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【高考强基计划】2023年高考数学强基计划疯狂特训16(满分分,测试时间:分钟)10060
一、选择题(每题分)
101.方程%+y+z=12中,满足%之一2,y-3,z之一4的整数解的组数为.()A.127B.128C.253D.
2562.设圆内接四边形的四边长顺次为1,2,3,4,则这个圆的半径是.()A BC D.四个半径为的球两两层叠(每一个球与其他三个球相切),并内切于一个正四面体中,则这3■241•18•6•24A.21+V6B.6C.21+V3D.2+
4.1+tanl°l+tan2°-1+tan44°l+tan45°=A.
2.B.1024C.D个四面体的边长为.()
2222235.函数/(%)=x2+aln(l+%)有两个极值点且%1盯,则下列说法中正确的是.()11A.0d—B・a5C./(%2)最小值存在,是上警D.7(%2)最小值不存在4I/16若0,且“(2十丫2+«一・十’则下列说法中正确的是.()V-------------若则若则九A.0VQV2,Hma=2B.2,lima=2n Q71T871T8a对于任意数列极限不存在若贝」时=等C.a W2,D.0V aV2,12cos2
二、解答题(每小题分)
20.证明对于所有的正整数九之存在一个集合满足如下条件:()由都小于几-的几个74,S,1S215-2V3正整数组成;对于的任意两个不同的非空子集集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和.2S4B,48,已知椭圆的两个焦点为尸且椭圆与直线相切.80—1,0,21,0,y=求椭圆的方程;12过作两条互相垂直的直线,Z,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值2与最小值.答案解注意到%+而这个方程的解的组数为务=LC3+y+4+z+5=24,C
253.解设四边形中,二.由余弦定理有
2.04BCD=1,|BC|=2,|CD|=3,|DZ|412+22—2・1・28sB=32+42+2♦3・4cosF,解得cosB=—I,sinB=竽,故_AC_J12+22-2-1-2COSB一九迎一22_Jl4-24-2-
1.2-|_V2310T~7~—2sin8-2sinB244解只需注意到,四个球心构成边长为的正四面体,其面到外四面体对应面的距离为
3.A
21.注意到边长为的正四面体的内切球半径是丁=雪心故连兀Q a=2内正四面体球心到面的距离即内切球半径为普.2=4,外正四面体的内切球半径为1+g从而边长为遍个=21+21+V
6.1266v tan45°=tanl°+44°tanl°4-tan44°解
4.D1+tanl°l+tan44°=1+tan44°+tanl°+tan44°tanl°,1—tanl°tan44°・・・1+tanl°l+tan44°=1+1—tanl°tan44°+tan44°tanl°=2,同理,得1+tan2°l+tan430=2,…,1+tan22°l+tan23°=2,・・・原式=222x1+tan45°=
223.;;2+【解析】解一方面,,忘=%一,令
5.ABD fx=2x+10%=2/+2%+其对称轴为%=则有二得a,-9,ov]一—210Q52另一方面,/次=据+人+出—会,得上誓,alnl+%2=%]—22%21+%2%2f%2故/的最小值不存在,但可以无限趋近.X%24【解析】解一方面,注意到碎=册+则或时匀有单调性,从而数列
6.ABD+i2,022{ajtQ Q有极限.令几趋向无穷,则/=%+解得极限是2,
2.另一方面,若0VQV2,利用三角换元,设册=2cos九九£N+,则=2cos8+2=22cos2”—1+2=n4cos29,4cos2%+i八Q Qarccos^arccos-^工=COS7^,e=-^r=—从而册=2cosr^zri2n-12n即cos8+i几一12几一1n.解当几时,取则满足条件.7=45={356,7},S当九25时,,令5={3,23,24,・・・,2-2,2九一1—3,2九一1—2,2九一1—1},下面证明这样的满足条件.S事实上,设是的两个不同的非空子集,令表示的所有元素之和,要证明的目标是48S/X X/4fB,不妨设4CB=.注意到对于任意的血eN*,均有1+2+22+…+2加一]=2加一lv27n.所以,当九T—3,b=2n-1-2,c二2九一1—1都不属于4U B时,均有Q=2进一步地,因为3+23+24+…+2n-2=2nt一5,所以当b,c中恰有一个属于A UB时,比如aw4Q,将有此时类似地讨论中有两个或三个属于/4/8,/4a,b,c时,均可得到//H⑻A U8f.综上所述,当九之时,满足条件的都存在.4S解设椭圆的方程为捻+,=因为它与直线只有一个公共点,
8.1lab
0.y=%-8+乃=♦1小b2只有一个解,整理得小+人2%2一20小无+3十一2人2=0,所以方程组y=%—V3所以/=―2V3a22—4a2+b23a2—a2b2=0,得矛+炉=,又椭圆的焦点为尸所以小一炉=3Fi-1,0,21,0,
1.2联立上式解得小=2,b2=l,所以椭圆的方程为色+y2=L⑵若斜率不存在(或为),则$四边形仆=%侬=竺*=PQ2-若斜率存在,设为()则斜率为一]所以直线的方程为丫=PQ kkHO,MN PQk%+k.K%2_1设PQ与椭圆交点的坐标为P(%i,yi),((%2而,联立方程2+y=Ly=kx+kf-4k22k2-2化简得(2忆2+l)%2+4k2x+2k2-2=0,则%1+x=22,%1%2=公+212k+l/+1所以yl+IT必+212同理可得|MN|=272^4,2+k^\PQ\-\MN\_()_4/+2/+1政3四边形.QN--2--%+/222办户+―252/+1k211(A-----5-----)=4不--------------------------)・冬10/+424/++1k2因为4必+^+10214与2・强+10=18(当且仅当S=1时取等号),所以加+3+10G(°,5,%-+10)€年,2).k乙/综上所述,四边形面积的最小值为竽,最大值为PMQN
2.k24+2-142-14-。