还剩4页未读,继续阅读
文本内容:
第六章有噪信道编码定理
6.1设有一离散信道,其信道传递矩阵为1/21/31/61/61/21/31/31/61/2并设P,=1/2/町=2%=4,试分别按最小错误概率准则与最大似然译码准则确定译码规则,并计算相应的平均错误概率解按最大似然译码准则:1Fy1=x1Fy2=x2Fy3=x3PE=1/21/31/61/4x2x1/31/6=1/2111812241I18Fy1=x3Fy2=x2Fy3=x3PE=1/81/242/121/241/12=11/2424121,1246联合概率矩阵为,则按最小错误概率准
26.2计算码长5的二元重复码的译码错误概率假设无记忆二元对称信道中正确传递概率为;,错误传递概率P=1--o此码能检测出多少错误又能纠正多少错误若p=
0.01译码错误解概率是多大?码长的二元重复码是,码间最短距离为n=500000,111115,可以检测出小于等于位以下的错误dmin=5=e1e=44可以纠正位及位以下的错误dmin=5=2x21=2t1t=222;;=C p5+C p4l-p+cy i-p♦:p=
0.01々・・・=
0.98x10-
56.3设某二元码为C=111100,01001,1001000111o1计算此码的最小距离日向展2计算此码的码率R,假设码字等概率分布;3采用最小距离译码准则试问接收序列10000,01100和00100应译成什么码字?4此码能纠正几位码元的错误?此码字的最小距离1dmin=3j2此留字的码至H=幽』=1比特,码符号;n5采用最小距离洋码,应怪成应怪成31000010010;0110011100;00100怪成、均可;1110000111由于,因此此码能纠正位码元的错误4dmin=3=24+l
16.4设无记忆二元对称信道的正确传递概率为,,错误传递概率为一‘一V瓦令长度为n的M个二元码字%i w;0,1码字为等概率分布,・接收的二元序列为…九试证明采用最小距离译码准则式
6.22可使平均译码错误概率%达到最小,并且=1PE答案略
6.5对于离散无记忆强对称信道,信道矩阵为试证明对于此信道,最小距离译码准则等价于最大似然译码准则当信道发送符号序列为而…额,接收符号序列为吁bj\bj2-bjnP@Ji^Pbj\bjl--bin\ai\ail…期•P bjl\ai\i bp\nl•••P bjncnn=-----------1-p「0”,力r-1按照最大似然泾码规则,选怪尸,使成立,即W,®/11—pEf,・y-1f-l因此有0仞)-明倒)f-p一般情况下,因此有zxo@/)wzxi.®j)成立,而这即为最小距离逢码般则
6.6某一信道其输人X的符号集为{0,1/2,1}输出Y的符号集{0,1},信道矩阵为10一P=1/21/201现有四个消息的信源通过该信道传输(消息等概率出现)若对信源进行编码,我们选这样一种码C{(盯,町,1/2,1/2)I距=0或1(i=l,2)其码长为n=4并选取这样的译码规则/(力,力,力,九)二(力,y,l/2,l/2)2o
(1)这样编码后信道的信息传输率等于多少?
