2022-2023学年湖南省常德市统招专升本高数自考真题含答案

学年湖南省常德市统招专升本高2022-2023数自考真题（含答案）学校:班级:姓名:考号:

5.下列各式成立的是

一、单选题（题）20A.linn2sin工=1厂.»―

01.123]r si nr2i已知A=456•则A*中位于第2行第3列的元素是C.lim———=1一•.k

709.▲_1»r,D.14【精析】A.-14B.-6C.6A项—（+e-」）-=—2（）•（e1—）=e2z—e-27；♦4乙

2.■.1e r,1曲线），=（1一1＞的拐点为rB项—（ex-e）=•2（e‘一e~）•（u+e-D=/一『乙一A.0J■■B.

1.0-1-1#c项5（e+e—），=；（—.2_2e-）=e—D.不存在ef；乙乙■■•平面w+Ay—2z=9与平面2/+

4.y+3i=3垂直，则/=A.1B.2C.4D.《L4当/f0时,h，+/是sirurC的无穷小.D项（e，一A.高阶B,低阶C.同阶D.等价［答案1如图所示，即为所求图形.则其面积e-，）=ex+e）；B.lim一凑——a2I,lim—n j,—dr=in|丁|=1-0=

1.［答案］【精析】由于极限竽不存在,故级数竽一定发散.故选limsin»in A.■3■

159.C［答案］C【精析】由题可知•所以/（#）=1（）lim/S+23二/（）/（+2产―/（«）=/«=

2.2=2HmA.r a-*2A.r

10.D1sin——「/+

1.1n2+1j*+11rlim-—―-sin=lim•----------------------------------------=—.【精析】…3〃+1/〃2+1…（3/2+1），滔+1］3［答案］c【精析】由微分方程sirucoaydy Icos.rsinjdr=0得，d vcosxsiny干----------------4=—tanvcotj^dr sinicosy4则—cot yd v=cctidj,所以—In|sin v|+Cj=In|sin1|.UP In|sirusiny|=C］.|sinasiny|=er*U C故sE八MY-GC为任意港数.

12.A［答案1B［精析］in,3{y—3nM/一十1+1—=lim［］—+—1-/rv+1—1++1丫YY-*llv«-*4Iv/J=lim3J2+1+1=

6.・/fH

13.B

14.A［答案］Ar2_1【精析】函数f1=,，在4=0J处没有定义.所以.r=0,l为其间断点.|T—1丁2―1除此之外处处连续.而limf工=lim-------―-----—=8•所以/=为/^的第二类.一力.-u I XIX—1间断点中的无穷间断点；lim/T=lim~:1】1=lim:一1=Li Ll IXI\X-1,r-*lIX IJ—11山】千号=2,所以/=1为//的可去间断点,属于第一类间断点.

15.B［答案］B【精析】易知函数y=—的定义域为x E—3,0U0・+m・x□，一e2工一1L人/八俎1/H•上、且丁=----------=--；-----------,令y=•得文=于驻点.L-2-y的单调减区间为，*•―g,0当r J时,5/；当r J且、r W时,/V0,故函数了=乙乙

16.B【精析】原式=一[—cossirrr尸]•siru=CQSsin/尸cosi•故应选B.【精析】/U—工]/Eg^].故应选B.

17.B

18.D【精析】I7d^=+eT°=ln2-lim ln1+e6=ln2-0=ln

2.J1I C—88♦-w—CM

19.D[答案]Dq=2工-4y=0,【精析】由解得唯一驻点一2,—1,又因为A=3-2,江=一，Lr+10y+2=0,4y—1=20,/3=之,.—2,—1=-4▼C=之幻,—2,—1=10-AC=-4V

0.所以一2,-1为函数的极小值点.故选D.

20.A11*1•2〃一1!【精析】=（-1）E3=-T+77^=aT7F.y T+7r应选A.

21.2GL——1一+〃尸【精析】lim\/—1—ax—b=lim/一1+w~~\~b4-a

2.r2-2abx-b2+1=lim41—1+ax+b/4O//1+1八4—cr.i-2ub----------------lim_____________________/r47^P+〃+\/一丁所以4—a:=0,-2ah=

0.11由上式知a於一2,解得a=2d=

0.

