz*dxdy.UZ1如果⑵的Taylor展开式是〃z=Zgo/uz,求证I/1+左+°o;2设“z,yZ£Z/2£,并且〃z=vz=YkobkZk,求证:/=7C Zno〃2・4*/1+%;⑶设“⑵£”2,求证|〃Z|二||〃||/51/21—|Z|.验证是空间.4“20Hilbert证明:首先,令夕兀严则{心是中的正交规范基.az=Z+l/z”3L0,9”2那么,VwzeH2D,设K Z=Z,则X/左有〃,pk=、D〃z・oKz“dxdy八=JoZ oa/z,,pa,dxdy-Z^,//1/2J/I/27J OK J+1D y+1TI Z-%z*dxdy二Zj06Zj7i/y+11/2J Dz・4z*dxdy=1/2%cpk-兀/k+1i〃.即〃z的关于正交规范基{pk}ko的Fourier系数为ak K/k+\1/2%
20.如果⑵的展开式是〃勺1M Taylorz=Zo/uz则〃⑵的Fourier系数为b kTI/k+\1/2k
0.由Bessel不等式,Z^o|bk K/k+\1/2|2||u||+oo,于是有Z*o|bk\2/k+l+oo.2设〃z,V Z£//2£,并且M Z=ZnoQzzt vz=Xkobkzk.则uz=Xk0ak7t/k+1*2pk
⑦,vz=SjoZj7l/J+1产药3,〃,v=EkNOQk矶k+1»2pk
⑦,ZjoZj7l/7+1l/2°jz二ZnoZ八0mM兀/Z+l2⑶,bj5Kj+1严夕八z=HkoZjoakTt/k+l I/2-Z J*K/J+11/29k⑵,pjz=Ekzo ak7t/k+1产.bk n/k+11/2=兀攵左・/u*/+
1.设,且〃⑵攵攵.34Z£2=Z20Z因一一其中1/1z=Z*0z1/122=Xno Z+l ztI ZI
1.故当时,有|z|11/1—|z|2=XgOZ+l|zM根据2,||wz||2=兀Ekzoak・a k/k+l=兀Z*|〃升/k+
1.II u|『/1-|z|2=TU|cik\2/k+l•Z*o k+1\z\k7C Yk0|ak|2/k+1|z I・zo Z+l IZ心严|产.女严|不等式KXko|ak\/k+\z+1z|22Cauchy-Schwarz=nZ^o\ak\-\z\k2之兀|Zho4%Z|2=兀I M⑵|2,故||||||/1/21-||.Z KZW W先介绍复分析中的定理若{/}是区域上的解析函数列,且4Weierstrass UcII{成}在上内闭一致收敛到/,则/在上解析.见龚升《简明复分析》回到本U题.设{诙}是中的基本列.20则,由知{劭⑵}是中的基本列,因此是收敛列.VZ£3U设出7z T〃z.对中任意闭集之,存在厂使得尸之,II b1030,rVf0,存在Nd「+,使得V根,〃N,都有II Un-Um IIf7U,/21一一.再由⑶,VzeF,|UnZ-UmZ\||Un-Um||/7Cl/21-|Z|||Un-Um||/K,/21一-£.令则|m fOO,UnZ-UZ|
8.这说明{物}在上内闭一致收敛到U.由前面所说的定理,〃在上解析.Weierstrass把{劭}看成是厂/中的基本列,因瓜故{诙}是中的收敛列.设{〃}在中的收敛于D,£2v.u则必然与几乎处处相等.即{}在〃中的收敛于v u0因此{几}在()中也是收敛的,且收敛于所以,(完备.U“2U.“20设是内积空间,{为}是中的正交规范集,求证1612XX演I S/71en-Cv,e yIII II-II yII Vx,yeX.n证明由不等式以及不等式,有Cauchy-Schwarz BesselVx,I e〃・y,e yI2E11x,|・I y\2n二X HI|x,e|-1y,en\2nZnl|X,en|2・Z〃21I乂备产『W||x・lly K因此,|Zaa,e〃・8e〃*|«||x||•||y||.
1.
6.13设X是内积空间,Vxo eX,Vr0,令={x£X|||x—xo||W〃}.求证是中的闭凸集;1X2Vx eX,令y=x+厂x—x/||x—xo||当xeC;y=x当XEC.求证:y是x在中的最佳逼近元.证明因范数是连续函数,故{}是闭集.1C=x£X|||x-xo||W r因八}故Vx,y eC||x-xo||V||x-xo||r,V4E[0,1],9||2x+1-A j-xo||=||A x-xo+1-2y-xo||||2x-xo+1-Z j-xo||2||x-xo||+1-2||^-xo||2r+1-2r=r.所以,是中的闭凸集.X当时,显然是在中的最佳逼近元.2XEC y=x.y xC当时,XEC y=xo+rx-xo/||x-xo\\.VzeC,||x-y\\=||x-xo-r x-xo/\\x-xo\\||=II1-r/\\x-xo||x-xo II=II||-r.II x-xo||-||z-xo||||x-z||.因此,是在中的最佳逼近元.y x
1.
