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一、常用逻辑用语命题及其关系
1.原命题若贝」外则1p,I逆命题若q,贝否命题若「小则「g.逆否命题若”,则两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.2充分条件与必要条件
2.⑴若〃=,则〃是的充分条件,q是p的必要条件.99⑵若则〃是的充要条件.q若p0q,q=^p,则p是q的充分不必要条件.3若p士q,q=p,则是的必要不充分条件.4p9⑸若p#q,qfp,则是的既不充分也不必要条件.p q简单的逻辑联结词
3.⑴命题〃八^的真假“全真则真”,“一假则假”.⑵命题的真假“一真则真”,“全假则假”.pVq命题「的真假p与』的真假性相反.3p全称命题与特称命题的否定
4.全称命题的否定1pXxRM,〃%.三%「-p o£go.特称命题的否定2pM,3xo pxo.\!xRM,-p Ffx.二圆锥曲线与方程椭圆
1.⑴椭圆的定义平面内与两个定点仍的距离的也等于常数大于平声的点的轨迹叫做椭圆.F1,2|icB-n=O,|xi=O,刀—yi+zi=O,CEn=O9设平面的法向量为〃=»,E3C yi,zi,所以可取〃=0,—1,—
1.设平面的法向量为机丁则ECG=X2,2,Z2,所以可取机=』,l
0.[2Z2=0,午日/即\———1X于正〈n,机〉
一、网加一一・cos X2—V2+z22=0,J3所以,二面角的正弦值为为8-EC-G72设椭圆了十方〃的左焦点为上顶点为用已知椭圆的短轴长为
6.=120R离心率为4,求椭圆的方程;1设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线尸与轴的交点,2P M8x点在轴的负半轴上,若[川=|为原点,且求直线的斜率.N y0b|0OPJ_MM[解]设椭圆的半焦距为依题意,、=害,又层=及+可得a=\[5b=2,1c,26=4,c2,9c=l.92所以,椭圆的方程为会+=
1.wZ~I由题意,设尸设直线的斜率2XP,”30,P3为%/W0,y=kx-\-2,=1,20k可得XP=—4+58—103代入y=kx+2得yp=4+53又则直线的方程为=丘+与椭圆方程联立理得(廿+履30,2,PB2,4+5320=0,4—5^2vp进而直线的斜率为之=》.°p2在y=kx-\~2中,令得y=0,XM=T.k由题意得所以直线的斜率为一,N0,-1,MN4—A74由尸得化简得标=苛,从而仁±平._LMN,3=-1,已亡,上方,2\[^d所以,直线PB的斜率为u—或一u一.a nn,,AI2^30椭圆的标准方程272焦点在轴上〉X*+■=140,22焦点在轴上,乂〉y+$=
10.椭圆的几何性质32
①范围对于椭圆$+齐—aWxWa,—bWyWb.
②对称性椭圆盘+方或中〃关于理轴及原点对称.=11+=10,y92
③顶点椭圆了十方的顶点坐标为一,人,—b,b.=140,20,310,0,
④离心率离心率的范围是』.e=*e£0
⑤b,的关系a2=b2-\-c
2.a,c双曲线
2.双曲线的定义平面内与两个定点F的距离的差的绝对值等于常数小于1B,尸的点的轨迹,叫做双曲线.1BI双曲线的标准方程22/v焦点在%轴上方一齐二焦点在轴上.一$=la0,10,y la0,
10.双曲线的几何性质37
①范围对于双曲线,一$=10,Z0,或,yW—x£R,
②对称性双曲线,一方或力一方=1=la0,Z0关于九轴,轴及原点对称.y2
③顶点双曲线/一〉,的顶点坐标为一〃,双曲线3=1-040,A2Q,0,7力一方=〃〉的顶点坐标为—a,a,10,040,A20,99
④渐近线双曲线”一,
④的渐近线方程为,双曲嵯一方5=10y=±»〃的渐近线方程为土飙=10,0y=
⑤离心率e=《,双曲线离心率的取值范围是e£l,+8,
⑥b,的关系c1=a2--irb
1.a,c抛物线
3.抛物线的定义1平面内与一个定点厂和一条定直线/不经过点距离相笠的点的轨迹叫做抛物F线.抛物线的标准方程2焦点在%轴上〃〃y2=±2%0,焦点在轴上一〃,〃y=±
20.抛物线的几何性质3
①范围对于抛物线22pyp0,x=x£R,y£[0,+°Q
②对称性抛物线丁=±关于二轴对称,2PMp0,抛物线2±2pyp0,关于轴对称.x=y
③顶点抛物线y2=±2px和的顶点坐标为
①①./=±240
④离心率抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的M离心率,由抛物线的定义知e=l.