22.［答案］A［答案1+yerydj+2cos2y+dy【精析】彳-=2z+veJ，e—=2cos2V+HE J〜d v=翌翌十，di di+d v=21ye di+2cos2v+/Cdy.r/.r rv〜

2、3工2」-16【精析】liml+二=lim1H—；T=e\J-*OO\X-*ooJC JXIa I1［答案1I«l1IX【精析】因为、十,为等比级数目收敛.所以lql=5=备2|〃|

1.-2/JQG［答案］-2/X.J［精析］lim/5-一/1_八般―2萦-_,入.=2lim=2【精析】对等式两边关于求导得1y-my_v-I-./1•y3*”工Jt则/=.即孚=-41,|_

2.+.厂dw.ry+rV r

27.

128.4cLr—2dy【精析】•.•£/=/4a,—v2•8i=

8.r/4/—yz.=—2了/4——v

2.dz=

8.r/4J:2—y2dx—2yf4/一v2dy,•二4=8/0ctr—4/zOdv=4』—2dy.

1.

229.2+y jJdr2jy+

12、r+V2x+v2jdv=2l+、r.\，d-----------------------—d r21十工，【精析】方法一将所给表达式两端关于、r求导.可得

2.r+V+2»M+2/=

0.方法二将所给表达式两端微分.d、/+d.j v2+*12V=

0.27dl+v2d.r+

2.rvd v+2dv=

0.

2.r+v2d.r+

2.rv+1dv=

0.，♦Aj2x+y2jdy=一阳-----

2.rv+

130.p=lim n【精析】—8-2,2可知收敛半径R=%=

2.当w=±2时，级数均发散.所以收敛域为一2・

2.

31.N[答案1x-d.r=arcsine•1-【精析】由数列收敛的性质可得.DYJ乙•JL+…+—I【精析】I——1=—+—y/2+n/I+〃IKlim lim lim=uw iZTU*8rrn

33.Y,1[+…十]=

1.由两边夹准则可知1i m/—，2+，〃+，-81/1十〃产

34.N［答案］X【精析】由题可知/=2-两边积分可得，=/十.将点1,4带人可得4=1—C解得C=3,故所lim limn+6♦L8求积分曲线为y=M-

3.

35.N【精析】因为T=e”,所以I=Inj,函数7T=e与//=lu互为反函数，图像关于=工对称.y【精析】由数列收敛的性质可得.

36.Y

37.N［答案］X【精析】1-7|dr=1—x dj,+I|1—J-|d、r=1—.rd、T+.-M・一4Ji«-H-1d,r=pr-yr2-.r\_=

10.【精析】由于定积分是个常数•故其导数为sin.r+couch

0.

38.Y J

39.N［答案］x【精析】/I=/l-2A-/1=f m3⑴=-lx±=-

1.6lim S—LU LnZ

140.N［答案］X【精析】V=―f6=—6rtan10+

3./,故dv=-6Ttan10+

3./dn cos10十3JT一1fT1【精析】原式=、4^d r+=ln1+c r+727FdT--i1+u.u1+4r=ln2—ln1+e-1+-^-arctan

2.r乙—In2-ln1+e-1+-y.o

42.【精析】7，贝I]==/（〃，拿），Az rfz dz£1+瓦•e•一y/P+7f~几.uJ x/P+y+y y-

43.limcota-•--—\V cosa,=lim4—si arv J-sin.r【精-r—rM\sirtr f=lim•析】—o sirrrJT sirtrHO JsinJT-S1DT1—=lim JC COS J--*0limJ-•Tf0=lim£一》O

44.

45.2__2\Zr—x2dj-=【精析】o\J3~

146.r【证明】因为y（J）dj*=o/

①ch+|/.rda,—«Jo f\—JCLx•/—/d/ok所以fid1=f—jjda-+I yJ dJ=[y j+j—

①1d].00JrX cosz=COSTfo[J-l1+b1+bcos^n.ft rcos.r.=J0[TT^+r+vjd-rxrCOSXAJL=sm.r

47.【证明】令J.r=1I.r ln1I.r—arctan.r.则/2=Ind+才4-11I1J1+T1+^22当10时./r0,所以/.r在［

0.+oo内单调递增，/l/0=

0.所以/x在［0,+oo内单调递增./幻/0=

0.故当N0时・1+.r ln1JarctanT.

