泛函分析答案借鉴

泛函分析答案完整版［借鉴］例题从易到难，循序渐进，详细讲述例题的解法，并对解题方法进行归纳和总结，可以帮助学习该课程的学生克服由于不适应泛函分析中全新的研究对象和处理问题的方法所产生的困惑，同时也为任课教师提供一些便利条件

1.1叙述Bairc纲定理.2证明实数轴R可分驿为第一纲集和零测集的不交并.证明.⑵注意类Cantor集为疏集即可.口给定a eC°

[01].证明存在；r eC°[0,l]使得/£=J/sinT3ds-a⑴

2.t t

3.设A CC°[a.b]有界.V/€°[亿可.令Fx=//⑴出€[a.6].证明13=｛F:feA在f f4中列紧.a下的完卷化空间为L2［a,b］.

5.设p》l,a€今nT:少T牝丁=T—Tx=•…n证明T为有界线性算子并求||T||.oo

6.设｛叫｝为Banach空间X中的序列.若任给/e X,£|/*,|V+8,证明存在M0,使得n=lOC£1/%,|w，||/||n=l

7.设1W〃W+8,讨论并证明”的可分性.

8.设X.Y为Banach空间，T:X TY为闭线性算子.1证明NT=｛xeX:Tx=0｝为X中闭子空间.⑵令亍氏=X/NTtY.fx+NT=Tx也为闭线性算子.⑶证明T的像空间AT为V的闭子空间=3C O.^t.dx,NT W C||||Z工£X.证明.⑴在X xY上赋予范数||肛刈=\\x\\+|M，易见X xV完备.任取｛1“｝窘C NT且Zn TN0W X,于是\\x,Tx-xTx\\=\\x-x\\T0u n mi m n m因此｛x,T.r｝为GT中Cauchy列，故存在x WX.s.t.x,Tr T.r,T.r.于是M Mn u｛Tx=lim Tx=0n=T;r=0,fd-JQ€NT0x=lirn x=an⑵简记NT=任取{x+Af,Tx}Xi CGf且x+M,Txt X+加,于是n n n nQTx,-and inf||x„—-n/||-0r或写为Tm.=03{〃，“}C八/.+rn-//and上〃+z〃〃-XQu0由T为闭算子可知g=Tx,故fx+M=T.r=g,即其为闭算子.⑶显然/T=IiT且dx,M=\\x+,MHIn00=|,N+M||，故仅需证明Zf为闭子空间=3C0,s.t.||x+M|WC•||fx+iU||.Vr+M€X/M首先由M为闭集可得X/M为Banach空间.由闭图像定理T有界.=设{九%+M}C7f且Tx+A/=Tx T如6K我们有n nIIx„+M-x+A/||《C J|fx-Nm+A/||=C.||fx-T||T0mn nm因此{%»+A，}为X/M中Cauchy列=+hi—r+M,故nUu=liin Tx=lim fr+A/=fX{+A/e R亍nnnn今由题设及y完备可知Rf完备.由于X/A/T A亍为连续同构.因此由开映射定理可知下有有界逆算子，即存在C0,s£|hr+M||wc•忙工+呵□。