6.14求〃0,41,42£/3,使得J[oj]|6,一0--42产I流取最小值.解即是求是在}中的最佳逼近元按£[,范数.span,/,»1]将{产}正交化为{}按口内积1,t,1,1/2,0—1/22—1/12[0,1]再标准化为{«,,阳},Ri则所求的ak=〃,pk{ty-f[,1]e,pkt di,k=0,1,
2.
1.
6.15设/幻£2口,口,满足边界条件式〃=/S=0,r⑷=1,f\b=
0.求证:i[a.b]|/,,x|2dr4/Z-a.证明:设gx=x-a x-bf,则ga=g b=0,g\a=b-,g\b=
0.由不等式,我们有Cauchy-Schwarzha,b]\ff\xI26k-J[a,b]|g9\x\2dx・g Xdx
2.因g\x=3x-a+2b9故J假㈤I g”%I2dx=i[a,b\3x-a+2b¥dx-b-a3;又Jk回/x・g x dx=f[«,b]3x一a+2b•/xdx-,例+3x—Q2byd f\x=3x一Q+2b-f\x\[a,b]-3][〃,b]f\xdx-2Z-a;故b-a3・Jm,b]|,f xI2dx2Z-a2=4s一〃产.所以,h b]I/OOF dx41b-d.变分不等式设是一个空间,〃%,是上的共辗对称双线性
1.
6.16X Hilberty X函数,使得又设〃X,是中的一个闭凸子集.b0,b||x||2Qx,xWM||x||2Vx£X.OE X求证函数x#〃羽x-Re〃o,x在C上达到最小值,并且达到最小值的点xo唯一还满足Re2〃xo,x-xo-〃o,x-xo0Vx eC.证明设/x=〃x,x-Re〃o,x.则/x-ox,x-Re〃o,x^||x||2-|MO,X\^I|X||2-||W||-||X||-||0||2/4b—
8.即/在上有下界,因而/在有下确界〃=X Cinfmc/x.注意到演实际上是上的一个内积,y X记它所诱导的范数为|X Ila=〃%,X严,则II・Ila与II・II是等价范数.因此/x=ax,x一Re〃o,x=\\x||a2-Re〃o,x.设中的点列{%”}是一个极小化序列,满足〃/%〃+C l/nVne.**■*■.则由平行四边形等式,||Xn-Xm||a2=2||Xn||J+||Xm||J-4||X+Xm/2||Jn=2/X+ReMO,Xn+/Xm+Re〃O,Xm-4/x/+Xm/2+Re〃O,Xn+x〃/2=2fXn+fXm-4/X/+Xm/2+2Re〃,Xn+〃0,Xm~W0,Xn+Xm词=2/Xn+/-4/Xn+Xm/22/+1/〃+〃+Mm-4〃LI=21/〃+1/m—0加,〃—oo.因此加,〃—11Xn~Xm|Pl/5||Xn~Xm||J—
000.即{★}为亩的基本列.X由于X完备,故{Xn}收敛.设XX0〃-
00.贝皿Xn-XO Wa2W M||X〃一XO|F f0加,〃-
00.而由内积〃,,,的连续性,有・・・・〃Xn,无-X0,X0,且40,Xn—〃0,X0,〃-8・因此=ax,-Re〃o,x〃f oxo,xo-Re〃o,xo=/xo,〃f oo.n由极限的唯一性,fxo-inf c/x.xe至此,我们证明了/在上有最小值.下面说明最小值点是唯一的.若都是最小值点,则交错的点列{加}是极小化序列.xo,yo X0,xo,yo,X0,…根据前面的证明,这个极小化序列必须是基本列,因此,必然有犹=”.所以最小值点是唯一的.最后我们要证明最小点须£满足给出的不等式.有因此有VxeC,V/e[O,1],xo+/x-xoeC,/xo+t x-xo fxo.即II xo+,x—xo Wa1-Re〃o,xo+/x—xo||xo||J一Re〃o,xo.展开并整理得到%2,ReQ XOx-xo-wo,x-xo-||x-xo||/.故当V,£0,1],有Re2axo,x-xo-wo,x-xo-1\\x-xo令/—0就得到Re2〃xo,x-xo-wo,x-xo
0.[第节完•第章完]61。