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第一章传输线一波导一集成与互连
1.请用较为严格的数学推导证明麦克斯韦方程与基尔霍夫电压定律/电流定律之间的联系参见Ba Ian is的Advanced Engineeri ngEI ectromagneti cs麦克斯韦方程组中的一个方程:法拉第电磁感应定律它描述了磁场的变化会产生电场具体来说,当磁场的磁通量发生变化时,会在空间中产生一个电场这个电场的大小和方向与磁场变化的速率和方向有关基尔霍夫定律它描述了电路中电流的分布规律具体来说,对于一个闭合电路,电流的总和等于零这是因为电流是由电荷的流动产生的,而电荷是守恒的,因此在一个闭合电路中,电流的总和必须等于零
2.脉冲发生器产生一锯齿脉冲Pt=10t/T0W1WT,其中T=10-8so脉冲发生器内阻Rg=200Q,连接到长为I单位为m、阻抗Zc=50Q的传输线上,其终端接一负载电阻RI波的传播速度为3x10m/s问:
①D当传输线长l=3m且负载电阻RI=200时,求出负载电压与时间的函数并画出其关系图;
②当负载电阻RIK
2.5时,重复
①问;
③当传输线l=12m且负载电阻RI=200时,求出负载电压的解析表达式;
④绘制
③中传输线上电压的距离-时间图答案略
3.一传输线参数如下Zo=600/-6°0,a=
2.0x10-5dB/m,vp=
2.97x108m/s,f=
1.OkHzo波沿传输线z方向传播,在z=0处电流最大值为
0.3mA,且在t=0时电流达到最大正值写出矢量Vz和I z及其相应的瞬时值根据题目提供的信息,可以得到以下结论
1.传输线的特性阻抗Z=600/-6即阻抗的幅值为600Q,相位角为-
62.传输线的衰减常数:a=
2.0x107-5dB/m即每米衰减
2.0x107-5dB
3.波的传播速度vp=
2.97x10^8m/so
4.信号频率f=
1.0kHz=
1.0x10^3Hzo
5.在z=0处的电流峰值Imax=
0.3mA根据传输线的性质,我们可以使用复数形式来表示电压和电流设传输线上的电压为Vz=V0eX-jBz,其中V0是振幅,B是传播常数由于传输线的特性阻抗是复数,我们可以表示为Z0=R0e7j90,其中R0是特性阻抗的幅值,是特性阻抗的相位角将传输线的特性阻抗、传播常数和传输线上的电压代入传输线的特性方程中,可以得到以下关系V z=V0-j Pz=V0e-j t-B z=V0e-j ot屋j Bz=V0e-j31「j B Oz e八-j90其中,3二2兀f是角频率,80是传播常数的实部,0是特性阻抗的相位角根据以上关系,我们可以得到传输线上电压和电流的瞬时值矢量电压Vz=VO e量-jst eXjBOz--矢0矢量电流Iz=VO/ZO Ct屋jBOz e7-j90将给定的电流峰值Imax=
0.3mA和传输线的特性阻抗Z0=600/-6代入矢量电流的表达式中,可以得到VO=Imax*Z0=
0.3x107-3*6OOZ-60=
0.18Z-6°V因此,瞬时电压和电流的表达式为瞬时电压:v z,t=
0.18cos cot-30z-90V瞬时电流i z,t=v z,t/Z0=
0.18/600cos t-BOz-00A请注意,上述表达式中的角频率
3、传播常数实部B0和特性阻抗相位角90可以通过给定的频率3波的传播速度vp和传输线的衰减常数a进行计算3二231f=2兀
1.0x103=
6.28x103rad/s80=3/vp=
6.28x10^3/
2.97x10^8=
0.0212rad/m90=-6°以上即为矢量电压和电流的表达式及其相应的瞬时值
4.一传输线长为30km,终端接阻抗为100+j200的负载,输入端接电压为Vt=15cos8000nt V、内阻为75Q的正弦波信号源,传输线的特性阻抗为75O,信号相速为
2.5x107〃求出输入端和负载端的总电压首先,我们需要确定信号的角频率和传播常数根据输入电压的函数形式vt=15cos8000Jit V,我们可以确定角频率为3=8000“rad/So然后,计算传输线的传播常数B=3/vp,其中vp是信号的相速度根据题目中的信息,vp=
2.5x108m/so所以,B=8000n/
2.5x10^8〜
