还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
二项式定理的十一种考题解法二项式定理
1.根本概念
2.
①二项式展开式右边的多项式叫做
①+与的二项展开式
②二项式系数:展开式中各项的系数;C r=0,1,2,•••,«.
③项数共项,是关于与的齐次多项式r+1b
④通项展开式中的第项叫做二项式展开式的通项用表示n r r nrr+1C a-b=C a-bn n注意关键点
3.
①项数展开式中总共有项5+1
②顺序注意正确选择,匕,其顺序不能更改“+》与是不同的S+”
③指数的指数从〃逐项减到,是降嘉排列匕的指数从逐项减到〃,是升得排00列各项的次数和等于〃.
④系数注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是.项的系,CCC…C数是与的系数包括二项式系数〕a b常用的结论
4.令;ra=l,b=x,1+xy=CH+C\x+cy+••■+C x++G%”KGN*令=「%=11=—x,c_c%+c*2_..+CK++—IC H5WN*.性质5
①二项式系数的对称性与首末两端“对距离〃的两个二项式系数相等,即「•••「0—k_一%、y-%〜
②二项式系数和令那么二项式系数的和为a=Z=l,;;〃,C+c+c+-+G++C=2变形式a+q+…+q+…+c-
③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和在二项式定理中,令°=,那么()〃()C+c-c++—i c;=i—i=o,从而得到;・・+..=c+c+♦+cr+••♦=”
④奇数项的系数和与偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项如果二项式的募指数〃是偶数时,那么中间一项的二项式系数音取得最大值如果二项式的赛指数〃是奇数时,那么中间两项的二项式系/-1n+\数同时取得最大值,c7C7
⑥系数的最大项求展开式中最大的项,一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为设第项系数最大,应有人可,从而解出来44,…r+1r[4+3+2二项式定理的十一种考题的解法
6.题型一:二项式定理的逆用;例;;・C+C♦6+C62++C♦6I=.解与的有一些差距,();I+6=C+C.6+C.62+C,63++C,6练〃-七=.;;C+3C+9C++3解设工=+第+;+匕;,那么39+3”-3S=C;3+C^32+C^33++C;3fl=C+C;3+C;3+C33++C;3〃—1=(1+3)〃—1/I J〃一()1+3”—141c题型二利用通项公式求%”的系数;例在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数4+V345解由条件知,即,解得〃=-舍去或八,由;2C2=45Q=45,.\n-n-90=09=10210-r21f_7r严由题意-丁+「解得—,,yGX3,那么含有」的项是第项及+咪%系数为71=3=210%3,210练求,—展开式中的系数?J-9f2x解:,令那么;29r r;182rrr;r183rT=C x---=C x---x-=C-i x-18—3/=9,r=3r+i2x22故%的系数为弓;9C—g3=—o题型三利用通项公式求常数项;例求二项式/+十严的展开式中的常数项?解]=.,严号唉,令=,得厂,所以、=《会;=C,J20-=808=27x222ZDO练求二项式工的展开式中的常数项?2%-62x『,,;=C2X6T—1J-=―1C26T346g解6三,令,得,所以62/6-2-=0r=3;37=-l C=-20练假设,+与的二项展开式中第项为常数项,那么〃=—.5;7=C/114=C%212解%,令=,得〃〃2-12=
6.题型四利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例求二项式-五产展开式中的有理项?4一1_27r27—r解产,令工厂工得厂或厂==G%2=_iyc66£,09=39,Tl-r_A所以当尸=时,;/;36—,7=—13=-84/27T当时,,几=_]=一/r=96_3c3题型五奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;假设(后-会)”展开式中偶数项系数和为,求例:-256()〃77—1设展开式中各项系数依次设为凡,解:,%,V4,••令%=,那么有弓°,
①,令%=],那么有/一+々_々-14++…a623+=2,将
①—
②得〃,.•・fl l26ZJ+a3+a5+...=—2a]+a3+a5+--=-2~有题意得,-2〃T—2567,5=9练:假设的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项(1024+丁+…=尸+…,解得〃・;;;;〃解:.C+C+C…C+C++C=2T,.♦.2T=1024=116154-=462-x-・所以中间两个项分别为〃=讨(:匕M=462X i5〃6,=7n=G题型六最大系数,最大项;例(”针,假设展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开567式中二项式系数最大项的系数是多少?解解出〃或〃,当〃时,展开式中二项式;・〃〃C+C=2C,..2-21+98=0,=7=14=7系数最大的项是看和广式的系数昔,(的系数、(y»7o,当〃时,展T4丁,.久的系数=・()77C-2=34324开式中二项式系数最大的项是,2练在匕产的展开式中,二项式系数最大的项是多少5+解二项式的得指数是偶数,那么中间一项的二项式系数最大,即,也就是第〃〃2+i项练在注-”的展开式中,只有第项的二项式最大,那么展开式中的常数项是多52y/x少?-+1=5等于解只有第项的二项式最大,那么,即〃所以展开式中常数项为第七项52=8,例写出在的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?m-4=7解因为二项式的得指数是奇数,所以中间两项第项的二项式系数相等,且同745时取得最大值,从而有的系数最小系数最大,n=-Cd”n例假设展开式前三项的二项式系数和等于,求己+〃的展开式中系数最大的792%项?解由解出〃=假设加项最大,;,2,212C+C+C=79,12,v1+2%=-1+4%f AA fcr4rCr~x4r-1•川=卜,化简得到一,又—,展开・・4—
9.
