高中：3 习题课一　运动的合成与分解的两类模型

习题课一运动的合成与分解的两类模型典题分类▼盼穹目分类讲解•举一反三♦类型1小船渡河模型【核心深化】

1.小船参与的两个分运动1船对地的运动即船在静水中的运动，它的方向与船头的指向相同.2船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行.

2.两类最值问题⑴渡河时间最短问题水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度.因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可.由图甲可知…此时船渡河的位移工=总，位移方向满足tanO=*sin/，水2渡河位移最短问题情况一水〈V船最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间，=」飞，船头与上游河岸夹角PmiSin8乙满足0船cos水，B|J cos9=—,如图乙所示.%情况二木船丙

7.如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以速度沿水平方向匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为仇此时铁球（）A.竖直方向速度大小为ocosS

8.竖直方向速度大小为osinC.竖直方向速度大小为manD.相对于地面速度大小为解析选B.将光盘的速度在沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量=osin，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度,B正确，A、C错误；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为osina可得铁球相对于地面速度大小为vyj1+sin2^,D错误.

8.如图所示,一条小船位于200m宽的河的正中A点处,从这里向下游1005m处有一危险区，当时水流速度为4m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（）一8仍，A zA.-m/s B.-m/sC.2m/s D.4m/s解析选C.恰使小船避开危险区，小船应沿直线人3到达对岸，如图所示,则有tane=4^=W，所以8=30°.当船头与A8垂直时，小船在静水中的速度最/I UD小.最小速度为oi=U2sin9=4sin3°m/s=2m/s,故C正确.

9.202•内蒙古赤峰期末一条笔直的河流沿东西走向，两岸平行，各处的宽度均为d=8m,水流的速度均为v水=3m/s,船在静水中的速度恒为v脂=5m/s,则A.渡河的最短时间为20sB.渡河的最短位移为90mC.保持船头沿南北方向到达对岸，渡河位移最短D.船能够沿南北方向的直线渡到正对岸解析选D.当铅方向与河岸垂直时，渡河时间最短，f==16s,故A错误；当小船合速度的方向与河岸的方向垂直时，渡河位移最短，设此时船头的方向与河岸的夹角为仇cos6=—=7，船渡河的位移为河宽d=80m,船能够沿南北方向的直线渡到正对岸，故B、C错误，D正确.C BA

10.如图所示为一条河流，河水流速为一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为〃.第一次船头向着43方向行驶，渡河时间小船的位移si；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间d船的位移S

2.若AB、AC与河岸的垂线的夹角相等，则有A./|/2,5152B.Zl/2,5152C.D.s\s2ri=/2,ri=/2,解析选D.由于AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间/=,所以两次渡河时间相等，船头向着A8方办向行驶时，沿河岸方向的分速度夕+，船头向着方向行驶时，沿河岸方D//=〃cos AC向行驶的分速度//=〃夕一，水平方向上的位移根据平行四边形定COS X1X2,则，故正确.51S2»D

二、多项选择题II.（2020•云南昆明期末）如图所示，水平向右沿直线行驶的小车通过细绳和定滑轮将重物以速率竖直向上匀速提升，在此过程中，不计细绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（）A.小车做加速运动B.小车做减速运动C.细绳对小车的拉力逐渐变大D.细绳对小车的拉力大小不变V解析选BD.将小车的速度分解，如图，由平行四边形定则可知年=工1则随着小车向右运动，减小，率减小，即小车做减速运动，A错误，B正确；因物块匀速上升，可知绳子对物块的拉力不变，即绳子的张力不变，绳子对小车的拉力大小不变，C错误，D正确.

12.小河宽80m,河中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离关系为水=日（火=

0.1s「），一小船以4m/s速度垂直于河岸渡河，则下列说法中正确的是（）A.小船渡河时的轨迹为直线B.小船渡河时的轨迹为曲线C.小船到达距河对岸20m处，船的渡河速度为4#m/sD.小船到达距河对岸50m处，船的渡河速度为5m/s解析选BD.小船同时参与了两个分运动一个是垂直于河岸相对于水的匀速运动，另一个是随水流向下游方向的变速运动，故其实际运动的初速度与加速度一定不共线，A错误，B正确；小船到达距对岸20m时，所在处水流速度水=2m/s,此时船的渡河速度为2+42m/s=2小m/s,C错误；同理，小船到达距河岸对岸50m处即距出发点所在岸30m时水流速度为3m/s,船的渡河速度为5m/s,D正确.

13.（202（）•江西南昌高一检测）如图所示，将质量为2根的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为例的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中3处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（）A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2〃%B.小环到达8处时，重物上升的高度为（地一1）4c.小环在8处的速度与重物上升的速度大小之比等于坐D.小环在8处的速度与重物上升的速度大小之比等于也解析选ABD.小环释放后，其下落速度O增大，绳与竖直杆间的夹角9减小，而ui=vcos0,故增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg,A正确；小环到达3处时，绳与直杆间的夹角为45°,重物上升的高度〃5=（g一l）d,B正确；如图所示，将小环速度进行正交分解，i=ocos45°=p,所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于色，C错误，D正确.