0.080n rad/mo接下来,根据信号源和传输线的特性阻抗,计算输入端的电压输入端的电压可以表示为V_in=Vs*e-j BL+I_s*Z_c*1一e-j PL其中,V_s是信号源的电压幅值,I_s是信号源的电流幅值,Z_c是传输线的特性阻抗,L是传输线而长度根据题目中的设定,V_s=15V,Z_c=75L=30km=30,000m代入计算可得V_in=15*e7-j*
0.080n*30,000+15/75*75*1—丁-j*
0.080n*30,000接下来,计算传输线末端负载端的电压负载端的电压可以表示为V load=V in*-j BL+I in*Z c*1--j BL其中,I—in是输入端的电流,根据Ohms Law,I_in=V_in/Z_co代入计算可得I_in=V_in/Z_cV load=V_in*-J*
0.080n*30,000+V_in/Z_c*Z_c*1一e*
0.080n*30,000另外,根据题目中的设定,终端接阻抗为100+j200Qo现在可以将上述计算步骤总结如下
1.计算角频率3=8000n rad/so
2.计算传播常数B=a/vp二8000n/
2.5x108弋
0.080n rad/mo
3.计算输入端电压V_in=15*e7-j*
0.080n*30,000+15/75*75*1-eX—j*
0.080兀*30,000o
4.计算输入端电流I_in=V in/Z_co
5.计算负载端电压:V load=V_in*-j*
0.080n*30,000+V in/Z_c*Z_c*1一e7-j*
0.080n*30,
0005.一传输线长
2.5m,若其一端短路,则另一端的阻抗为J50;当其一端变为开路时,另一端的阻抗变为-j500已知正弦波信号源的频率为
1.9MHz,传输线长度小于1/4个波长求出传输线的特性阻抗和信号的相速根据题目提供的信息,我们可以得到以下关键点L传输线长度为
2.5mo
2.一端短路时,另一端的阻抗为j5Q
3.一端开路时,另一端的阻抗为500Q
4.正弦波信号源的频率为L9MHzo我们可以利用这些信息来计算传输线的特性阻抗和信号的相速首先,根据给定的传输线长度小于1/4个波长的条件,可以推导出传输线的特性阻抗和信号的相速之间的关系式Z0=V Z_short*Z_open其中,Z0是传输线的特性阻抗,Z_short是一端短路时的阻抗,Z_open是一端开路时的阻抗代入题目提供的数值,我们可以计算出特性阻抗Z0Z0=Jj5*-j500=V500=
22.36Q接下来,我们可以使用下面的公式来计算信号的相速v_p v_p二入*f其中,人是信号的波长,f是信号的频率由于传输线的长度小于1/4个波长的条件,我们可以知道传输线的长度L满足以下关系LX/4然后,我们可以通过以下公式计算出波长X入二4L代入传输线的长度L=
2.5m,我们可以得到波长X人=4*
2.5=10m最后,我们将波长人和信号的频率f=
1.9MHz代入计算公式,即可计算出信号的相速v_p vp=入*f=10*L9*106=19*106m/s=19MHz因此,传输线的特性阻抗Z0为
22.36,信号的相速v_p为19MHzo
6.一特性阻抗为75Q的无传输线连接在阻抗为
37.5-j15Q的负和内阻为75Q的信号源之间求出:
①距离负载
0.15人入处的电压反射系数:
②传输线上的驻波比VSWR;
③距离负载
1.3人处的输入阻抗根据题目中提供的信息,我们可以得到以下关键信息传输线特性阻抗Z0=75负载阻抗ZL=
37.5-jl5Q信号源内阻Zs二75Q
1.距离负载
0.15X处的电压反射系数电压反射系数r可以通过以下公式计算「二ZL-Z0/ZL+Z0将题目提供的数值代入计算r=
37.5-jl5-75/
37.5-jl5+75=-
37.5-jl5/
112.5-jl5分子和分母同时乘以该复数的共轨,可以得到r=-
37.5-jl5*
112.5+jl5/|
112.5-jl5「2计算分子的乘积-
37.5-J15*
112.5+jl5=-
37.5*
112.5-j
37.5*15-
112.5*15-j
37.5*
112.5+15*15计算分母的模的平方
1112.5-只5「2=
112.5^2+-15^2代入计算并整理,可以得到电压反射系数的值
2.传输线上的驻波比VSWR驻波比VSWR可以通过以下公式计算VSWR=1+|r|/1-|r|根据上述第一步计算得到的电压反射系数r,可以代入计算并求得驻波比VSWR
3.距离负载
