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年印度代表队选拔赛试题2023IMO第一天
1.令工g£及田为非常数多项式.假设工g均不是实系数多项式的平方,但大成C是一个实系数多项式的平方.证明:式/不是实系数多项式的平方.
2.设〃为与6互质的正整数.我们对正〃边形的各顶点用三种颜色染色,使得染每一种颜色的顶点数都是奇数.证明:在这些顶点中可以找到颜色互异的三点,它们构成等腰三角形.
3.设5=-1,0和C=l,0为坐标平面上的定点.称坐标平面一个非空有界子集S为“美好”的,如果i对任一点0e S,存在一点TeS,使得线段T0完全位于S内;ii对任意三角形尸1巳尸3,存在唯一的一点N eS及下标{1,2,3}的一个排列Q使得两个三角形月刀与尸3尸a2P03相似.证明集合{x,y|x之0,v0}存在两个不同的美好的子集S,S;满足如果/£S及NY S是条件ii中所分别对应其次天的唯一点,则乘积34A4为与三角形尸1尸2尸3无关的定值.第三天第四天。