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文本内容:
19.9勾股定理(第2课时)(作业)【夯实基础】
一、单选题
1.(2022上海•八年级单元测试)如图,已知钓鱼竿4c的长为66,露在水面上的鱼线8C长为3国,某钓者♦想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC的位置,此时露在水面上的鱼线3为疝九,则39的长为()A.y/2m B.2\[2m C.y/5m D.26m【答案】B【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB,,再根据BBGAB-AB/即可得出答案.尬【详解】VAC=6m,BC=3m,’A4AC2-BC2=荷_(3近>=372m,VAC=6m,V34m,JAB=J4C2_C,2=击2一(后)2=V2m,-亚啦.BBf=AB-ABf=3y[2=2m;故选B.【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理,解题关键是根据已知条件求出AB和AB,的长度.
2.(2021・上海虹口•八年级期末)直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么这个三角形的斜边上的中线长为()A.6B,
6.5C.10D.13【答案】B【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.・•・A”=26+l,・•.AB2=AH2+BH2=2A/3+12+/=14+4百,,正方形A3CD的面积为14+4月.故答案为14+
46.【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,直角三角形斜边上的中线,正确构造旋转图形是解题的关键.
4.
2022.上海.八年级期末《九章算术》中有一道题“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”大致意思是有一根长为10尺的竹子,中间折断后竹梢触底,如图,离开根部为3尺3=3,那么折断后的竹子A3的高度为.【答案】
4.55尺.【分析】设AB=x,则BC=10-x,在直角三角形ABC中,利用勾股定理列方程求解即可.【详解】V ZABC=90°,AB+AC=10,设AB=x,则BC=10-x,在直角三角形ABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2,•••1072+32,解得x=
4.55・,•折断后的竹子AB的高度为
4.55尺,故答案为
4.55尺.【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理,熟练掌握定理,并灵活列式求解是解题的关键.
5.(
2022.上海.八年级期末)已知,如图,在AABC中,/C=90,A3=10,4C=6,CD是上的中线,如果将AfiCD沿CD翻折后,点3的对应点夕,那么m,的长为.【分析】先用勾股定理求得BC,利用斜边上的中线性质,求得CD,BD的长,再利用折叠的性质,引进未知数,用勾股定理列出两个等式,联立方程组求解即可.【详解】如图所示,ZACB=90°,A3=10,AC=6,•••BC=7102-62=8,二•CD是A8上的中线,,CD=BD=AD=5,设DE=x,BE=y,根据题意,得724解得x=,丫=BBf=2y=—,548故答案为费.【点睛】本题考查了勾股定理,斜边上中线的性质,方程组的解法,折叠的性质,熟练掌握折叠的性质,正确构造方程组计算是解题的关键.
6.(
2020.上海市奉贤区弘文学校八年级期末)如图,在边长为2百的等边三角形ABC中,过点C作垂直于BC的直线交NABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为.【分析】根据AABC为等边三角形,BP平分NABC,得到NPBC=30,利用PCJ_BC,所以NPCB=90,根据含30直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.【详解】解•:△ABC为等边三角形,BP平分NABC,A ZPBC=-ZABC=30°,2VPC±BC,・•・ZPCB=90°,在Rt^PCB中,设=则PB=2x,根据勾股定理可得一+(26『=(2x)2,且x0,解得x=2,V ZABC的平分线是PB,・••点P到边AB所在直线的距离与点P到边BC所在直线的距离相等.故答案为
2.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值,解决本题的关键是等边三角形的性质.
7.2019・上海松江・八年级期末如图,将R/AA8C绕着顶点A逆时针旋转使得点落在A3上的C处,点3落在8,处,联结53,如果AC=4,AB=5,那么33=.【答案】M【分析】先根据勾股定理求出BC,再根据旋转的性质求出AC、B,C,在RtZkBCB,中,求出BC,BC,即可解决问题.【详解】在用AABC中,vAC=4AB=5ZC=90°,99・・・BC7AB2-3=五一4=3,由旋转的性质可得AC=AC=4,BC=BfC=
3.NACB=NC=90,BC=AB=AC=5-4=1,NBCB=90,,/.BB=7BC2+BC2=Vl2+32故答案为Vio.【点睛】本题考查旋转变换,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握旋转的性质及勾股定理.
三、解答题
8.