14.甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为o,船在静水中的速率均为小甲、乙两船船头均与河岸成角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为乙则下列判断正确的是（）A.乙船先到达对岸B.若仅是河水流速o增大，则两船的渡河时间都不变C.不论河水流速出如何改变，只要适当改变角，甲船总能到达正对岸的A点D.若仅是河水流速加增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L解析选BD.将小船的运动分解到平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲乙两船到达对岸的时间相等.渡河的时间t=故A错误；若仅是河水流速o增大，渡河的时间与河水流速无cJ111v/C/dill v/关，则两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于水流速度时，不论水流速伙）如何改变，甲船都可能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速00增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度的差值仍不变，则两船之间的距离仍然为L,故D正确.合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下如图丙所示，以水矢量的末端为圆心，以船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时,合速度的方向与河岸的夹角最大设为，此时航程最短.由图可知sin0水最短航程为尸七==%此时船头指向应与上游河岸成夕角，且cos=詈.sinav i］水【典题例析】浦TT2020•山东临沂高一检测小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s,船在静水中的航速是5m/s.1当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？2要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？sin37°=

0.63如果水流速度变为10m/s,要使小船航程最短，应如何航行？［思路点拨］求解小船渡河问题应理清以下问题1船头指向是小船在静水中的速度的方向；2小船实际运动的方向是合速度的方向；3水船时，小船不能垂直于河岸渡河.I解析］1因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间/==挈s=40s,小船沿河流方向的位移x=v木/=3义40m=120m,即小船经过40s,在正对岸下游120m处靠岸.要使小船到达河的正对岸，则豕、船的合运动含应垂直于河岸，如图甲所则v合=y/vii—vi=4m/s,经历时间s=50s.又cose=*=±=

0.6,即船头指向与河岸的上游所成角度为53°.如果水流速度变为10m/s,如图乙所示，应使u合的方向垂直于器，故船头应偏向上游，与河岸成夕角，有cos0f=—=1,解得夕=60°,即船头指向与岸的上游成600角.［答案］（l）40s正对岸下游120m处

（2）船头指向与岸的上游成53°角50s

（3）船头指向与岸的上游成60°角研究小船渡河问题的思路渡河时间最短（船头垂直于河岸时）、渡河位移最小（”粕＞力的情况）三模型建模型渡河位移最小（〃v%的情况）正交分解（沿河岸、垂直于河岸）两方案矢量三角形（常用于分析最值）【针对训练】I.已知河水的流速为5,小船在静水中的速度为2,且2＞加，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是（）0，’下游

②③X山’下游一，’下游

④A.

①②B.

①⑤C.

④⑤D.

②③解析选C.小船以最短时间渡河时，因河流宽度一定，就要求小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即小船相对于静水的航行方向也即船头的指向须始终垂直于河岸，则此时小船的实际运动方向必偏向于下游，应选

④.当小船以最短的位移渡河时，由于2＞1,小船可垂直到达河对岸，此时船头的指向应偏向于河上游，对应于图

⑤，故C正确.

2.（多选）一条机动船载客渡河，若其在静水中的速度一定，河水的流速也不变，且0加＞水，则（）A.船垂直到达对岸，渡河最省时B.使船身方向垂直于河岸，渡河最省时C.船沿垂直于河岸的轨迹航行，渡河位移最短D.使船身方向垂直于河岸，渡河位移最短解析选BC.因河流宽度是一定的，当船沿垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河时间最短；当船身方向（即船的静水速度方向，也即船相对于水流的速度方向）垂直于河岸时，垂直于河岸方向上的速度等于船在静水中的速度且最大，渡河时间最短，但船会随水流向下游漂移，合位移大小大于河的宽度，不是最短的渡河位移；由于船在静水中速度大于水流速度，根据平行四边形定则，当船身指向偏向上游合适的角度时，合速度的方向可以与河岸垂直，船可以垂直到达对岸，此时位移最小.但垂直于河岸的速度小于船在静水中的速度，故渡河时间不是最短，可见，B、C正确，A、D错误.类型2“关联”速度【核心深化】

1.“关联”速度问题物体斜着拉绳（杆）或绳（杆）斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题.

2.“关联”速度的分解规律

（1）分解依据

①物体的实际运动是合运动.

②由于绳（杆）不可伸长，所以绳（杆）两端所连物体的速度沿着绳（杆）方向的分速度大小相同.