48.【精析】

（1）需求弹性函数为器=一提•阴=竟二.当「=2时•黑|5EP Qdr25—P EPI p=221=

0.

38.经济含义当P=2时，若价格上涨1%•需求量减少机38%；

（2）总收益对价格的弹性为学=5•第=（2”.p・（25—3户）=察笔.==

0.

62.故在P=2时，若价格上涨1%•总收益约增加

0.62%；ER

（3）当整=0时总收益最大•此时P=%怛=旦所以当P=日时，总收益最大.上尸N3EPA支

49.【精析】由/=/十刀2,疝3=2可得rks\nO,,9小Tz——=hhcr+/广2,那么J=ka2+/产-*一3劫2r+/厂寺=+/3〃2-2/产.令:=

0.得人=今,■因为驻点唯一,且实际问题最值存在•所以当/,时,八处乙乙获得最大亮度.此时最大亮度」=£•端）21T=2k3点？，【精析】本题为求函数==/x^=#-2z+2y+8在条件x+j-8=0下的条件极值.方法一用拉格朗日乘数法总成本fx.y=/+V-2i+2y+8,约束条件以/i=i+y—8=

0.作辅助函数卜I,丫=+y—2彳+2了+8+入工+-8,｛匕—21-2+2=0,F,-+2+4一0,F—”+y—8—0tA解得1=5…=3,由于驻点

5.3唯一,实际中确有最小值，所以当i=5千件.3•43千件时使总成本最小.最小成本为八5,3=38千元；方法二化条件极值为无条件极值总成本为*=fjr y=x2十炉一2JC+2,v+8,f约束条件I+y—8=0,将y=81代人/彳3中,得/=/+81产2i+28才+8=2/201+88,F=41—20,令J=■得.r=5•因为J=

40.所以工=5时z取极小值.又因为极值点唯一，所以才=5时；取最小值.此时y=3,取工=5千件，y=3千件时9总成本最小.最小成本为八5,3=38千元.

51.【精析】企业的利润函数L/=/Q-C=/120-8/-[100+5120-8^]=-8/2+160/-700,///=-169+160,令///=0,得唯一驻点/=10,由于///=-16V0,所以/=10是函数/./的极大值点,而且是最大值点•此时，最大利润为L=-8X IO二十]60X10—700=100,即当每件产品的定价为1元时.企业的获利最大.最大利润为10元.

52.【精析】设底面半径为小圆柱高为人则£=♦人十|■穴，.S=3/+27rM.h=匚一日「.代入S得S=生，兀广S3r所以S=与五令S=0得唯一驻点r=，且S，=学n+学＞，故为极小值点.在此问题中也为最小值点.代入厂解得/=\伊,即当该直圆柱的底面半径为V57r*高为时,其表面积最小.onV VOIT

6..下列函数中，哪个是1的原函数A.9小+eF B.一「/乙乙D.e」—e-T

7.由直线才=l..r=e,y=0及曲线y=!所围成平面图形的面积为（）A.1B.5C.c Uc-1下列级数中.发散的是A.X sin贤3丁】D.已知=J••则lim/“+21一仆=A.y B.1C.2D.-2极限lim；［nin厂］•=-3〃+1，/+1A.3B.oo C.O D.y微分方程sinj cosvdy H-cosjsin yLr=0的通解为u usinj cos^=C B.cos.rsinv=CC.sin.rsinv=CD.COSTCOSV=Cfir=1-L%为参数,，则煞=设曲线l4D.3/

13.3xv极限limA.3B.6C不存在D.

914..则其第一类间断点为a—1B.x=~\C.x=0D.1=±

115.函数.y=7的单调减区间为•°4・■1,一0彳C.

0.+2D.

16.丁ir201—9cos/2d/=d_t JsinzA-cos^r2B・cos sinjrJcos.rD.cos siru，

17.A.奇函教B.偶函数C.非奇非偶函教D.既奇又偶函教设函数/I为奇函数，gi为偶函数,则复合函数/E4Q］为.广义积分上,小,=J—c-=1十RD.In2A.-ln2B.1C.In

319.二元函数z=X2—

4.rv+5尸+2y的极小值点为D.—2§—1A.-h-2B.L2C

2.