1.3人处的输入阻抗输入阻抗Zin可以通过以下公式计算Zin=Z0*ZL+jZO*tan BL/Z0+jZL*tan BL其中,B是信号的相位常数,L是传输线的长度由于我们没有提供频率或波长的具体数值,无法计算相位常数0O但我们可以通过正余弦函数的关系得到tan3L的值根据tanBL=sinBL/cosPL,我们可以使用相关三角函数求得tanBL将步骤中得到的tan3L的值代入公式,并将其他已知值代入计算,可以得到距离负载
1.3人处的输入阻抗Zino请注意,这里提供的计算结果是复数形式的,可以根据需要提取其幅值和相位信息
7.一无耗传输线的特性阻抗为75Q,终端接一阻抗为150+j150的负载分别求出Zin75-j120Q,75-j75Q,
17.6时的传输线的最短长度答案略
8.矩形波导的宽为a,高度为b,内部均匀填充介电常数为2的媒质,证明其截止频率fc=c2a£r”2其中,是光在真空中的速度,r是相对介电常数并证明£媒质填充的波导中的波导波长比空气填充的波导中的波导波长小要证明矩形波导的截止频率为fc=c/2aV£r,可以使用波导的截止条件和相位匹配条件来推导首先,根据波导的截止条件,截止频率发生在波导中的电场分布模式无法在波导中传播口寸对于电场分布模式TE_mn,其中m和n是整数,对应于波导中的横向模式和纵向模式当频率达到截止频率时,对应的波长无法在波导中容纳,因此电场无法传播对于TE_mn模式,横向模式数为m,纵向模式数为n,对应的截止频率fc_mn可以表示为fc_mn=c/2a VnT2+rT2此处,c是光在真空中的速度我们需要证明矩形波导的截止频率为fc=c/2aV£ro根据相对介电常数£r来替换真空中的光速c,即c替换为c/然后,根据横向模式数m和纵向模式数n,将波导的截止频率fc替换为c/2a VSr Vm2+n2o根据矩形波导的特殊形式,可以令横向模式数m=0,纵向模式数n=1,得到对应的截止频率fc=c/2a VSr V02+12=c/2a VSr因此,我们证明了矩形波导的截止频率为fc=c/2aV£ro接下来,我们将证明,在媒质填充的波导中,波导波长比空气填充的波导中的波导波长小波导波长入g可以表示为入g二人/V1-入c/fc^2其中,人是光在真空中的波长,入c是截止波长,fc是截止频率对于矩形波导,在空气中的截止波长为在媒质中的截止波长为入c=人c/VSr代入Ac和Sr,我们可以得到入c=2a/V Er将入c代入波导波长公式,我们得到X g=X/V1-X/人c-2将入c的值代入并整理,我们得到入g=入/V1-Er/Sr+1与空气填充的波导波长X0相比较,即入gO二人/J1-1二入,我们可以得到g、g/人gO=V1-1/£r+1由于实数大于1的倒数是小于1的,因此V1-1/Er+1大于lo因此,我们证明了在媒质填充的波导中,波导波长比空气填充的波导中的波导波长小
9.传输线的特性阻抗Z0=50Q,连接一100Q的负载
①计算电压反射系数I和驻波比VSWR;
②求被反射的入射功率百分比和回波损耗;
③画出|Vx|与x的关系图;
④求出x=-
0.5入和X=-
0.25入g处的输入阻抗答案略
10.天线的驻波比为
1.5,连接一特性阻抗为50的传输线,如果输入功率是10W,则反射功率W是多少?要计算天线的反射功率,我们可以利用驻波比的定义和特性阻抗的知识驻波比VSWR定义为:VSWR=1+|r|/1-|r I其中,r是反射系数,定义为反射功率与入射功率之比根据驻波比VSWR=
1.5,我们可以解出反射系数r
1.5=1+|r|/1-|r|将等式两边乘以1-I r|,然后进行整理,得到
1.5-
1.5|r|=1+|r再次整理,我们得到
0.5=
2.5|r|将等式两边除以
2.5,可以解出反射系数r的绝对值I rI=
0.5/
2.5I r|=
0.2因为反射系数「的模表示反射功率与入射功率的比值,所以反射功率与入射功率之比为|「「2二(
0.2厂2=
0.04反射功率与输入功率之比为
0.04,因此,反射功率为输入功率的
0.04倍反射功率=
0.04*10W=
0.4W因此,天线的反射功率为
0.4肌
11.一同轴线内均匀填充相对介电常数尸
4、相对磁导率ur=1的媒质,其内导体£半径为2mm外导体半径为
10.6mm,同轴线连接一电阻为25Q的负载计算
①同轴线的特性阻抗;
②传输到负载的入射功率百分比;
③当频率为3GHz时,距离负
6.25cm处的输入阻抗答案略。