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二项式系数的性质
4.2课标要求.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题理解二项式系数12的性质并灵活运用.素养要求通过本节课的学习,进一步提升逻辑推理及数学运算素养.预习教材-必备知识探究问题导学一杨辉三角.思考根据二项式定理写出(+份(〃=)的二项式系数.可以写成11,2,3,4,5,6如下形式,则第行的数字分别是多少?7«+/
1.思考在上述图形中,每一行的数字有什么特点,下一行与上一行的数字有什么2联系吗?提示每一行的数字是对称的,先增大,后减小,并且首尾数字均为.下一行的数1字除外的每一个数字都等于它的“肩上”的两个数字的和.
1.填空()在同一行中,每行两端都是与这两个等距离的项的系数相笠;⑵311,1在相邻的两行中,除以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的也,即1Cn+1=Crr-^~\rCn.温馨提醒()从杨辉三角可以看出展开后共有n+l项.1()尸展开后每项的二项式对称出现且先增大后减小.23+.做一做()观察图中的数所成的规律,则所表示的数是()4111213314a411010A.8B.6C.4D.2答案B解析由题图中,下一行的数是其肩上两数的和,所以=得4+10,=
6.()在(%+丁产的展开式中,第项与第项的系数相等,则〃为()257A.6B.8C.10D.12答案C解析由题意知第项与第项的系数相等,即为其二项式系数相等,所以=或,57C4〃.故选•••=4+6=10C.
二、二项式系数的性质.思考在杨辉三角中,如何找二项式系数的最大值?1提示观察每行的数字,当〃为奇数时,展开后中间两项的二项式系数相等并且最大;当〃为偶数时,中间一项的二项式系数最大..思考在()〃氏中,你能求出的值吗?2i+x=c9+c+d+…c2+d+cS+…+提示令夕〃x=1,CHC/z+C^H——PC=
2..思考在(尸的展开式中,如何求计…,…的直提示令31+%C9+G+C c!+c+G+X=—1得到c2—c』+c・一G+…+0(—1)〃=0,令工=得到点〃1+c4+cm——y=2,•••以+或+或+=或+或+点+=2〃-
1.・・・・・・.填空4在(a+〃)”的展开式中,与苜末两端“箜里宣”对称性的两个二项式系数相等,即c=c~m增减性当4<耍时,C随4的增大而增大;由对称性可知,当中时,C随k的增大而减小.增减性与最n大值最大值当〃是偶数时,中间一项C取得n-1最大值;当〃是奇数时,中间两项C〃2,n+1CF相等,且同时取得最大值
①2=C+C+C H--------FC各二项式系数
②C+C+C+…=c+c+瑞+~=空,即在的和(a+〃)”的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于低数项的二项式系数的和温馨提醒()当场为偶数时,中间一项的二项式系数最大.1()当〃为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大.
2.做一做()在()的展开式中,第项与第项的系数相等,则展开式中系数51%+”48最大的项是()第项.第项A.6B
5.第项第项C5,6D.6,7答案A解析由题意,知第项与第项的系数相等,则其二项式系数也相等,
48.•.C=CZ,由组合数的性质,得〃=
10.•••展开式中二项式系数最大的项为第项,它也是系数最大的项.6()若(贝制=22—xpOnao+aix+air2+・・・+〃1()30,U答案180解析由题意可知〃是的系数,所以〃・8f8=C§022=
180.研析题型-关键能力提升互动合作题型一与“杨辉三角”有关的问题例(多选)我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的11261杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有()第行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051由“在相邻的两行中,除以外的每一个数都等于它‘肩上两个数的和”猜想A.1-Ic;i=a+a+B.CHCHCH-+Co=165第行中从左到右第与第个数的比为C.3414152:
3.由“第〃行所有数之和为〃猜想片〃D2”C9+C1++…+C2答案ACD解析对于显然九故正确;A,CQi=CGi+C A对于,)故错误;B,d+C3+d+…+C0=C3+d+C2+Cg+…+C%—1=61—1=164,B对于第〃行,第左个数是则第行中从左到右第与第个数分别为C,341415C33,出所以詈=笄/故正确;对于第〃行所有数之和为即卜©=〃C D,2”,C2+CZ+C2T——2,故正确;故选D ACD.思维升华解决与杨辉三角有关问题的一般思路⑴观察对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察;()找规律通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律.2训练如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,,匕是某行的前两个数,1当时,匕等于()=7122343477451114115a b•••••A.20B.21C.22D.23答案c解析由=可知左肩上的数为右肩上的数为所以人7,b6,11+5=16,=6+16=
22.题型二二项式系数的单调性与最值例请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.2
①第项的系数与第项的系数之比为;
②第项与倒数第项的二项式系535223数之和为;
③厂36Ci—C2=
8./1\已知在也一工〃的展开式中,_________.I W求展开式中的二项式系数最大的项;1求展开式中含的项.2J解若选
①,展开式通项公式为4+i=—6,3n~5r则第项的系数为第项的系数为解得〃舍5C4,3CZ=52,=—3或〃=;若选
②,第项与倒数第项的二项式系数分别为以和厂8232,「解得〃=—舍或〃=;••C+C2=C+=36,98若选
③,由苒得〃;C i—Cf2=8,=8〃24—5Tr+=yC^x1-16的.展开式通项公式为当〃时,若取得最大值,则即第项的二项式系数最大,,展开1=8CW r=4,522式中二项式系数最大的项为T5=0x3=10x
3.24—5r1令一^=—解得•••展开式中含!的项为21,r=6,T7=CM=思维升华二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对中的〃进行讨论.3+3”
①当〃为奇数时,中间两项的二项式系数M—1〃+1最大即为c7=c
7.