三、空间向量与立体几何空间向量及其运算
1.共线向量定理a〃b-bbW.1三点共线台办=九次加2P,A,3+y q+y=l.共面向量定理与b共面3p a,4B,四点共面赤=%次+加求4P,A,C0y+z%+y+z=l.空间向量基本定理5如果三个向量b,不共面,那么对空间任一向量存在有序实数组}使a,p,y,z,得力把{〃,b,}叫做空间的一个基底.+zc,c空间向量运算的坐标表示6设b=b\,则a=Ql,42,43,Z2,Z3,
①〃±力=』Q1±Z1,Q2±2,43±3,
②入a—痴,*ai,筋3,
③・b=仍匕,a1+22+43b3//ba=Xb、,@Q〃1=AZ71〃2=462,〃3=%63b妗ab—必a3b3=
⑤a_L・0a i+〃22+0,
⑥⑷次,4+4+C.ab岳+/公〃16+〃23C°S a⑷血、]港+岛/屏+历+房a+
⑧若y\丁则魂屈|=、AX1,,Z1,8X2,2,Z2,=X2—XI,Y2—yi,Z2—Zl,I/』、・X2-X2+2—y12+Z2—Z12立体几何中的向量方法
2.异面直线所成的角1两条异面直线所成的角为仇两条异面直线的方向向量分别为小小则COS〈a,b媪=|cos1=
1.直线与平面所成的角2直线与平面所成的角为仇直线的方向向量为,平面的法向量为小则sin-|cos㈤加一瓯二面角3二面角为仇为两平面的法向量,则尸胃猾「711,%2|cos8|=|cos W1,W2一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性.
1.J[提示]一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题,因此具有相同的真假性..使»成立的充分不必要条件是泌一
21.X[提示〉一上〃〉/.J1的否定为的否定为「
3.“pA/pV/-pA q”.J[提示]“且”的否定为“或“,或”的否定为“且”.命题则尤则-Ip为:]使石
4.pX/x£O,+0°,f+2+10,3x0^°°0,+2xo+lWO.X[提示应为三犹£使0,+°°,X8+2XO+1WO.命题“若是奇函数,则.穴一%是奇函数”的否命题是“若是偶函数,则
5.«x./U大一%是偶函数”.X[提示]命题“若八幻是奇函数,则八一是奇函数”的否命题是“若不是X/U奇函数,则,八—不是奇函数”.X命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题.义
6.[提示]此命题是全称命题,但是是假命题.是的充分但不必要条件.
7.“x6”“Q1”J[提示]但〉=^x
6.x60x1,x1若命题为假,且「为假,则假.
8.pAq pq V[提示]由为真,为假知,为假.p p/\q7椭圆上的点到焦点的最大距离为〃+最小距离为
9.c,4—C.V[提示]椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值.已知尸尸平面内到正两点的距离之和等于的点的轨迹是
10.1—4,0,24,0,28椭圆.X[提示]]四五故点的轨迹是线段F1F
2.2|=8,椭圆的焦点坐标为
11.2+39=120,±^
2.X92[提示椭圆标准方程为放+于=c2=a1—b2=2,故椭圆的焦点坐标为±血,J1,
0.2已知椭圆的标准方程为去心焦距为则实数机的值为
12.+4=10,6,
4.IIIX[提示]当焦点在轴上时,由一租得机当焦点在轴上时,2x252=9=4,y m—得m=y/
34.25=9已知乃
(一)正()动点尸满足|尸尸一|尸刑=则点尸的轨
13.5,0,25,0,1|10,迹是双曲线的右支.()X[提示]点P的轨迹是一条射线.2x y2是方程表示双曲线的充要条件.攵十K—
514.“0WN3”7+/W=11()X[提示]当时,方程表示双曲线,若方程k—50WZ37TT+/£=17TT+±=1K-T1k-T1K~5表示双曲线,则有(攵+)(左一)即一故原命题错误.150,lv25,双曲线产=的实轴长为()
15.2f—
82.X22[提示]双曲线标准方程为手一卷=因此双曲线的实轴长为
4.1,4o等轴双曲线的渐近线相同.()
16.J[提示]等轴双曲线的渐近线方程都是也.y=到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.()
17.X[提示]当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线.抛物线丁=的焦点坐标是(;).()
18.2/0,X[提示]抛物线标准方程为炉=,故焦点坐标为(上).5o,抛物线丁=〃%)中过焦点的最短弦长为〃()
19.
