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文本内容:
组合问题§3组合
3.1组合数及其性质
3.2第一课时组合与组合数课标要求.通过实例理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系.
1.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算会解决简单的组合问题.23素养要求通过学习组合的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.预习教材-必备知识探究问题导学
一、组合的概念.思考某班需要从人选出人担任正、副班长，与从人中选出人去参加数15252学竞赛有什么区别吗？提示从人中选出人担任正、副班长与顺序有关，是排列，共有52Ag=5X4=20种不同的选法；而人中选出人去参加数学竞赛与顺序无关，不是排列是组合，52共有种不同的选法.
1.思考排列与组合有什么联系与区别？2提示排列与组合都是从〃个不同元素中取出加个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列中的元素是有顺序的..填空⑴组合3一般地，从八个不同元素中,任取加（加〈〃，m,〃GN+）个元素为一组,叫作从〃个不同元素中取出个元素的一个组合.m（）组合问题2有关求组合的个数的问题叫作组合问题.温馨提醒
（1）组合中取出的元素与顺序无关.（）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
24.做一做
（1）下列问题属于组合问题的是.
①由构成的双元素集合；
②由构成的两位数的方法；
③由1,2,3,41,2,31,2,3组成无重复数字的两位数的方法.答案
①甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种2数是—假设票价只与距离有关.答案3二组合数.思考组合数3与排列数有什么关系？你能求出吗？1A3C提示求从个不同元素中取出个元素的排列数可以分如下两步
①考虑从43A1,个不同元素中取出个元素的组合，共有个；
②对每一个组合的个不同元43C3素进行全排列，各有种方法.由分步乘法计数原理得，所以=寿A
3.思考类比上述方法，组合数排列数留有什么关系？2A提示排列数可以分两个步骤计算
①从〃个不同元素中取出“个元素共有A7C野种取法;
②将取出的加个元素进行全排列，共有希种排法.则肌即A A7=CA资=第帆，〃《且N+.填空组合数从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫31n m,”£N+作从〃个不同元素中取出个元素的组合数，记作鳗.m组合数公式嗡2C7=n几一1〃一2・・・・・[71一加一1]n!__m根一1m—2•…・2・1加•―加！・规定3C2=L温馨提醒=瑞=n〃—171—2•・・・•[〃―/n-1〃!HE/不/转不j常用于计算，而C7=;7\~j-吊用m km—1m-2・・・・・2•1ml ln-m!于化简式证明..做一做判断正误41
①从三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是Q,b,C
3.X提示应该是组合数为C
3.
②从中任取两个数相乘可得个积1,3,5,7C
2.j
③1,2,3与3,2,1是同一个组合.J5X4X3提示Cg==
10.3X2X1
④Cg=5X4X3=
60.（X）⑵若方则〃的值为C=10,A.10B.5C.3D.4答案B（）—1VI解析=…=10,解得〃=5（〃=—4舍去）.Z A1研析题型关键能力提升・互动合作题型一组合概念的理解例给出下列问题1四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？10,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？2a,b,c,d⑶从全班人中选出人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种403不同的选法？从全班人中选出人参加某项活动，有多少种不同的选法？4403在上述问题中，—是组合问题，是排列问题.答案14⑵3解析单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.1冠、亚军是有顺序的，是排列问题.2人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.33人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.43思维升华排列、组合问题的判断方法⑴区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序.⑵区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.训练判断下列问题是组合问题还是排列问题1某铁路线上有个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？14把本不同的书分给个学生，每人一本；255从本不同的书中取出本给某个学生.375解因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲一乙和乙一甲的车票是不同的，1所以它是排列问题.由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.2从本不同的书中，取出本给某个学生，在每种取法中取出的本并不考虑3755书的顺序，故它是组合问题.题型二组合数公式的应用例2求值⑴3a—2d；证明2C7=Cni.n-m力.8X7X65X49⑴解3d-2C^=3X-2X—=
148.3X2X1〃！n〃—1!—RE/SL〃证明右边=2Cn-1=•j7\~j-=j/\~j-=C«=n-m n-m mi\n-1—m!m!\n—m!左边，所以原式成立.思维升华在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即夕中的为n正整数，为自然数，且〃巳九因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将m不符合的解舍去.训I练2⑴计算Cfo-C^A^；证明=2-h上4210X9X8X7解原式一1=Cfo—A3=/7X6X5=210—210=
0.4A JX Z A1H!2证明mC^=m--;~~二」------______n・—-1!______〃一m—1!m!=n-m—1!n—m!n—1!题型三简单的组合问题例在一次数学竞赛中，某学校有人通过了初试，学校要从中选出人去参加3125市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？（）任意选人；15（）甲、乙、丙三人必须参加；2（）甲、乙、丙三人不能参加；3（）甲、乙、丙三人只能有人参加.41解
（1）62=792（种）不同的选法.（）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的人中选人，共有（种）292C=36不同的选法.（）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的人中选人，共有（种）395C8=126不同的选法.（）甲、乙、丙三人只能有人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选人，有411d=3（种）选法，再从另外的人中选人有种选法.共有（种）不同的94C8CJC$=378选法.思维升华（）组合问题和排列问题的求解步骤1⑵关注点及注意点要关注将要计的数是分类还是分步，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.训练一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球.371⑴从口袋内取出个球，共有多少种取法？3⑵从口袋内取出个球，使其中含有个黑球，有多少种取法？31⑶从口袋内取出个球，使其中不含黑球，有多少种取法？3解
（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是乂x o1=
56./A3J AZA17X6法种数是C3=厂「A2X
21.⑵从口袋内取出个球有个是黑球，于是还要从个白球中再取出个，取3172盘7X6X5种数是C3==
35.75=3X2X1⑶由于所取出的个球中不含黑球，也就是要从个白球中取出个球，取法373［课堂小结］.牢记两个知识点组合与组合数的定义.11组合数公式及其应用.
2.掌握一种方法列举法.2,辨清一个易错点分不清是“组合”还是“排列”.3。
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