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轮换式与对称式
10.对于、的多项式x y孙炉工+只//+盯1X++2,32,在字母与互换时，保持不变,这样的多项式称为、的对称式.X yX y类似地，关于、八的多项式X Z222333尤，肛+x+y+z,+y+z yz+xz,x+y+z,x-y+rz+y z+y-x+z x-bz~y xyz29在字母、、中任意两字母互换时，保持不变，这样的多项式称为、、的对称式.x y z1y z关于、、的多项式x y z222333,孙+x+y+2,jr+y+z yz+xz,x+y+z\+y~z+z x,xy~+yz~+yz,xyz3在将字母、、轮换即将换成、把换成、把换成时，保持不变，这样的多项式称为、八的轮x y z x y y z z x x z换式.显然，关于、、的对称式一定是、、的轮换式,但是，关于无、、的轮换式不一定是、、X y Z x y z y z x y的对称式.例如，就不是对称式，次数低于的轮换式同时也是对称式.Z fy+/z+z2x3两个轮换式对称式的和、差、积、商假定被除式能被除式整除仍然是轮换式对称式.轮换式对称式反映可了数学的美，它们的因式分解也是井然有序，可以按一定规律去做.典型方法
10.1例分解因式:2221x y-Z+y z-x+z x-y解
222、的轮换式.如果把卜一力+工一丁看作x y-z+y z-x+z x-y y z12y-z+222是关于的多项式，那么在广的时，它的值为依据第单元，是％x yVy—z+Vz—y+z2y-y=0,8X-y丁-丁一%+工一丁的因式，由于工丁-了一工+无一丁是关于工、、的轮22+222222+2222yZ换式，因此厂、也是它的因式，从而它们的积Z Z-XX-yy-zz-x4是M y-z+y2z-x+z x-y5的因式，由于、都是、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数匕即有245x y z x y-z4-z-x2+z^x-y^-k^x-yy-zz-x.6现在我们来确定常数攵的值，比较两边的系数左边系数为右边系数-左因此斤6Vy1,-
1.222-f*^x y-z4-y z-x+z x-y=-x-^y-zz-x.一/_
23.04+4-Q4+CQ
4424.丁—
25.x+y+z5—
526.a+/+c5_e+c—af-c+a—/-^a+b-cf
2327.x^-z+y2z—x3+z2x—y3一仅+
28.9c c4+C-QC+Q4+Q-ZQ+/
422229.t76Z4-/6Z+cZ-c+Z Z+/+6ZC-7+C+2C+Z7-Z人-〃人〃
30.cr[b+c-[2+Z3c+q_a+c2+02+62+02+〃〃〃2+/72+02—ctb—be—c ab+c—QC+I-/+/7—c屋仍一日+咋一庐
31.2~2+c4m，，，卜，-
32.a Z—C+b c—Q+C Z
533.a[b-cf+bc-a5+c^-/3『〃2+/
234.4Q2+QZ+/2-a-b+2/
235./+y7-x+W33〃〃〃一
36./C/-+03Q3c—4+33b
66637./-z/z-/x-/++
338.6z[b-c^c-d^d-b^-bi[c-d^d-a^^a-c d-a^a-b^b-d^-d^^a-b^b-c^c-a^习题答案:
101.一a-bb—cc-Q
2.Q+/〃+cc+
3.a--c/+c
4.a-bb-cc-a
5.3%+yy+zz+x
7.-4Q—//—0c—
8.x+yy+zz+xa
9.2abc
10.4abe4abe
12.Q+ZZ+CC+Q
13.
14.—3Q—_
415.
16.