2021.上海民办行知二中实验学校八年级期中阅读材料两点间的距离公式如果直角坐标系内有两点A x/,V、B%2,2,那么A、3两点的距离AB=JX]_犬22+y_
42.则A=XI-X22+〃-y
22.=枢=例如若点A4,1,B2,3,则A3=J4_22+l—3226根据上面材料完成下列各题⑴若点A-2,3,B1,-3,贝UA、8两点间的距离是.⑵若点A-2,3,点B在坐标轴上,且A、8两点间的距离是5,求B点坐标.3若点A x,3,B3,x+1,且A、8两点间的距离是5,求x的值.【答案】13正232,0或3-6,0或30,3+到或叩,3-呵.⑶玉=6,X=-
1.2【分析】1直接利用AB=々了+X-计算即可;2分两种情况讨论点8在坐标轴上,设3x,0或汽0,y,再利用然=JU—+Y-为了可得AB2=x「%2+M-%『列方程,再解方程即可;3直接利用432=%-q2+什「%2列方程,再解方程即可.D解点A-2,3,51,-3,则A、3两点间的距离是区AB=J-2-1『+3+31二3故答案为375解点B在坐标轴上,设5%,0或B0,y,当3乐0时,点A-2,3,且A、5两点间的距离是5,\AB2=-2-^2+3-02=52,\x+21=16,\x+2=4或x+2=-4,\%=2,%=-6,・・・32,0或3-6当以0,»时,点A-2,3,且A、3两点间的距离是5,\命二「?-Op+y-3『=52,\-3一二21,\y-3=扃或y-3,四,解得^=3+721,^=3-721,\50,3+旧或30,3-
⑨.解点A x,3,B3,x+1,且A、3两点间的距离是5,\AB2=^-32+3-^-l2=25,整理得%2-5%-6=0,\x-6x+l=0,解得Xj=6,x=-
1.2【点睛】本题考查的是已知两点坐标求解两点之间的距离,一元二次方程的解法,掌握“两点A x/,y/、B尤2,2,贝l」A、8两点的距离4=%-々2+x-乂2”是解本题的关键.
9.2022・上海・八年级期末阅读下面的材料,然后解答问题我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.1
①根据奇异三角形的定义,等边三角形一定________奇异三角形;填“是”或“不是”
②若某三角形的三边长分别为
1、近、2,试判断该三角形是否为奇异三角形?并说明理由.2探究已知某直角三角形的两条边长分别是、c,且〃=50,/=]00,则这个三角形是否为奇异三角形?请说明理由.【答案】1
①是;
②是,理由见解析;2是,理由见解析【分析】1
①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断;
②根据奇异三角形的定义判断;2分c为斜边、匕为斜边两种情况,根据勾股定理、奇异三角形的定义判断.【详解】解⑴
①设等边三角形的边长为小则〃2+〃2=2£工等边三角形一定是奇异三角形,故答案为是;
②因为『+近『=8,8+2=4,4=22,所以该三角形是奇异三角形.
(2)当c为斜边时,则〃=°2—/=100—50=50,则片+2工2c2,2+c2^2b2,b1+c2^2a2所以RtZ\A8C不是奇异三角形;a9当h为斜边时,〃=Q2+C2=I50,贝I」有/+/=50+150=200=2,所以RtAABC是奇异三角形,答当为斜边时,RtZXA5c不是奇异三角形;当匕为斜边时,RtZ\43C是奇异三角形.【点睛】本题考查的是勾股定理、奇异三角形的定义,如果直角三角形的两条直角边长分别是m h,斜边长为c,那么a2+h2=c
2.
10.2021•上海浦东新•八年级阶段练习如图,在梯形ABCD中,AD//BC,ZB=90°,ZC=60°,BC=CZ=6,现将梯形折叠,点8恰与点重合,折痕交A3边于点£,则CE=.月1_______B1【答案】46【分析】连接OE,BD,由题意可证△3C是等边三角形,可得3=3=6,ZZBC=60°,由直角三角形的性质可求AO=3,AB=38,由直角三角形的性质可求8E=2G,由勾股定理可求解.【详解】解如图,连接DE,BD,9ZBCD=60°,BC=CD=6,•••△3CQ是等边三角形,:・BD=BC=6,ZZBC=60°,VZB=90°,AD//BC,.ZDAB^90°,NABZ=30,Z£BC=60°,.AD=^-BD=3AB=6AD=369;折痕交A3边于点E,:・BE=DE,9ZDBE=ZBDE^30°,・•・ZAZE=30°,.DE=2AE
9.BE=2AE,・BE=26・,・EC=VBC2+BE2=736+12=46,故答案为4g.【点睛】本题考查了折叠和勾股定理的应用,解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理.
11.(2019・上海市进才中学北校八年级阶段练习)”引葭赴岸”是《九章算木》中的一道题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸芥•伺水深,葭氏各几何”题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘,一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B;向芦苇长多少?(画出几何图形并解答)【答案】13尺【分析】我们可以将其转化为数学几何图形,可知边长为10尺的正方形,则BC=5尺,设出AB=AB,=x尺,表示出水深AC,根据勾股定理建立方程,求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深.【详解】设芦苇长AB=AB,=x尺,则水深AC=(x-1)尺,因为边长为10尺的正方形,所以BC=5尺在Rt^ABC中,52+(x-1)2=x2,解之得x=13,即水深12尺,芦苇长13尺.故芦苇长13尺.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,熟悉数形结合的解题思想是解题关键.
