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圆锥曲线大题计算的小技巧超适用x V已知椭圆一+的左、右焦点分别为月,下.过月的直线交椭圆于两点,过下2=12A23的直线交椭圆于两点,且垂足为,4NCJ_5Q,P.22设尸点的坐标为如比,证明至+庄<I1;,32求四边形月的面积的最小值.一II58这里只对第二问进行分析当的斜率存在且时,的方程为代入椭圆方程IIi8k ZwO3y=kx+l,二十匕并化简得攵左工+=1,32+2X2+62322—6=
0.32设必,工,%,则5%,26k23k2-6X.+=-----------;------,=—;-----------4A/3^2+1b38+2123k2+212左32+2|B£|=A/1+V也-x2x+x2一4%々22因为与相交于点且的斜率为—工,kAC3c P,AC、/1
①40+114®2+1所以,AC』+3x2-2r+3k2四边形的面积ABCs公1|o||i243+1224+1296n4rc一”“----------------------------S二^\BD\\AC\=c,22K3;;=宝・攵攵23^+22%+332+2+22+325当产时,上式取等号.=1当的斜率攵或斜率不存在时,四边形的面积ii3D=0A8CD S=
4.96d综上,四边形的面积的最小值为二.ABCO25[析]这道题目从总体上来看,中等难度,题型经典,对大多数同学来讲想到怎么做是不难的,但是要真正做对包括结果正确,分类完整是很有难度的,这点从多次课堂试验可以看得出来在此对以上这道真题中所涉及的几个小小计算技巧做一个简单的分析,总共有四个点:整理化简技巧a做数学大题,必定会遇到整理化简的时候,许多同学在化简的时候经常出现这样那样的失误,原因很简单,计算量一大,一个方程就占了两三行,这样最容易出错22式中,要把直线方程代入椭圆方程工+匕中,容代入后易得到a y=Zx+l=132^工+到了这一步许同学们会开始打草稿,其实不必要,打草稿太费时2/+32212—6=0间我们可以这样想,这个方程化简后肯定是一个关于元一元二次方程,必定有二次项、一次项、常数项,二次项系数显然是一次项系数容易看出是,而常数项同样也可3r+2,6/得到人因此扫描一眼就可以快速地在试卷上写上“整理得32—6,父+26k2x公—32x++36=0”()省时省力的弦长公式b现在市面上最流行的弦长公式当然是||=出+a(%+々),但是,这个公式P2—中石+々、玉々两块东西是可以由方程()不用计算顺手写出的,这2/+3%2x+l2—6=0一步固然简单但是代入弦长公式后的计算将会是很恐怖的为此,我给大家引进另一个简洁好用的弦长公式,就是产巫,|PQ|=J1+|Q|这个公式一写出来,总能让同学们眼前一亮!同学们理解起来也很简单,这里只不过是h r做了一个小小的改变,用韦达定理把玉换成-一,把玉马换成一,整理即可a a+X0这个公式好在哪?计算错误无非就是化简整理(通分合并)过程出错,其实对比一下两个弦长公式就可以看出,第二个弦长公式恰好省去了通分化简合并的过程实践证明,这个公式大大提高了计算精度另外,我们都知道,做解几大题常常需要判定△的正负性,因此,我们就可以借用这个直接代入弦长公式,这一个小小技巧即充分地提高了计算精度也大大地减少计算量与A计算时间这个公式可以直接用吗?这是同学们最关心的问题,这个公式当然可以用,但是这个公式最好不要出现在试卷上我们应该这样处理试卷上还是用原来的弦长公式写PQ\=-]菁+々)卒=,但是等号后面的I41+2—42结果是用计算的,这样两全其美了!()不等式的选取C解几大题难逃最值问题、求参数范围问题,而这两种问题可归结为不等式问题而不等式问题又常常归结为二元均值不等式问题二元均值不等式是简单而复杂的,简单在于小巧易记,复杂在于形式太多比如常见的就有以下几种a2+b22ab.〈(区也门、(幺吆了.以上这些不等2222式形式相似,易记混,难用对S=hBD\\AC\=24^+12女左32+22很多同学好不容易算到了四边形的面积这一步:A3CO却被表达式的繁杂而吓倒,只好望而却步,其实如果能够正确地全面地理解二元均值不等式的话,接下来的求最小值问题是非常容易的这里地有个锦囊要送给大家V2211——a b记忆法平方平均>代数平均>几何平均>调和平均特点平方和和积倒数和其实,这个不等式相信很多同学都见过,但是很少能够真正学会怎样运用其实要灵活运用只要明白两点就行一是我们总是希望把不等式向常数发展;二是清晰了解四个平尸观察,•忸24+12S=,可以发现,如果如果能把和3^+23/+22%2+3均数的特点即平方和、和、积、倒数和有这两点做起来就太容易了!加“和”起来,也可以使方程变为常数,而当前和左处于2^+3322+222+3相“乘”的状态,因此同样采用第二和第三部分,也就是巴史茄,即〈”,2J22因此,有即“上乎+呼之产人之呼二电24+121111〃2523/+22/+33+2+2/+35/+52222^分类讨论中的特殊情况d我们从标准答案当的斜率%=或斜率不存在时,易得,四边形ii0A3CD96的面积综上,四边形的面积的最小值为一.可以看出,对于分类讨S=
4.ABC25论中的边缘情况不需要做太详细的分析,只需简单地表示一下,写出结果即可标准答案中有两个字特别显眼,就是“易得”,而同学们自己去亲自具体计算的时候即不是像答案中“易得”来得那么容易,两个边缘情况“左二或斜率不存在”考虑0起来还挺吃力的但正如刚才分析所得“边缘情况不需要做太详细的分析,只需简单地表示一下,写出结果即可”因此,我们怎么做出结果,批卷老师是看不到的,这个时候“不管黑猫白猫,抓到老鼠就是好猫”在此针对这道题结出一个处理的技巧当人时,虽然直线斜率不存在,但是和的弦长是有意义的,也就=0AC8AC是面积有意义,即我们可以把代入的表达式中,也就是可以直接得到s=s=z=o s邛F-.\\\AC\^—BD—=在1=41111左23/+222+323以上是半年多来在解几教学中,我对于解几大题计算部分的几个小小心得,跟大家分享,不当之处忘指正!。