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第三章矩阵特征值与特征向量的计算-----------------------------------------------------学习小结
一、本章学习体会本章我们学习了矩阵特征值与特征向量的计算方法即幕法、反幕法、Jacobi方法和QR方法下边介绍一下四种方法各自的特点和适用范围幕法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量;反幕法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量;Jacobi法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法;QR法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值,尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值归结起来,这四种方法有一个共同的特点,即都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量还有利用用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量,其自带函数Eig即得到结果是虚数也可以算出,并且结果自动正交化
二、本章知识梳理在工程技术中,计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法本章将阐述幕法、反幕法、Jacobi方法、和QR方法,并且只限于讨论实矩阵的情况
3.1幕法和反幕法1暴法基法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量,其思想是迭代设nx〃实矩阵A具有n个线性无关的特征向量再居,%3,…Z,其相应的特征值4,%••儿满足如下不等式>4|同之|4|之…之同其中网=川3=1,2,...〃)现在要求出4和相应的特征向量任取一场维非零向量劭,从劭出发,按照如下的递推公式(Ilk~k—T k=因〃维向量组匹,声,…Z线性无关,故对于向量劭,必存在唯一的不全为零的数组名,%,…%,使得〃o=%玉+a x+...a x22n na、+二芯/+…+内+%x+…+%2=/
02、4,Xnu=Aug==…=To=a/%]+a Akx+...+a Ak x=k22n n设0产0当k充分大时,有以=老必再迭代公式为\=/A%)在实际计算中,为了避免迭代向量以的模过大(当图>1或过小(当图<)1,通常每迭代一次都对以进行规范化,使其范数等于
1.
①风范数Ta x}}limA=k—g令瓦二以必那么由于〃〃=,并根据式可得Ay_k1结合在一起,得到第一种累法迭代格式:2T%再?=42任取非零向量G Rnk-\~yluk-\uk-\yk-iuk~4y k-iP~yl-\ukk—1,2,…当区-瓦」/|阿飞允许误差时,迭代终止,以当前的用作为4的近似值,以力」作为Z的属于4的特征向量
②即范数令及二苦二这里假设即t的第r个分量为模最大的分量,当女足够大之后,r保持定值;/是〃维基基本单位向量,它的第r个分量为1,其余分量为零由于以=加小,可得iim4==4把式子结合起来,得到第二种攵-8/X]幕法迭代格式,取非零向量.=附,…㈤°-1-1K|=maxK%一1=以_,尸|以=4加=—.,为,,■=sgn/LM左=1,2,..终止迭代的控制也用|瓦-瓦|/|瓦区£,当前的片和力_1即分别作为4和与其相应的特征向量在迭代格式中,=sgn/=e;k,Mi%两种迭代格式相比较前一种格式编制程序容易,迭代一次所需时间较短;第二种格式每迭代一次都要判断Ui的第几个分量的模最大,因而所需要的时间较长,但是它在计算过程中舍入误差的影响比第一种格式小2反幕法目的计算A的按模最小的特征值与相应的特征向量设A的特征值|2||2|...|2„,||2„121特征向量M,司…,4对八用成基法计算厂的按模最大的特征值与相应的特征向量称为反幕法y=A uk-xk左二1,24a!则=陋L彘反幕法计算过程
1.使用max
2.使用范数Hz[任取初始向量即£火%-1=yluk-]uk-\,uk=yj Pk~yk-i uk左=1,2,・・・3Jacobi方法Jacobi方法的基本思想理论依据任一实对称矩阵正交相似于对角阵T=\P AP若令=区«2,…,X〃,A=dzag4,演…4令尸=42…匕,P.为初等阵;
3..P\P
2...=^EP PP AP『A BP APB BRXX构造一系列正交矩阵序列用多…,只,…,使得迭代公式-o=A T,左=1,2,3,…[im B=lim PT B_P=d iagA,A,•••,%〃k kk xk t2口女-8kT8Bk xdiagA,A^^]2B=PjP J-P^AP P-P_Pk kx2kxk令尸=PR…Pk则p的列为特征向量4QR方法QR方法是求一般矩阵的全部特征值和特征向量的一种迭代矩阵的QR分解正交三角分解即A=QRQ——正交矩阵R——上三角矩阵©Householder矩阵H=I-2VV\VTV=\HT=H,HHT=1H为对称正交矩阵©Householder矩阵的性质
③矩阵的QR分解QR分解的实现Q的计算Q=H\H2^Hn-\令Q=也/=1,2,・・・,〃-11=/r+[R的计算:R=4〃=H〃_2…H[A令4=/=必4/=1,2,・・・,〃一14+1QR分解的算法记4=4,4=[%・⑺]〃,储=/x〃■222以4*Cl\nG…••••••r-1Cr—\dr-\r r-1y一⑺Clr-\,nAr4一Q,.,「⑺厂+1,*⑺Clnn
三、本章思考题--4140-例A=-5130,p=
2.9,用原点移位法求矩-
102.8阵/的按模最大的特征值,要求误差不超过10工解取公°=1,1,17,按”+1=/—//进行计算--
6.9140-A-pI=-
510.10-10-
0.1x4=
3.1000568,
2.214326,-
0.9687661%=
3.1000568%⑸=
3.0999984,
2.2142846,-
0.9687501a=
3.09999845I%-%|=
0.000058410-42对于四种求特征值、特征向量的方法,都用到了迭代法,但是除了尝试的方法外,有没有其他的方法可以方便的判别各种方法的精确度和迭代次数??
四、本章测验题2-102,用反累法求矩阵/接近
2.93的特征值,0-1并求相应的特征向量,取x°=0,
047.解对4-
2.93/作三角分解得A-
2.931=-
0.93-
0.93-
0.93-
0.931/
0.931-
0.93-
0.93+1/
0.93按算法迭代3次,
3.0000954,与准确值3的误差小于KF<1,-
0.9992431,
0.99914787与准确值1,-1,1尸比较,残差0,
001.。