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第二十一章一元二次方程
21.1ax-2+bx+c=0一元二次方程的判定
①只含有一个未知数
②该未知数的最高次项为二次在a a b形式中不等于零为一元二次方程，等于零且不等于零为一元一次方程
21.2解一元二次方程三种
1、配方法公式法中公式的推导通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法全平方公式/±2而+/=“+犷完把公式中的a看做未知数x,并用x代替，则有x2+2bx+b2b2=x±
2、公式法ax^+bx+cR,b2-4ac b2-4ac20公式法把一元二次方程化成一般形式然后计算判别式△=的值，当a,b,c x=b2-4ac20时，把各项系数的值代入求根公式就可得到方程的根*」±2_4工匕4心
①_2a
3、因式分解法把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
④韦达定理ax2+bx+c=0a^0一元二次方程的两个根与系数有如下关系xi+x2=-b/a,xix2=c/a
21.3实际问题与一元二次方程可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等.第二十二章二次函数
①二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数二次函数可以表示为y=ax+bx+c（a0）不为判定方法与一元二次方程的判定方法相同其图像为开口向上或向下的抛物线
②二次函数的几种形式y=ax2+bx+c（a^O,a bc（-b/2a,（b2-一般式、为常数），顶点坐标为4ac）/4a）；y=a（x-hT+kGWO,a hk（h,k）顶点式、、为常数），顶点坐标为对称轴为x h；二y=a（x-xi）（x-x）x A（xi,0）B（x,0）交点式［仅限于与轴有交点和的抛物线］;22各种形式的转化c/6厂分+以+丫_4ac b2y=a2ax+4-V J4Q*二次函数解析式的确定a,b,c,最常用的是代入法，即已知三点坐标代入一般式，求出的值即可y c特殊的可根据图像分析，可根据图像与轴交点确定值；可根据顶点坐标和任意其它点坐标代入顶点式得出解析式；还可根据交点横坐标与任意其它一点坐标代入交点式得解析式二次函数图象的平移概括成八个字“左加右减，上加下减”.平移的加减要在顶点式的状态下进行左右加减在括号内，上下加减在括号外二次函数的递增与递减以对称轴为分界，一半递增另一半递减，可结合图像判断a bc一般式中、、的值与函数图像的关系3
（1）a a0a0a决定函数的开口方向，时，开口方向向上，时，开口方向向下的绝对值还可a a以决定开口大小,的绝对值越大开口就越小,的绝对值越小开口就越大
（2）c Y（0,c）,c0y的值决定函数与轴交点的位置，交点坐标为当时，函数与轴交于0y eVy正半轴；当二时，函数与轴交于原点；当零时，函数与轴交于负半y c轴一个函数图像如果已经与轴的交点坐标就可以知道值，如果没有明确告知,可以根据交点c位置判断的正负情况
（3）b ac y的值在函数图像上的体现要结合与的值共同考虑如一个函数的对称轴为轴时，x=b/2a b=0,a根据对称轴公式可得当已知的正负情况是（根据开口方向判断），根据对称轴公x b/2a,b式二可判断值的正负例如，一个开口向上对称轴在正半轴的抛物线，对称轴为x=-b/2a0,bVO；b0得同理，一个开口向上对称轴在负半轴的抛物线.可简单记忆为左同右异，abab0）,y ab abV0y即当与同号时（即对称轴在轴左；当与异号时（即）,对称轴在轴右y axbx+c（aWO）,ax2+bx+c=0（a^O）
4.二次函数与一元二次方程的关系二b2-4ac0x2时，抛物线与轴有个交点这两个交点的横坐标值分别为一元二次方程的两个根△=b-4ac=0x1时，抛物线与轴有个交点这个交点的横坐标值为一元二次方程的根b2-4acV0x△二时，抛物线与轴没有交点当a〉0时，函数有最小值无最大值且在x二-b/2a处取得最小值,其最小值为顶点坐
⑤二次函数的最大值与最小值以及对称轴和顶点坐标之间的关系x-b/2a当时，函数有最大值无最小值且在二处取得最大值，其最大值为顶点标的纵坐标值坐标的纵坐标值在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值（-b/2a,（b2-4ac）/4a）x=-b/2a顶点坐标的意义为，当时，有最小或最大值，其值b2-4ac/4a为顶点坐标
⑥、二次函数y=cue1+bx+c图象的画法五点绘图法利用配方法将二次函数y-ax2++c化为顶点式y=a（x-%）2+人,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为y（o，c）（2/z,c）x顶点、与轴的交点（，°）、以及关于对称轴对称的点、与轴的d,0）,0）X交点仁，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.X画草图时应抓住以下几点开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与〉轴的交点.第二十三章旋转
23.1图形的旋转
1.图形的旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向顺时针或逆时针转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角
2.旋转的基本特征1图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度2图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；3图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变
3.几点说明1在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角2旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角3旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心
23.2中心对称1180中心对称把一个图形绕着某一点旋转，假如它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分
②关于中心对称的两个图形是全等形2180中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形3x y对称点的坐标规律
①关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数，
②关于轴对称横坐标互为相反数，纵坐标不变，
③关于原点对称横坐标、纵坐标都互为相反数第二十四章圆
24.1本单元需要掌握的基本概念圆、直径、半径、弦、弧（优弧、劣弧）、弦心心角、周角、切线、切线长、内切圆（三角形的内切圆）、外接圆（正多边形的外接圆）、三角形的内心、三角形的外心、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、中心角的半径或直径决定圆的大小,心决定圆的位置的性质d r直径一般用字母表示半径一般用字母表示圆的直径和半径都有无数2条（在同圆或等圆中直径是半径的倍，半径都相等，直径都相等这个理论很基础也很实用，在实际做题中要经常用到，要熟练运用）是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴也是中心对称图形，对称中心为圆心☆
二、垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧（这个单元最重要的知识点之一，必须掌握，并且熟练运用其本身及其推论）1
（1）推论（必需掌握）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧2推论（理解）的两条平行弦所夹的弧相等
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧☆
三、圆周角定理及其推论圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（本章最重要的定理之一，必须掌握其及推论，并熟练运用）1推论同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等290°推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径形☆
四、弧、弦、弦心距、心角、角之间的关系定理3推论如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
五、有关圆的位置关系点与圆在圆内、在圆上、在圆外根据点到圆心的距离与半径的大小比较判断直线与圆相交、相切、相离根据圆心到直线的距离与半径的大小比较判断与圆相离（外离、内含）相切（内切、外切）、相交根据两个圆的圆心之间的距离即圆心距的大小与两个圆的半径之和与之差判断如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
六、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补
七、切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径☆
八、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,心和这一点的连线平分两条切线的夹角
九、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性n n正多边形都是轴对称图形一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心
2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心
十、本章节需掌握的作图
1、三点作圆即三角形的外接根据垂径定理，三角形的三边为圆的弦，作两条垂直平分弦的直线其交点即为心到任一弦的距离即为半径
2、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形心、半径:在一个个平面内，线段0A绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随补充概念弦、直径之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段0A叫做半径连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径弧（优弧、劣弧）、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）心角:顶点在圆心的角叫做圆心角弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长三角形的内切:与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆多边形的外接圆每个顶点都在圆上的多边形所对的圆叫做这个多边形的外接圆正多边形的外接圆只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心三角形的外心正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
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