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文本内容:
第课时集合的表示2学i习能在教材实例中了解集合的表示.(数学抽象)
1.目能通过具体的例子掌握集合的表示方法,(数学抽象、宜观想象)
2.标》基础认知自主学习《•.如何表示一个集合?有哪些方法
1.如何对集合进行分类?
21.集合的表示方法列举法描述法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法,叫描表示集合的方法,叫列举法.述法.形式A={ai,…,为}形式A={x\px}思考,列举法和描述法可表示满足什么条件的集合提示:
(1)如果集合中的元素个数有限且易于列举时,常常用列举法表示.⑵当集合中的元素较多或不方便用列举法表示时用描述法表示集合.
2.集合的分类按照集合中元素个数的多少,集合分为有限集、无限集和空集.类另U意义含有限个元素的集合.有限集无限集含无限个元素的集合.空集不含有任何元素的集合,记作
0.
1.辨析记忆(对的打“J”,错的打“X”)⑴方程V=9的解集可以用列举法表示,也可以用描述法表示.⑵不大于2020的自然数构成的集合是无限集.⑶集合力={削/|=0}是空集.提示1J.方程3=9的解集可以用列举法表示,也可以用描述法表示,即力={—3,3}={x\x=9}.⑵X.因为不大于2020的自然数依次为0,1,2,…,2020,共有2021个,所以构成的集合是有限集.3J.因为0的倒数不存在,任何非零实数的倒数都不是0,所以集合=是空集.
2.方程V=x的所有实数根组成的集合为A.0,1B.{0,1}C.{0,1}D.{/—x}【解析】选C.由丁=才得V—才=*入—1=0,解得才=1或才=0,故集合为{0,1}.
3.集合{x£N+|x—32}用列举法可表示为.【解析】解不等式x—32,得水
5.又x£N+,所以x可取1,2,3,
4.故该集合可表示为{1,2,3,
4.答案:{1,2,3,
44.教材例题改编方程V—3x+2=0的解的集合可用列举法表示为.答案{1,2}》能力形成合作探究《•类型一用列举法表示集合直观想象题组训练
1.方程组厂:11二的解集是k-y=9A.5,4B.5,-4C.{—5,4}D.{5,-4}【解析】选D.由x+y=l,3一y=9=x+y才一y,得x—y=
9.x+y+x—y—2x—10,解得才=
5.代入x+y=l,得y=-
4.所以方程组厂丁的解集为{5,-
4.[x-y=
92.“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,小女三日一归,问三女何时相会”.选自《孙子算经》,则三女前三次相会的天数用列举法表示为.【解析】三女相会的天数,即为5,4,3的公倍数,它们的最小公倍数为60,因此三女前三次相会的天数用列举法表示为{60,120,180}.答案{60,120,180}
3.用列举法表示下列集合.1中国古典长篇小说四大名著构成的集合.⑵不大于10的非负偶数组成的集合.⑶方程的实数解组成的集合.44一次函数y=x—2与y=—x的图象的交点组成的集合.【解析】1中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游记》,《水浒传》,《红楼梦》}.⑵因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.⑶方程f=x的实数解是x=0或x=l或x=-1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1,—
1.y=x—2,1x=l,⑷解方程组得即交点是1,-1,故两函数图象的交点组成的集合是{1,-1}.解题策略
5.列举法表示集合的步骤⑴用字母表示集合;⑵明确集合中的元素;⑶把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成=«•}”的形式.
6.用列举法表示集合的注意点⑴元素之间必须用”隔开;⑵集合中的元素必须是明确的;⑶不必考虑元素出现的先后顺序;⑷集合中的元素不能重复;⑸集合中的元素可以是任何事物.类型二用描述法表示集合数学抽象【典例】用描述法分别表示下列集合
①二次函数y=/图像上的点组成的集合;
②数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
③不等式x—73的解集.【思路导引】
①集合中的元素是点,集合代表元素符号用有序实数对X,力来表示,其特征是满足y=V;
②集合中的元素是点,而数轴上的点可以用实数表示,集合代表元素符号用x来表示,其特征是|x|6;
③集合中的元素是实数,集合代表元素符号用X来表示,其特征是“
10.【解析】
①二次函数上的点x,力的坐标满足y=x则二次函数y=V图像上的点组成的集合表示为{x,y|y=/;
②数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合即为绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x£R||x|6};
③不等式x—73的解是xV10,则不等式x—73的解集表示为{x|x10}.解题策略
1.用描述法表示集合的步骤⑴弄清元素所具有的形式;⑵写出其代表元素;3确定元素所具有的性质.