(2)证明在选用的译码规则下,对所有码字有P”答F)对信源四个消息进行编码,选择码长〃=4,这组码为C:{(x x,1,i)}x,=0或l(i=l,2)p2C:{(001l|/o1-01-V11-1所以,码字为\22JI22,122/\22编码后信息传输率式=竿=;(bit/码元符号)164⑵设接收序列=(凡3卬,匕w{内=
123.4),根据信道的传输特性接受序列/共有个,正好分成个互不相交的子集,每一个码字只传输到其中对应的一个子集:0=(01;)T(OO/乂),%=(01;0;;)一(10丁必),4=(11;;)-(11%乂)%,乂£{04}具体传输信道如下000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110miooU II1J2200000000000044440\--220000£J J00000000i4444I0--22000000002J J0000Ii4444II--1|i1220000000000004444UM g;)所以根据选取的译码规则/而必必)=正好,雒受序列译成所发送的码字可计算对于每个码字引起的错误概率〃丁=
①PP1,.〃*«J=Oi=1,2,3,4r所以有〃=ZPa,P==°/*
6.7考虑一个码长为4的二元码,其码字为加i=0000,〃2=0011,勿3=HOOo%=1111假设码字送人一个二元对称信道(其单符号的错误概率为P,并且P
0.01)而码字输入是不等概率的其概率为P(%)=1/2,P(W)=1/8,P(卯3)=1/8,P(即1/42试找出一种译码规则使平均错误概率也为最小设接收码字为叮,则一共可能有16种不同的码字序列,而PWj W-P/历列出所有的输出,如下表所示Wi接收码字000000111100mi目标序列1L LL尹(勺m)丁07m3彳尸071#41▲1400001q00001a-PP o-PP o、*--------------------------------------------------------------------1a-PP lx121一0001-pp ow即380000了即31_、了1a1X拉3即3400100000-PP-ppQ1a1▲14001100111q-PPV V之-PP4如尸8g30100340000三110101140000鸿那FP s48la1a1JL20110-pp0000*-PP4Pp411工-pp87汐3130111mi可3-PP1,”381JL12-PP o1000-pp0000即31a1a1g41a-PP4-PP o-pp o10010000-PPI1JU1a-pp o1a1a-PP4-PP o10100000-PP263101111mi1X-pp o即381▲-PP414141100-PP1100V1a-PP412^pp o13-PP4髀1101ini加mi11103la3-pp91a-PP
4、,,一142P1-Pa Po1-Pa Po141111nilV
6.8设一离散无记忆信道,其信道矩阵为1/21/200001/21/200001/21/200001/21/21/20001/21计算信道容量Co2找出一个码长为2的重复码,其信息传输率为、og5即5个码字如果按最大似然译码准则设计译码器求译码器输出端的平均错误概率4输人码字等概率3有无可能存在一个码长为2的码而使/‘,即使4二0如存在的话请找出来答案:略略略
1236.9证明二元2n+1,1重复码即将一位信息位重复2n+1次当采用最大似然译码准则即择2n+1心PE P”1-P多译码准则时,译码平均错误概率为式中,p为二元对称信道的错误传递概率并计算当n=5,7,9,11时区的近似值对于二元2〃+1,1重复码,采用最大似然怪码规则时,收到的码字序列可能有22〃+1个,此时可以自动纠正1位至〃位错误,因此平均错误概率为:pkpln+1-2PE=C2JW-H-112升12户+…+C22WW-11p+1=当〃=2时,PE=110-53当〃=3时,P£=
3.4210-7;当〃=4时,P£=
1.2240-83当〃=5时P£=
4.43-10-10o
6.10对二元2n,1重复码即将一位信息位重复2n次设计一种合适的译码准则并求出它的译码平均错误概率%与上题4的公式基本相似o答案针对二元重复码,设计一种合适的译码准则可以采用多数投票准则即根据收到的2n重复码中的个数进行统计,出现次数最多的即为译码结果1假设接收到的重复码中的个数为那么译码结果为的概率为译码结果为接收至1k,1P1=P U个A Ak1=C2n,k*p k*l-p2n-k其中,是组合数,表示从个码中选择个的组合数C2n,k2n k由于采用多数投票准则,当接收到的重复码中的个数超过时,译码结果为;否则译码结1n1果为因此,错误译码发生在接收到的重复码中工的个数小于等于时,而正确译码发生在0n接收到的重复码中的个数大于时1n因此,译码错误的概率可以表示为译码结果为但实际位译码结果为但实际位P_E=P10+P01A A=E[k=0to n]C2n,k*p k*l-p2n-k这是一个概率问题,可以通过计算不同的值对应的概率,并求和得到最终的平均错误概率k P_Eo希望以上解答对您有所帮助如果有任何进一步的问题,请随时提问。