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巧用切线长定理解题林绍隆切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等明本文就切线长定理在计算和证中的应用,举几种常见的类型,以供参考
一、求角度例
1.如图1所示,CA和CB都是的切线,切点分别是A、B,如果的半径为28,且AB=6,求NACB的度数图1解连接0C交AB于点DVCA CB分别是的切线ACA=CB,0C平分NACB故OC_LAB由AB=6,可知BD=3在RtAOBD中,0B=273Zr.BD3V3士故sin/BOD==-■==——OB2V32所以NBOD=60°又因B是切点,故OB_LBC,所以NOCB=30°,则NACB=60°
二、求线段长例
2.如图2,在AABC中,ZABC=90°,0是AB上的一点,以0为圆心,0B为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,连接DB、DE、0C,若AD=2,AE=1求CD的长解VZABC=90°,OB是半径.CB切0于点B〈AC切0于点DACB=CD由AC切0于点D,可得AD2=AE^AB而AD=2,AE=1,故AB=4设CO=Q5=x,在Rt^ABC中,有(x+2)2=,+42,解得工二3即DC=3o
三、证线段相等例
3.如图3,在Rt^ABC中,ZACB=90°,以BC为直径的圆交AB于点D,过点D作O的切线EF交AC于点E求证AE=DE图3证明连接CD由BC是(DO的直径,可得NCDB=90°又因NACB=90°,故CE切0于点C因DE切O于点D,故CE=DE所以NEDC=NECD则NEDC+NADE=90°,ZECD+ZA=90°AZADE=ZAo所以DE=AE
四、证明线段成比例例
4.如图4,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,CDJ_AB于点D,从C、B两点分别作半圆0的切线,它们相交于点E,连接AE交CD于点P求证PDCE=ADAB证明显然NPDA=90°YEB为半圆0的切线,AB是半圆0的直径,,EB_LAB,即NEBA=90又因NPAD=NEAB,所以△APDs/\AEBAPD BE=AD AB由EC、EB都是半圆的切线,可知CE=BEAPD CE=AD ABo
五、证明线段平行例
5.如图5,P为外一点,PA、PB为0的切线,A和B是切点,BC是的直径求证AC〃OP图5证明连接AB,交OP于点D「PA、PB分别切于点A、B,APA=PB则有N1=N2,PD±AB,可知N3=90°由BC是的直径,知N4=90°,则N3=N4故AC〃OP[练习]如图6,在RtZXABC中,ZC=90°,BC=6,AC=3,过点B作以A为圆心、AC为半径的A的切线,切点为D,延长CA交A于点E,交切线BD的延长线于点F,连接DE1求证ED〃AB;2求线段EF的长及sin NED产答案1略22,。