第17讲机械振动（原卷版）

年强基计划物理专题讲解（核心素养提升）2020第讲机械振动17知识精讲振动类型机械振动，交流电中电流和电压的振动，电磁学中电场和磁场的振动等这些振的物理本质不同，但遵守的基本规律相同机械振动形象直观，最简单的机械振动是简谐运动简谐运动物体的受力特征i.质点离开平衡位置后所受合力是线性回复力F=-kx式中x为质点相对于平衡位置的位移，k为力常数简谐运动的矢量图示分析法

2.如图所示，矢量而绕X轴上的坐标原点O沿逆时针方向匀速转动，则P做匀速圆周运动，P在x轴上的投影点Q的运动就是简谐运动，O为平衡位置，OP的长为振幅值简谐运动的周期等于圆周运动的周期这种用旋转矢量表示简谐运动的方法称为矢量图示法P通过的圆为参考圆简谐运动的位移、速度和加速度方程

3.如图，令OP长为A,其旋转角速度为3,在t=时矢量OP与X夹角为q）o，则经过时间3P在x轴上投影点Q的位移为x=OQ=Acos（+00）,此方程即为简谐运动的位移方程参考圆上参考点P的线速度在x轴上的投影就等于Q点作简谐运动的速度VP JI\_V=V COS（Ot+,式中Up=在1为速度的幅值pk2）参考圆上参考点P的向心加速度ap在x轴上的投影就等于Q点做简谐运动的加速度a=-a cos（6y+^）o其中p0外=04为加速度的幅值简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式:振动方程x=Acos（

①/+°）.速度表达式v=-a）Asin（a）t+夕）.加速度表达式a二-

①（/+夕）.2ACOS简谐运动的图象

4.图象是从另一角度来描述物体的运动特征的，它与方程相比较具有形象直观的特点如下图中的甲、乙、丙三图分别表示简谐运动物体的位移——时间，速度——时间，加速度——时间图象由图可知位移、速度和加速度变化的周期相同但相位不同，速度相位比位移相位超前一（或者说落后237r—）,加速度相位比位移相位超前乃（或者说落后不）

2.平面简谐波的振动方程5设波沿x轴正方向传播，波源在原点处，其振动方程为y=Acos（

①，+°）.X轴上任何一点P（平衡位Y置坐标为X）的振动比0点滞后tf=士，因此P点的振动方程为vy-Acos[co（t-t/+（p）=Acos（/«-一）+9）.v简谐运动的固有周期和频率

①m m由位移方程X=ACOSQX+Oo）和加速度方程Q=-02y4cOS（M+eo）可得〃=一口21

②联立

①②两式可得外2=A,又=2上代入可得r=2其固有周期由系统本身的特性决定，与mTV k其他外部因素无关单摆的周期丁=2万《，要注意在实际问题中/和g的含义在具体问题中要能准确地求出其等效摆长和等效重力加速度

（1）等效摆长的确定摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离

（2）等效重力加速度的确定通常情况下先确定摆球在系统中相对于悬点静止时的位置，再找出此状Ff态下摆线的拉力F,则等效重力加速度g=—,特殊情况下，如所受其他外力始终沿绳所在直线方向，如m带电粒子所受洛仑兹力，则该力不会改变其振动周期简谐运动的能量

7.|O1O OO]g g动能E=—mv=—mco^A sirr（+0）=—L4-sin（cot+（p）k（）势能Ep=；kx1=gM2cos2（69/+仰）总能量E=E+EP k阻尼振动

8.振动系统在阻尼介质中振动时，由于阻力的作用，振幅逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，对于一定的振动物体，有阻尼比无阻尼时的周期要长些且阻尼越大，其周期越长受迫振动与共振

9.振动系统在周期性外力（该外力可称为策动力或驱动力）作用下的振动叫受迫振动受迫振动的频率等于驱动力频率，与物体的固有频率无关，但其振幅由固有频率和驱动力频率的关系来确定驱动力频率与物体固有频率相差越大，振幅越小；两者越接近振幅越大；当外界驱动力频率与系统自身的固有频率相等时，受迫振动的振幅达最大值，这种现象称为共振典型例题

1.（华约自主招生）一质点沿直线做简谐运动，相继通过距离为16cm的两点A和B,历时1s,并且在A、B两点处具有相同的速率，再经过1s,质点第二次通过B点，该质点运动的周期和振幅分别为A.3s，8V3cm B.3s，8V2cmC.4s，85/3cm D.4s，8V2cm

2.（复旦大学）一个充满水的塑料桶用轻绳悬挂在固定点上摆动，若水桶是漏水的，则随着水的流失，其摆动周期将A.总是变大B.总是变小C.先变小再变大D.先变大再变小

3.（卓越自主招生）如图，两段不可伸长细绳的一端分别系于两竖直杆上的A端与质量为、B两点，另一||cZADB=90°,m的小球D相连已知A、B两点高度相差h,ZCAB=ZBAD=37°,重力加速度为go现使小A|，球发生微小摆动，则小球摆动的周期为（1D1人[V7h71回TN3g213gC.71（一D.2兀

4.清华大学地球半径为R,单摆置于水平地面上，t时间内摆动N次；置于高为h的高山上，t时间内摆动N-1次则h/R=oA.l/N B.l/N-1C.1/N+1D.N-1/N+

15.复旦一个单摆在匀加速运动电梯内作做简谐振动，其周期是电梯静止时的两倍，则电梯的加速度为A.大小为g/4,方向向下B.大小为g/2,方向向上C.大小为3g/4,方向向上D.大小为3g/4,方向向下

6.南京大学如图所示，质量为m的物体静止在桌面上，上接一根劲度系数为k的轻质弹簧现在轻弹簧上端施加一竖直向上的力，使其以速度v匀速上升1经过多长时间物体脱离地面？2物体速度第一次达到最大值时，力F做的功多大？

7.（浙江大学）升降机里有一个单摆，原始周期为T求当升降机以加速度a向上加速运动，向下加速运动,匀速运动时单摆的周期

8.（同济大学）金字塔形（四棱锥形）的冰山漂浮在海水中，平衡时塔尖离水面高度为h,冰的密度记为pi，海水密度记为P2,且有P2pi忽略运动方向的所有阻力，试求

（1）冰山自身的高度H

（2）冰山在平衡位置附近做竖直方向小幅度振动的周期T。