17.3abebz-cy^cx-az^ay-bx
18.a+b+cQ-//-cc-a〃〃〃
19.-26Z-/7/-CC-6Z6Z+Z+C
20.a+/+cc++/+c一
21.q—bb—cc—QQ2+b2+c2+ctb+be+cci
22.一〃一bb-cc-aab+Zc+cacJ+匕2+2+〃/+be+ca
24.5M+m+庐
23.c
25.5x+yy+zz+x[2+y2+z2+xy+yz-b zx
26.80Q/Ca2+Z2+c2孙+
27.x—yy—zz-x yz+zx
28.—Q—bb—cc—Qba2+3Z2+3c2+5ab+5bc+5ca一〃一，仅一
229.CC-QQ+/7+c
30.2abc^ab+be+ca^_匕_〃一〃:+〃〃_//
31.0+c0+0伊
32.c—ci\\Q3++/+Q2b_|_82c_|_+ab2+bc^+C0+（-/）仅一）（-）“十人++人+屋一见引Q33+
233.陵庐〃+
2227234.x+xy+y一
36.a-bb—cc-Qx_y12+孙+y2222y-zy2+jz+z
37.z+zx+x
38.a-bb-cc-aa-db-dc-d例分解因式3332a/-+b c-+c[a-b解〃是关于、的轮换式.与例类似，它有三次因式〃—人一”化-〃.由于原—4+/°—4+/—3rb c1式是〃、、的四次式，所以还应当有一个一次因式.所以这个一次因式也是、仄的一次齐次式，b c c即它的常数项是否则，它的常数项与三次〃-伍-〃相乘得带到一个三次式.这个一次齐次式0b cc-是、、的轮换式，它的形状应当是攵〃+匕+攵是常数，即有，伍—〃〃a Oc c,a c+/3c-+―一一/=ka+/+c a-c c a7比较两边%的系数,得—于是〃+〃_与=_〃+匕+〃一人/一々，上3/-//-4+°300-面求人的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使的数代替〃、、从而定出匕例如，令〃=把它代入得a+b+ca-O-cc-a-0b c,=2,—=1,07,8—2+0=k.3・一2,k=-l.以上两种确定系数的方法可以结合起来使用.例分解因式一，333Q+Z+C3g+c-a-c+-Z-6z+Z-c解在〃二时，原式的值为+域—域=，所以是原式的因式.由于原式是〃、、0b+c3—3c——0—b c的轮换式，所以仄也是它的因式，从而有〃a+/+c—+c—a—c+a—b—a+b—c=kabc,8其中左是待定系数，令斫尻得广―，所以右所以c=l,33—r―]3=%24,一伍+a+b+c30_3_c+a_b3_^^_=24ahc,a+在中列出的各式称为基本轮换式.每一个轮换式都是由它们组成.3例如一次齐次的轮换式是；/x+y+z二次齐次的轮换式是；/e+y2+z2+mQy+yz+Z¥三次齐次的轮换式是33312222/x+y+z+y z4-z x+nxy+yz+zx+Zxyz.这里/,根,〃水都是待定的常数.齐次和非齐次
10.2例分解因式:4y-z’+z-x+%-».解用上面的方法易知原式有因式因为原式是次、、的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是x-yy-zz-x.z二次齐次轮换式，我们设尤-y-zs+z-4+4根=%—-zz—x/f+V+z2+q+yz+zr]9令产得令产得2,y=l z=0,1-32+1=-25/+2m,1,y=0,z=-l,1—32+1=—22/951+2m=1510—m,2l—m=l511由、这两个方程，解得1011=5,[m=-5于是555y-z+z-x+x-y=a_yy_zz_%[5%2+2+=2z^-5xy+^z+25x-yy-zz-xx+/+z在例中，任给一组小、的值当然是都可以得到或的方程，以较小的值代入4yz x-yy-zz-XHO,1011为好.在例中，如果注意至,那么比较式两边的系数，可以得4Ijy—z5=y5—5y4z+9fz_5=—/,再结合、中的任一个，可以得出〃加这种做法更简单一些.10115,例分解因式5555-b-a-ba解原式在、人互换时变号，它们不是〃、〃的轮换式二元的对称式与轮换式是一致的.但是，如果记》为的那么原式成为〃是〃、的轮换式，因此也可以采用前面的方5+5—+c5,c法处理，不过要注意到，更简单的方法是例中令那么4y-z=a,z-x=c=-b,x-y=Z-a,5一/一〃一/二,一22a75z5+z—x5+x—y5=5x_yy_zz-x124-y+z-xy-Jz-zxl伍一好叫_根/+/_/=