4410.4K12,.-.r=10匕一用14+124+214式中系数最大的项为有;1211010107=i C°4x=16896x11练在严的展开式中系数最大的项是多少?1+2%解假设乙项最大,忖=『;?;”一解得・.14+4[211f,化简得到〈小,又;Id+RAf[c2^C-2-,lr+l210-r$
37.30,展开式中系数最大的项为—10,.r=7=427%7=15360%
7.题型七含有三项变两项;例求当的展开式中%的一次项的系数?d+3x+25解法
①幻§,当且仅当厂时的,,;+3%+25=[+2+3,]=C f+25T3%y=1展开式中才有的一次项,此时;犬+工,所以%得一次项为;;X=7=243C C2,3%它的系数为4C^23=240o解法
②255554545^+3x+2=x+1x+2=Cf^+C+•••+C|Cf^+C2+•••+Cf2故展开式中含%的项为%,故展开式中%的系数为;;C xC25+C24=
24240.练求式子国+的常数项?5—23W解卜|+吉-洞一,设第项为常数项,那么23=$6r+1小二晨—小尸与禺国,得〃=,;31=_166g6-2r=3,/.7=-l C^=-
20.+1题型八两个二项式相乘;例求犬展开式中%的系数.1+231742练:求
(五)(1展开式中的常数项.1+61+1°yfx解月的展开式的通项是中.幻〃,=十匕/,・1+2322解+私[展开式的通项为m;一n=《〃,玛・工4/72-—372弋161+
713./X练已知〃的展开式中没有常数项,〃且贝心=.〃1+x+V x+4N*28,X E解〃展开式的通项为炉厂通项分别与前面的三项相乘可得・・X+4C=c/4,题型九奇数项的系数和与偶数项的系数和;例在行严的二项展开式中,含弼奇次幕的项之和为当五时,X-6S,A S=解:设(工一血了006+々22006-------------------------
①^43+a x+«x2+2006题型十赋值法;例设二项式五+〃的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为假33p s,x设,那么〃等于多少?p+s=272解:彳良设有卜3\fx T—=g+qx+gV+…+P=%+%+…+4,S—C4—C=299x,令得,又,即解得〃〃〃〃〃x=1P=4p+S=2724+2=272=2+172—16=0或舍去〃〃・〃2=162=-17….=
4.练假设二]的展开式中各项系数之和为,那么展开式的常数项为多少?36-641解令,那么的展开式中各项系数之和为,所以,那么、〃x=l3c--=2=64=6yx展开式的常数项为」;C3«
3.-3=—
540.;就例若则+与T--卜的值092320091-2X=a++a x+a^x++6Z xx eR,22009:为令可得/+幺++铝,幺+为++=-/・・・・・・x=L4+=0,2“22^22y2u练:若贝5432[1x-25=a5x+6Z4X+a3x+a2x+a]x+4,Jq+%+%+%+%=解:令得令得/+%+一〃x=0o=—32,x=14+%+“4+5=I题型十一整除性;例证明能被整除证:田一〃一向一〃一〃〃〃2+232+2—8-9£N*643-8/1-9=989=8+189由于各项均能被整除.一能被整除・・〃〃6432+280—9EN*64。