202.V[提示]抛物线中通径是最短的弦长.抛物线尸加(〃)的准线方程为则实数的值是
20.W0y=2,()X[提示]抛物线标准方程为/=%,则一解得=—/./=2,若空间任一点和不共线的三点B,满足苏=源十|初—历,
21.0A,C则点与B,共面.()P A,C J_13[提示]]+—故四点共面.1=1,a,力为空间向量,则〈〃,b)(b,a}.()
22.cos=cos V[提示]〈b〉=〈方,〉,则〈b〉〈方,a.a,cos a,=cos两个平面垂直,则这两个平面的法向量也垂直.
23.J[提示由平面法向量的定义可知.J直线与平面垂直,则直线的方向向量与平面的法向量垂直.
24.X[提示]直线的方向向量与平面的法向量平行.若向量是三个不共面的向量,且满足则左左
25.C1,62,63%161+%202+%363=0,1=2=%3=
0.V[提示]假设依则一紧—紧则共面.W0,ei=23,ei,C2,C3若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为,则直线与平面所成的
26.150角为.30X[提示]直线与平面所成的角为.60若直线与平面所成的角为,则直线在平面内.
27.0X[提示]直线与平面也可能平行.两个平面的法向量所成的角为则两个平面所成的二面角也是.
28.120°,120X[提示]二面角的度数是或12060°.两条异面直线所成的角为则两条直线的方向向量所成的角可能是
29.30°,150°.V[提示]根据向量所成角的定义知正确.若二面角是,则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方
30.30向向量所成的角也是30°.X[提示]在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是或30150°.设仅为两个平面,则〃的充要条件是
1.a,a4内有无数条直线与夕平行A.a内有两条相交直线与万平行B.a£平行于同一条直线C.a,a,垂直于同一平面D.4[对于内有无数条直线与夕平行,当这无数条直线互相平行时,与可B A,a a4能相交,所以不正确;对于根据两平面平行的判定定理与性质知,正确;对于A B,B平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以不正确;对于垂直C,C D,于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以不正确.综上可知选D B.]已知椭圆了+台>>的离心率为,则
2.=1Q2a2=2b2A.B.32=4〃a=2b3a=4bC.D.c
1、[因为椭圆的离心率,所以〃又=,,所以〃・a乙B6=-=52=
4.〃22+32=4]已知椭圆点十七=的左焦点为凡点尸在椭圆上且在轴的上方.若线段y
33.1x厂的中点在以原点为圆心,尸|为半径的圆上,则直线尸的斜率是.[如图,P|0b左焦点尸一右焦点2,0,b2,
0.线段的中点加在以为圆心,为半径的圆上,因此加=Pb00,
0202.在△尸〃尸中,OM*PF,所以PF=
4.根据椭圆的定义,得叶尸尸所以PF=
2.P/=6,又因为FF=4,所以在中,RtZkA/C“s,MF一加产tanZPFF--N2f MFMF即直线尸的斜率是正.]P
3.已知抛物线的焦点为斜率为不的直线/与的交点为B,与轴4C V=3x RA,X的交点为P.若用求/的方程;1IAFI+I8=4,若防,求依切.2#=3[解]设直线]:刈.Axi,yi,BX2,J3\3由题设得噂,故1Oj,HF|+|8F|=XI+X2+].由题设可得Xl+X2=g、V=3x可得2则9f+12r—1X+4/=0,xi+尸一12152从而一一一,付/――不912L1g—X2=——37所以/的方程为y=2x~^⑵由亦还可得口.=3yi=-3y=^x+t,由可得产一j22y+2/=
0.23xj=所以从而-丁故券=-yi+y2=
2.3y2+2=2,1,yi=
3.代入C的方程得xi—3,X2=Q.故切=亘.|
4.如图,长方体的底面是正方形,点在棱上,BE±ECi.5A8CQ-A131C1Q1A8CO EA4i证明平面;15£J_£8若求二面角B-EC-Ci的正弦值.2AE=AIE9[解]⑴证明:由已知得,平面平面故ABBA,BEU51C1JL3E.又BE-LEC\,B\C\EC\=C\,Cl所以平面EB\C\.由知由题设知区△所以,故21NBEBi=90°.RtZXABE0AiBE,NAM=45AE=A5,AA\=2AB.以为坐标原点,方的方向为轴正方向,|方入|为单位长度,建立如图所示的x空间直角坐标系D-xyz,则EQ,无C0,1,0,51,1,0,Ci0,1,2,0,1,=1,0,0,CE=1,,-1/CCi=0,0,
2.。