5.aQ-y2+y；2+z72=5a-b=5由此可以看出，做题的时候应充分利用已有的结果.例分解因式:2孙226y_z20+i+xz+z-x jl+yzl+yx4--y j1+zx1+zy.解这是、、的轮换式,容易知道它有因式但是另一个因式是什么？x yz y-zz-xx-y,原式并非齐次式.为了便于处理，我们按照次数把它整理一下.由于孙1+1+xz=xyz-x++z+1所以（y2-z21+1+xz+z—x2]+yzl+yx+x2一丁1+01+u2222222+zx-/]+[/-z+z-x+x-/]22y-z-hyz-x+[xy+z_z2+yZ+Xz2_A2+zx+yx2_/]2+yz2-x2+zx2-y1]+[xy+z y1-z2+yz+xz2-x2j+zx+一丁2于是，x例yz题x\中y-的z非齐次式化为两个齐次式的和，用前面的方法可得齐次式22222xy-z+^z-x+zx-y=x-yy-zz-x,卜+,2+12―x2+zx+y%2_y2=x_yy_zz—xx+y+z.所以得卜222_z21+ql+xz+z-x l+yz+yr+x-y^l+zxl+zy二工一盯yy-zz-xz+x+y+z-3abe
10.3例分解因式333解在=7a+b+c-3abc4一（+）时，有6333一333a+h+c-3ahc=3+c+/7+c+3bcb+c233223二+30c+3bc+c+Z+3b c+3bc+c=0—32所以a+b+c是/+//+c，-3qbc的因式,显然，+Z3+c3-3abc a b、c的三次齐次轮换式,我设/+人++m^ab+/+6]33-3abc=a+b+c12比较两边/的系数得/=比较的系数得加即加所以1,-3=3=-1,〃序一3abe=+h+c[/++/ab-be-ca/+63+3_13有时候我们把写成13|r-3a+1303二一〃+2b+4—3obc/7+cQ-b/+/-c+C-Q/
（13）与
（13）可以作为公式来一使用.例分解因式〃一〃384+c3++c-+c+a-Z-3Q+b-CZ7+c—4C+4-Z7解由公式得原式二，・13,[Q+Z—c+/2+c-Q+c+Q-b]〃〃][+/—C—/+C—]+[/+C—4—C+4-/]+[C+67—/—4+/—C]]二++[-一『一342+4+42〃+人一+°一人=2a+b+c[-c222一=4Q+Z7+C[Q2+f+/ab-be-ca本题的结果表明°+//中的、、分另」用、、、+代替后，+°3—3Q/C b c IQ+/-C h+c-a CQ—Z所得的式子为原来的倍.从可以看出，如果那么々〃必这也是一个有用413a+b+c=O,3+3+°3=30,的结论.例分解因式:9y-z3+z-%y+%-».解因为〉一力+%-=’所以2+2-y—z3+z—x3+x—y3=3y—zz—xx—y.焉用牛刀
10.4例分解因式一3322210d-y-z4-x^+z+yz+x4-z x+y-2xyz.解在时有，原式，2x=y+z=_y+z3—V—z+y+z3+y2z+y+z2y+z—2yzy+z=_y3+J2z+,]+-z3+z22y+z]-2yzy+z=2y2z+2Z2X-2y2z-2z2y=0所以，是原式的因式.由于原式为、、的三次轮换式，我们设x-y-zxyz_一工+厂:+—比车父3z+y~2+x+T x+2xyz=kx—y—zy—z—xz—x—y的系数,得攵二一即原式二一工一一1,zy-z-xz-x—=+z-xz+x-yx+y-z.