②当为偶数时,中间一项的二项式系数nn最大即为CL训练幻的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是211+2•1〃nA.m+1B.n-1,〃〃〃C.+l,+2D.+2,n+3答案c产产解析〃为奇数,展开式中中间两项的二项式系数最大,分别为第2+l•十”+,项,第项,即第项与第项.故选5+15+2C.的展开式中第项是常数,则展开式中系数最大的项是⑵m+!”
8.第项第项A8B.9第项和第项第项和第项C.89D.1112答案D一1\131女九一甲=分•唱〃一/鼠令k=7,・2解析二项展开式的通项为襄必引+i=C〃7121—3解得〃通项可化简为一一.由于〃故展开式中一共—§=0,=21,C5i・=21,有项,又展开式中各项的二项式系数与项的系数相同,故系数最大的项为人22=10,两项,即展开式的第项和第项.111112题型三二项展开式系数的和问题例已知5awe+犬+3232x—I=1Q2A+73X+Q4x+
5.求1〃+++〃O+Q1234+
5.求〃〃〃;21+3+5求|+|+㈤.3|QO|+|ai|+31+解令得1x=l,15=Q++2+〃3+4+〃5,2X1-O QIQ Q〃+++
①+2345=
1.令则〃〃
②2X=-1,Q0—Q1+Q2—3+4—5=——35=3^=
243.工
①一
②得〃〃2ai+3+5—1—243——
242.++35=-
121.的展开式中偶数项的系数为负值,3•••2x—\ao\+㈤+〃同=〃〃1+13|+14|+40—Q1+Q2—3+4—
5.令得5x=—1,[2X-1-1]=+〃—Qo+ai—23—4+5,即ao—〃1+2—3+4-45=243,「♦|QO|+1+12|+13|+31+15|=
243.思维升华求二项展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同的值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令=可得常数项,令可X X=1得所有项系数之和,令可得偶数项系数之和与奇数项系数之和的差,而当二X=-1项展开式中含负值项时,令则可得各项系数绝对值之和.X=—1训练已知〃+.求I311-3x8=Q+mx+…+7/8/
①〃〃;Qo+1+…+8
②+++〃;246+8
③||+㈤+…+|1+8|.解
①令X—得1,〃O+〃I+・・・+〃8=—28=
256.I
②令X=得a\+++-1,6Z0—2—3+4—56—78=
48.II得88I+II,2610+612+6Z4+616+4Z8=2+4,88do4~6U+^64~6/8—X2+4=
32896.
③由于------------卜鹏义一〃〃1—3X8=CG+C1X—3x+C5—3X2H3%8=+1%+aix28\-6i8X,H故0,42,4,6,80,〃3,〃5,47V0,「||+|||=Cl]++♦1|+2|+…+8|0—2—43+…8=48=
65536.+〃1+35〃++2+〃4设26=+2ai2x223x—Q QIX—1+—1+•••+762x—16,竺案一包口木65解析令得+令得〃一\~C16=x=1,1+2Hp〃6=l,X=0,2H两式相减,得〃两式相加,得64,20+63,240+42+04+16=65,3+5=—故〃1+〃3+〃563++2+〃4665*[课堂小结].牢记两个知识点杨辉三角;二项式系数的性质.
112.掌握一种方法赋值法.
2.辨清一个易错点在求二项式系数的最大值时需对〃讨论.3。