120.设y=ln1+w,则=n—1!A.-1l+xw〃！//-I!尸尸C.-1I.-1i+xr1+MA

二、填空题题10如果一一则lim1cw—〃=

0.a=—4***

21.,b=设,则全微分u=M+sin2v4-c du=■__1«已知级数25收敛，则〃应满足21d.设在点.可导.则fx lim

25.…已知广,则黑=ln3已知函数f（x）在x=0的某邻域内连续，且/

（0）=0,/，

（0）=-2,则极限lim止工2sin xD设函数/（〃）可微，且/

（0）=4■，则z=/（4/-y）在点（1,2）处的全微分也乙29设y=）（））由方程/+工）*+2）=1确定.则dy=8器级数£U的收敛域为L

130.

三、判断题（题）

1031.f—J+J dr=arccosj+J7r否是A.B.在数列｛｝中任意去掉或增加有限项，不影响｛｝的极限.4—…+T极限lim=L

33.w皿A.否B.是否是

32.A.B.在切线斜率为2i的积分曲线族中,通过点（

1.4）的曲线是y=十

2.否是A.B.函数］与/”=的图形是关于原点对称的./x=e In/否是

34.A.B.当且仅当linu”=a limi2〃=limi2Hl=a.U.88否是

35.A.B.|1一/|di=

3.J3否是A.B.•—j sinT+cosx dj=

0.否.是

38.士源一1A.B设函数/J在点］=1处可导，且lim、/—2鬃一/⑴=《,则/⑴=1-否是A.B.已知了=ln［^cos10+

3./」,则dy=—

6.rtan10+3/.

四、计算题（题）51）0•设1+M/（工）=求定积分〉/（zd工否是A.B.l+e

41.可微，求手，空已知c=/（JF+=A

42.x-xcosx求极限limsinx-xcosxxf

044.求极限物.（看c

543.求由曲线合及=在所围成的平面图形的面积..y=.y

五、证明题（题）22L设函数/（c）在［-a,a］上连续（a0,且为常数），证明/（x）djr=［/（jr）+J-4l J0八一3］匕，并计算卷三也f1十e）（证明当,r0时■有（1+i ln1+才）arctanx.

六、应用题（题）5某商品的需求函数为求:Q=23—PJ时的需求弹性.并解释所得结果的经济含义；（DF=2（）在时,若价格卜.涨总收益的变化情况;2P=2P1%,（）为何值时，总收益最大.3P（结果保留两位小数）

49.如图所示•设电灯可沿垂线OB移动，根据物理学知识可知，亮度J与sin成正比•与距离厂的平方成反比，即J=维比，其中足为正常数.问电灯与水平面QA的距离〃为多大时,才广能使水平面上的点A处获得最大亮度？此时亮度是多少？第20题图某公司的甲、乙两厂生产同一种产品•月产量分别是八M千件），甲厂的月生产成本是C=—2N+5（千元），乙厂的月生产成本是C==+2y+3（千元）,若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小.求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.假设某企业生产的一种产品的市场需求量Q（件）与其价格P（元）的关系为Q（G）=120—总成本函数为C（Q）=100+5Q.问当为多少时企业所获的利润最大,最大利润为多少？设一物体其下端为宜圆柱形，其上端为半球形，如图所示.如果此物体的体积为炉•问这物体的尺寸各是多少时•才能使其表面积最小？参考答案

1.C【精析】A”中位于第2行第3列的元素记为〃

23.13烟=-12+3^32=-=6,M32为矩阵A的第3行第2列元素的余子式.

462.D【精析】yf—4i—.y〃=12精一,令了=o,解得

①=L当k1时9y〃0,当/V1时,y”0,故函数y=

①一1不存在拐点.

3.A［答案1A【精析】因为两平面垂百，所以两平面的法向量垂直,则lx2+AX4-2X3=0,解得A=

1.故应选A.广斗二立匕:limlim【精I HSlfLTLOX析】=limx2+1=1,故应选D.r a7T-」•=/【精析】因为而］匚「乎=故应选31L B.2……•,A*——r-9Jsin.r2八i-sin.r2而limMsin—=O.lim———=limjr x

5.B

6.D。