例分解因式22222211xy+yz+zx+xy+yz+zx+3xyz.解这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式式齐次的轮换式，即.把工用x+y+z代入后原式为.不过没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解.由-y+z022xy-\-xy+Ajz=^x+y+z22yz+yz+xyz=yzx+y+z2仪工+zx+zx2+y-y+zX Z可得222222xy+yz-h zx-i-xy4-yz+zx+3xyz=x+^+z^xy++zx.杀鸡焉用牛刀！特殊问题可以用特殊的方法处理，并不是没一道题都非得用一般的方法去对付不可.整除问题
10.5例证明/伊+/一丫能被12423+04/+4—+/,2+02―22222整除.4+//+/—2a h-2b2c2_2c a证明由第四单元例可得6,44221222因此只要证明6/+/+c-2ab-2b c-2c a=-a+/4-cZ+c-ac+a-Za+Z-c,是伊22422的因式即可.在〃tz+Z+cZ+c-ac+a-ba+b-c+c-a^+///+Q—/7+c+/-c144=+C时，式的值为1442〃，2〃22b+c+C-+C2]+b C++c[+c/[b+c+/-C43424133443343=3+C-2/7C+b2c+2bc^+c2b+2bc^=-Sb c b+c+8Z c b+c+8//c b+c优+所以〃是的因式.=8303c3[_+c++c]=0,—014z/是的轮换式，因而也是它的因式，从而14abc b—c—a,c—a—b Q+Z+C/—c——I〃的因—/4—b—c+/+cZ—c—QC—u—-h—c145^,证毕例〃是大于的自然数，证明％一广一户一广〃〃〃131+y+z2-y+z Z+%x+y+%2+y2+z215能被『444444x+y+Z-y+Z-Z+X-x+y+x+y+z16整除.证明在时，的值为『〃—户—〃〃、〃x=015y+zy+z z2—y2+y2z2=0,因此，是的因式.在时，的值为x15x=—y+z152，/2,2n2，/2n2n因此是的因式，-^+z-z-y++z-y-z=0,x+y+z15由于是轮换式，所以15xyzx+y+z17是它的因式,，特别地，在〃时，得到是的因式.、都是四次式，因此它们至多相差=217161617一个常数.能够被整除，所以页能够被整除.15171516这里强调一下多项式被多项式整除,即/%=，其中为多项式，但系数不一定gx gxM%.X是整数.原来是零
10.6例分解因式一〃6+々一/22233314c6+c—6-97-//-c c-a-26Z-/^-C-2/-C b-a^々炉-20-30-18解:易知是的值为蛾+一从%一333333a=b180—6+912——2b c-2b-c b-2c c-Z仅=3_C6_2c392/b_c2_93_/2_p_3_,3二_仅汽—二_必+历[b-cj3-03]_9/2/223322_g^c222=9b2c2/-C-9b2c2/-C=0,于是是的因式，从而/〃-伍--是的因式.41818由于的次数为所以设原式二品活、-令得186,CQ-3Z-CC Q,Q=3,Z=2,C=1666222333333l+2+l-9xl xl x2-2xl x2-2xlx-l-2x-2x-l=-12Z:即从而k=0,，一22『一333b-c6+c—a+q-9Q-Z b-cc-Q2Q-Z a-c-2^b-cb--332C-7C-Z=
0.表面上是一个次式，实质上，它等于这是有一点出乎意料的无需进行分解，每一个非零多项1860,.0式都是它的因式.例分解因式〃-人+一1502a+++解容易验证在=,〃=/时，原式的值为因此，-力是它的因式，由于原式是〃力,的轮换式，34所以abca-bb-cc-a19是它的因式，但是次式，而原式的次数这说明原式必须为即1964,33人+3人一b-cb+c—2Q+c—0+Q—2Q—Z a+2c=0例证明+工一丫工+16y—2y+z—2x3+z-xz+x—2y3y-223=0分析本题可按照例的办法处理，不过，更简单地是中，令=-可得1520z,b=z-x,c=x-y,丁+丁+卜+丁工一从而得出要证明的结论.2-2%332-3%-23332+%+-2223-32=0四元多项式
