还剩2页未读,继续阅读
文本内容:
第节巧算均值5考占出现频率2023年预测利用基本不等式求最值III基本不等式作为工具,常结合其他知识点进行考察,如解析利用基本不等式解决实际几何、函数求最值,实际应用等求范围题型,难度为基础题III问题或中档题.回顾教材务实基础基础知识诊断【知行梳理】
1.基本不等式如果0方0,那么J7工巴心,当且仅当〃=人时,等号成立.其中,巴心叫作、的算术平均22数,而叫作,的几何平均数.即正数〃方的算术平均数不小于它们的几何平均数.a2-^b22ab当且仅当a=b时取等号;基本不等式1若a,b eR,则9基本不等式2若上,则空22“石(或+匕22疝),当且仅当一时取等号.2---------
2.两个基本不等式的异同两个基本不等式中实数的取值范围是不同的,运用第二个不等式时,〃方必须都是一正实数.12两个基本不等式中等号成立的条件当且仅当a=h时取等号;两个基本不等式的变形(这里的变形要让学生理解是如何得来的,同时也让学生试着去发现这些不等式3都出现了哪些运算形式,有求和,乘积,平方和,开方和)第一个不等式可变形为02+3222伏+/)或202+2/2(〃+勿2,其中/第二个不等式可变形为(五十而之巾或他工臣外,其中a,b£R+.22
(4)常用基本不等式2来求最值当两个正数a2的积为定值时,由+匕22而可得当〃=人时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时,由人(0丈)2可得当a=b时,它们的积有最大值,正所谓“积定和最小,和定积最大如已知x0,y
0.q2
①若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积不取得最大值一;4
②若砂=p(积为定值),则当%=y时,和x+y取得最小值2J万.注意
(1)此结论应用的前提条件是“二“二“三相等”.其中“一正”指正实数;“二定”指求最值时和或积为定值;“三相等”指满足等号成立的条件,即取等条件成立.
(2)连续使用基本不等式要注意取值条件一致.考点聚焦突破分类讲练以例求法考点一利用基本不等式求最值角度1常规凑配法模型一/71X+—2A/mn{m0,〃0,当且仅当%=“时等号成立;x Vm模型二mx-\——-—=mx-a-\——-——F ma24mn+ma{m0,〃0,当且仅当工一〃二时等号成立;x-ax-aV m模型三一r三——二——5———〉0,0,当且仅当x时等号成立;ax+bx+c+b+32Y ac+bx些再、mxn-mx1〃山口八山nIE Z模型四xn-inx=-----—•=——m0,n0,0x—,当且仅当%=—mm24m m2m时等号成立.【例1-1]2021・全国乙卷下列函数中最小值为4的是4499A.y=x+2x+4B.y=|sinx|HC.=2+2---------D.y=In x-\|sin x|Inx[15IJ1-2](2021•上海卷)已知函数/(外=3]+三=(a)的最小值为5,则〃=.【例1-3](2021•浙江模拟)若-4vxl,则y=x―22有()2x-2A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1【例1-4](2021・天津卷)已知Q0,b0,则工+=+/的最小值为a b1【解题总结】
1.通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.
2.注意验证取得条件.4【训练1】2022•常熟检测若x2,则函数=、+1一的最小值为x—2A.3B.4C.5D.6Y*~+4Y+6【训练2】2022•黄山一模已知/x=---------------r0,则/幻的最小值是x+1D.5A.2B.3C.4【训练3】2020*山东卷已知Q0,b0,且Q+Z=1,则D.\[ci+\[b/2A.a2+b2-B.2a-h-C.log a+log b-2222223A.8B.6C.4D.2【训练4】(2022•山西一模)已知〃,b,ceR+,且Q4,+QC=4,则一+——+—=——的最小值是a b+c a+b+c角度2消参法消参法就是对应不等式中的两元问题,用一个参数表示另一个参数,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可!【例2-1](2020•江苏卷)已知5fy2+y4=i(x,ywR),则―十丁的最小值是.131【例2-2】(2022•浙江月考)若实数x,y满足孙+3x=3(0x±),则一+——的最小值为_________.2x y-3【解题总结】
1.代换变量,统一变量再处理.
2.注意验证取得条件.【训练5】(2021•天津一模)设a0,b0,且5必+从=1,则4+〃的最小值为.角度3“1”的代换1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形.【例3-1](2022•成都嘉祥)若log3(2〃+b)=l+log后疝,则+给的最小值为()A.6B.-C.3D.—33【例3-2](2022如皋期末)已知〃小〃均为正数,〃=(1,根),6=(2,1—力,且a/必,则的最小m n值为.【例3-3](2022•浙江月考)若,b是正实数,且则工+,的最小值为__________________.a ab【解题总结】
1.根据条件,凑出“1”,利用乘“1”法.
2.注意验证取得条件.71【训练6】(2022•潍坊期末)已知圆-2)2+()一)二2关于直线以+卧=1(0,人0)对称,则W+上的最小a b值为.角度4双换元若题目中求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分别运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系.【例4-1】(2022•长沙月考)若Q0,b0,且一^+―^=1,则a+2b的最小值为_______________.2a+b b+\【解题总结】
1.代换变量,统一变量再处理.
2.注意验证取得条件.【训练7】(2022•越秀月考)已知无,y0,求上匚的最大值.4x+y x+y齐次化就是含有多元的问题,通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.【例5」】(2022•枣庄期末)已知x0,y0,x+2y=2,则宜上里土生心2的最小值为.肛【训练8】(2021•南通月考)已知x,y为正实数,则立+$—的最小值为__________.x2x+y角度6和、积、平方和的转化2若出现m(a+〃)+nab=c,其中、b、m.〃、CGR+,因为Q+2J茄=a,可以转化为2m\[ab+nab〈或m(a+b)+〃(;)c,从而求出a+Z及ab的取值范围.若出现求加2+应取值范围,先将式子加(+〃)+〃4》=c因式分解成为(a+x)(b+y)=z形式,再用基本不等式求出〃以+4最值.【例
6.1】(2021•重庆月考)设Q0,b0,a+〃+=24,则()A.a+b有最大值8B.Q+Z;有最小值8C.必有最大值8D.有最小值8【解题总结】
1.看问题,要啥留啥,要和则把条件的积转化为和,反之,要积则把条件的和转化为积.
2.注意验证取得条件.【训练9】(2010•重庆卷)已知x0,0,x+2y+2孙=8,则x+2y的最小值是()911A.3B,4C.-D.—22考点二利用基本不等式解决实际问题[例1](2022•虹口期末)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200疗的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3加,东西的人行通道宽4根,如图所示(图中单位m),问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小?最小面积是多少?-----------------------一件下场一【解题总结】4』
1.理解题意,设出变量,建立函数模型,把实际问题抽象为函数的最值问题.-----------¥-----------
2.注意定义域,验证取得条件.
3.注意实际问题隐藏的条件,比如整数,单位换算等.【训练1】(2022•大丰期末)合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动,现要设计如图的一张矩形宣传海报,该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目,这三栏的面积之和为60000CM2,四周空白的宽度为iocm,栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.
(1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸,能使整个矩形海报面积最小,并求最小值;
(2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍,那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸,能使整个矩形海报面积最小,并求最小值.。