（2）分解方法将物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和沿绳（杆）的两个分量.⑶常见的速度分解情形MS如图所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A,楔形木块的倾角为乱放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为内和加，则A.VA•VB=1:IB.*UB=sin0:cos0VAC.v\:UB=COS0:sin0D.PA:UB=sin9tan9［思路点拨］解答本题应注意以下两点1由于一切接触面均光滑，让小球和木块同时由静止开始运动的过程中，将二者的运动按照实际运动效果分解；2两者在垂直于斜面方向的速度是相等的.|解析］将分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向，如图甲所示，则有V2DA=PACOS仇将分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向，如图乙所示，则有仇因为小PB S=OBSin球和木块总是相互接触的，所以小球的速度和木块的速度在垂直于接触面的方0A DB向上的投影相等，即OACOS9=OBsin仇即iM OB=sincos3,B正确.［答案I B»36囱圈国国解答“关联”速度的分解问题的两个关键

（1）弄清合运动与分运动物甲体的实际运动是合乙运动.

（2）绳（杆）两端所连物体的速度沿着绳（杆）方向的分速度大小相等.【针对训练】

1.（2020•黑龙江牡丹江期末）如图所示，汽车通过滑轮拉重物A,汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体的运动情况是（）A.匀速上升B.加速上升C.先加速后减速D,减速上升解析选B.设绳子与水平方向的夹角为0,将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分量，沿绳子方向的速度等于A的速度，根据平行四边形定则，OA=UCOS仇车子在匀速向右的运动过程中，绳子与水平方向的夹角减小，所以A的速度增大，A做加速上升运动，故B正确.

2.（多选）如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B,竖直放置,两球质量均为〃，两球半径忽略不计，杆的长度为乙由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与蜕直方向的夹角为时（图中未标出），关于两球速度内与的关系，下列说法正确的是（）BA.若=30°,则A、B两球的速度大小相等B.若9=45°,则A、B两球的速度大小相等yA=UBtan0C.GD.PA=yBsin解析选BC.当杆与竖直方向的夹角为夕时，根据运动的分解可知（如图所示）,沿杆方向两分速度相等，VACOS^=VBsin9,即以=0Btan

6.当6=45°时，UA=UB.（建议用时40分钟）

一、单项选择题

1.小船以一定的速率垂直于河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（）A.水速大时，位移大，但时间不变B.水速大时，位移大，时间也大C.水速小时，位移小，时间也小D.位移、时间大小与水速大小无关解析选A.将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的运动不影响垂直于河岸方向上的运动，在垂直于河岸方向上，喝,船的静水速不变,所以过河的时间不变.水速的大小影响船沿河岸方向上的位移，x=v时间不变，水速越大，沿河岸方向上的位移越大，根据运动的合成，发生的位移越大，故A正确，B、C、D错误.

2.（2020•黑龙江牡丹江期末）船在静水中的速度为ui,水流的速度为2,河宽为4,当船头垂直于河岸航行时（）A.实际航程最短B.水速减小时渡河时间变长C.过河时间最短D.水速增大时渡河时间变长解析选C.如果水流速度为s,船渡河过程被冲到下游的距离为工=如=/d,实际航程不是最短，A错误；船渡河的时间与水流速度无关，B错误；河宽为d,船垂直于河岸的速度为ui,过河最短时间为，=’,C正确；船渡河的时间v\与水流速度无关，D错误.

3.（2020•北京四中期中考试）如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下,当小车以速度匀速向右运动时，物体P的速度为（）A.v B.ocos3C-------D.ycos20cos0解析选B.将绳两端所连物体速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，根据沿绳方向的分速度相等可得P=OCOSaB正确.水流方向

4.小船横渡一条河，船在静水中的速度大小不变，方向始终垂直于河岸.已知小船的部分运动轨迹如图所示，则可判断，此过程中河水的流速（）A.越接近B岸水速越大B.越接近B岸水速越小C.由A到B水速先增大后减小D.水流速度恒定解析选B.小船对地速度等于在静水中速度与随水流运动速度的矢量和，若水流速度恒定，则小船对地速度也恒定，运动轨迹应为直线，D错误；由于小船运动轨迹的弯曲方向不变，则水流速度变化情况不变，C错误；因为只有水流速度发生变化，则加速度方向应平行于水流速度方向，由轨迹的弯曲方向可知，加速度方向应向左，与水流方向相反，故越接近B岸，水流速度越小，A错误，B正确.

5.（2020•福建南平期末）某船要渡过60m宽的河，船渡河的最短时间是12s；若船沿垂直于河岸的直线到达正对岸，渡河时间是15s,则船在静水中的速率0A.vi=5m/s中=4m/sB.s=5m/s2=3m/sC.v\=4m/s V2=5m/sD.v\=4m/s s=3m/s及河水的流速s分别为（）解析选B.当船以最短时间渡河时，船头指向正对岸，则渡河时间为力=3，所以船在静水中的速度为UI=7=T5m/s=5m/s,故C、D错误；当船垂直于河II岸到达正对岸时，合速度垂直于河岸，渡河时间为f2=-/1,，代入数据得:y/vr—v202=3m/s,故A错误，B正确.

6.如图所示，人在岸上以恒定速度拉船，当轻绳与水平面的夹角为时，船的速度为（）vA.ucos0Bcos3D.ysin9C.v解析选B.将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v=v纶cos仇v,故粕=右卬B正确•。