10.7例分解因式:列+17c-a—d40-ca-d+c+a-b-d4c-ib-d+a+-c-d4a-Lc-d解原式是，的轮换式，用前面的方法易知它有因式-伍c3另一方面，把原式看成的多项式，在时，原式因此原式有因式再由轮换性，它有因式于=a=0,d-Q,d-b,d-c,是----匕-是它的因式.因为原式是、、、的4b c d6次式,我们设原式二攵一人匕一一一一匕一,令=、=得右l,b=0,c—1,1=
216.即原式二〃一支我一16cc-ad-ad-bd-c例分解因式层说+屋/庐〃一〃一方一182d2b-cc-dd-b-/d22c-dd-,-c04—a—bb—cc-Q解原式是、、的轮换式，和上题类似，可得是它的因式，b CQd-4d-3d-C则［层11层2/匕〃_》》c d2b-cc-dd-b-c d2c-dd-aa-c++d2a d—aa—bb—d-2c2〃_〃_〃卜/_所得商式是〃、/、、的三次齐次式，并且，在、_CC_Q♦00_6/_0_4c d、、中任意两个字母互换时，商式保持不变，说明商式是、、、的三次齐次对称式.bcd bcd又原式对每一个字母都是四次多项式，而〃一与一呢—〃对每一个字母来说0d—Qd-3d-C是三次多项式，所以商式对每个字母来说是一次多项式，因此商式的形式是.labc+bed4-eda+dab由待定系数易知于是1=1,原式二〃一人仅一〃cc-d-4d-c abc+bed+eda+dab小结轮换式和对称式的分解通常是首先，把它看成一个字母的多项式，用第八单元的方法导出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其他的因式.非齐次的轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加后分离.特殊的轮换式可能有比较简单的特殊方法，不一定非用一般的方法去分解.+之+庐帅可以作为一个公式使用，在时，333a+/3-3abe=a+b+c1+°2_-be-cj a+Z+c=O a+/4-c=3abc,这两个结论都有不少应用.练习
101.bc/7—C++C4C—4+4bQ—b
12222.+be+ca+ca+a2b+ab+2abc—
3.a2b-cib^+Q a/+c+bc^—2abc伊》[〃_庐
4.4_:2+2_2+CQ2，
5.x+y+z_-y3―z
6.b-Cb+C2+0-QC+Q2+Q-/7Q+/72+》
7.b-ca-b+ca+b-c-c-cb-c+cb+c-c+a-c-a c+a-b十一乎
8.xy+z2+yz+2+zx+y24〃〃
9.a2+c—Q+Z c+a—b+c2+/—c—b+c—QC+-ba+b—c人一ab+C-Q2+bc+Q-Z2+ca+c2+/4-C-6Zc+6Z-Z6Z+Z2-c
10.仅+〃
11.ac+a—ZQ4-b—C+ZQ+b—0c—a+cb+c—4C+Q-/+b+c—C+Q—Za+〃〃
12./+/+/+5^c—Q—/—c——cb—Q—cc—QC—Z3+c+bc[b+c-Z7+ca{c+a^-ab[a+Z
13.
14.
15.2zx+ll-27/+18x+l
16.〃3〃33bz-cy+3©-az+c ay-bxf
17.、ab-c^+Zc-a3+cQ-b
318.〃+[一人〃
19.b-c+c3+C_QC+Q3Q+3〃〃
20./[b+c2+.c+Q2+c2+b2+Q/CQ+/7+C+Q2+2+C2/7+/7C+CQ，力一—々+〃人a0+404_
21.匕〃Z2c2_c+02Q2C_Q+Q22Q_b
22.。
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