2.用描述法表示集合的注意点⑴集合元素的代表符号不能随便设,一般的数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示;⑵集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质;⑶若需要多层次描述属性,则可选用“且”与“或”连接;⑷若描述部分出现元素符号以外的参数,要对新参数说明其含义或指出其取值范围.D跟踪训练\已知集合{引6R}={x^Rlaf—4x+l=0,”£R},其中46为常数,则a+5=
911、9A.0或1B.-C.-D.-或]【解析】选D.因为集合{引b£R}为单元素集合,所以集合{X£R|2—4X+1=0,3£R}也只有一个元素b,所以方程af—4x+l=0只有一个解,
①当H=0时,方程只有一个解,即b=\,满足题意,此时a+b=0+;=;;
②当a/0时,则4—4:—4^—0,解得a—4,1即b=^,满足题意,方程只有一个解X=2乙19此时g+Z=4+-=-.乙乙19综上所述,a+b=-或
5.X乙类型三集合表示法的应用(数学抽象、逻辑推理)角度L…方程二.丕笠式问题【典例】若集合[={x|a/+ax—i=o}只有一个元素,则=()A.-4B.0C.4D.0或—4【思路导引】集合力是方程i=o的解组成的集合,故由集合中只有一个元素,可得该方程的根的个数,根据参数”是否为0进行分类讨论.【解析】选A.当a=0时,方程为一1=0,显然无解;当“W0时,由题意知方程有两个相等的实根.所以A=32—4X^X(—1)=32+45=0,解得a=-4或片0(舍).变式探究若集合/={x|af+ax+i=o,d£R}不含有任何元素,则实数d的取值范围是.【解析】当a=0时,原方程可化为1=0,显然方程无解,当aWO时,一元二次方程代+ax+l=0无实数解,则需A=3—4水0,即a(a—4)0,依题意,[a0,[aQ,得(或.[5―40〔女一4〉0,解得0〈水4,综上,得0W水
4.答案0WaV4角度2对参数分类讨论问题【典例】已知/={x|加+2才+1=0,d£R}.⑴若月中有且只有一个元素,求a的值的集合.⑵若/中至多有一个元素,求a的取值范围.【思路导引】首先明确/是方程的根构成的集合,分方程是一次方程与二次方程两种情况讨论.【解析】
(1)由题意知,力中有且只有一个元素,即对应方程寸+2入+1=0有且只有一根或有两个相等的实根.当=0时,对应方程为一次方程,止匕时符合题意;对应方程af+2x+l=0有两个相等实根,即△=4—4a=0,a=l时也符合题意.综上所述,a的取值集合为{0,1}.⑵由题意知,4中至多有一个元素,即对应方程d寸+2才+1=0无实根或只有一根,由1知,当a=0或1时,力中有且只有一个元素,符合题意;当A=4-4a0,即al时,对应方程ax+2JT+1=0无实根,即力中无元素,符合题意.综上所述,a的取值范围为仿加=0或21}.解题策略
1.识别集合含义的两个步骤1看代表元素例如{x|Ax}表示数集,{x,|y=〃x}表示点集.⑵看条件即看代表元素满足什么条件公共特性.
2.一般地,集合{xx=0}表示方程x=0的解集;{xx0表示不等式Ax0的解集;{x|y=fx}表示y=1x中x的取值的集合;{y|y=Fx}表示y=fx中y的取值的集合.D题组训练\已知集合A—{x|mx—3x+2=0}.⑴若%是单元素集,求力的值及集合4⑵求集合P={引勿使得A至少含有一个元素}.2[2【解析】⑴当勿=0时,方程-3+2=0,有一个解,符合题意,故/=§;9当W0时,力只有一个元素,则二次方程版―3x+2=0只有一个根,所以△=0,得/〃=1,O9解得加W五,o9所以集合P为,O24至少含有一个元素,由⑴知,%=0时符合题意,当W0时,贝U△,即9—8/G0,》学情诊断课堂测评《•
1.用列举法表示集合{x|x—23,不£的为()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}【解析】选B.因为才一23,所以x〈5,又x£N*,所以x=l,2,3,
4.
2.下列元素构成的集合可以用列举法表示的是()A.小于2的实数B.不小于2的实数C.大于2的整数D.小于2的自然数【解析】选D.小于2的实数有无数个,不小于2即大于或等于2的实数有无数个,大于2的整数有无数个,小于2的自然数为0,
1.
3.已知集合[={1,2,3,4,5},夕={(筋y)x-y^A},则夕中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10【解析】选D.由列举法得出集合8={2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4},共含10个元素.
4.方程组厂一I的解的集合为()A.{o,3}B.{3,9}y=3x,x=0或才=3,【解析】选D.由解得LK=Oy=x,2Lr=9,C.{(0,0),(1,3))D.{(0,0),(3,9))故所求方程组的解的集合为{(o,o),(3,9)}.
5.对任意两个正整数如刀定义某种运算※当力与〃奇偶性相同时,/※〃=/〃+〃;当/与刀奇偶性不相同时,勿※〃=/〃〃,求集合Q{(a,b)|a※仁20,a,b£N+}中元素的个数.【解析】依题意,当a b都是正奇数或都是正偶数时,aXb=a+b=20,由20=1+19=2+18=3+17=-=17+3=18+2=19+1,可知集合中有19个元素;当a,人有一个是正奇数另一个是正偶数时,a※力=ab=20,由20=1X20=4X5=5X4=20X1,可知集合中有4个元素.综上所述,集合P中元素的个数共有19+4=23个.。