12.(2017・上海•八年级期中)如图所示,有一个长方体,它的长、宽、高分别为5cm,3cm,4cm.在顶点A处有一只蚂蚁,它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物.
(1)请画出该蚂蚁沿长方体表面爬行的三条线路图(即平面展开图);
(2)已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是lcm/s,问蚂蚁能否在8秒内获取到食物【答案】
(1)图形见解析;
(2)蚂蚁不能在8秒内获取到食物.【详解】试题分析
(1)按下图三种方式展开即可画出三条路线图;
(2)根据
(1)中所画的路线图结合长方体的长、宽、高由勾股定理可计算出每条路线的长度,从而可得最短的路线长度,再除以蚂蚁爬行的速度即可得蚂蚁由A爬行到B所需的时间,与8比较即可得出结论.试题解析
(1)如下图所示从长方体的一条对角线的一个端点A出发,沿表面运动到另一个端点B,有以下三种方案SD2如图
(1)由勾股定理得:AB=742+82如图
(2)由勾股定理得AB二732+92=790如图
(3)由勾股定理得AB二V52+72=V74*/V74V80V90・••它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物最短路程为何,,所需时间为亚+1=旧:827492J8V749・••蚂蚁不能在8秒内获取到食物.、若点睛如图所示的长方体的长、宽、高分别为、b C,abc,则沿着这个长方体的表面由点A爬行到点B的最短路线长为J6+s+cf.
13.(2019•上海市仙霞高级中学八年级阶段练习)小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80而:,BC=20Zrm,NABC=
120.请你帮助小明解决以下问题
(1)求A,C之间的距离.(参考数据后?=4⑹
(2)若客车的平均速度是60切2//z,市内的公共汽车的平均速度为40加“武黄城际列车”的平均速度为180km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间)【答案】
(1)92km;
(2)选择乘“武黄城际列车”.【详解】试题分析
(1)先作出辅助线,过点作A3的垂线,交A3的延长线于E点,构造出一个直角三角形,然后求出BE=1=10,CE=10V3A3=80,得出AE=90,根据AC/AE^+CE,求出A,C的距离,
(2)根据题意分别求出乘坐客车的时间和乘坐城际列车的时间,然后进行比较即可.解
(1)过点C作AB的垂线,交AB的延长线于点E.VZABC=120°,AZBCE=30°.在心Z\CBE中,VBC=20Z:m,,BE=10版.由勾股定理可得CE=\06km.在放4ACE中,・.・AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=8100+300=8400,・•・AC=20V21=20x
4.6=92(初2).on1
(2)选择乘“武黄城际列车”.理由如下乘客车需时间占=二=1二(〃),乘“武黄城际列车”需时间【详解】解・••直角三角形两直角边长为5和12,工斜边=2+122=13,13・••此直角三角形斜边上的中线的长=y=
6.
5.故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理,熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键.
3.(
2020.上海市静安区实验中学八年级课时练习)在AABC中,BC=7,AC=24,AB=25,如果CD是AB边上的高,则CD=()168A.7B.24C.25D.一25【答案】D【分析】由题干条件知AC24-BC2=AB2,根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形,根据三角形的面积相等即可求出CD的长.【详解】在aABC中,VAB=25,AC=24,BC=7,,242+72=252,AAC2+BC2=AB2,•••△ABC是直角三角形,且NACB=
90.根据三角形面积相等可知,7x24168・•・CD=25~^25-BC*AC=-ABCD,22故选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理,利用好勾股定理的逆定理以及面积法求高是解答本题的关键.
二、填空题
4.(
2022.上海•八年级专题练习)如图,一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树也+型=1——Ji.1804090干底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米.・••得一••选择乘‘武黄城际列车工
14.(
2018.上海浦东新.八年级期末)温州市处于东南沿海,夏季经常遭受台风袭击,一次,温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的5处,以每小时105千米的速度向东偏南30°的8C方向移动,距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域,试问
(1)台风中心在移动过程中离温州市最近距离是多少千米?
(2)温州市A是否受台风影响?若不会受到,请说明理由;若会受到,求出温州市受台风严重影响的时间.北【答案】
(1)150km
(2)温州市A受台风严重影响的时间为10小时【分析】本题可利用直角三角形性质来解,
(1)先作出点A到BC的垂线,就求出了台风中心距A市的最短距离;
(2)求出最短距离和200米相比,可以看到最短距离小于200米,可见A市会受到台风影响,然后再向BC作两条交BC时长为200千米的辅助线,解直角三角形即可.【详解】
(1)过点A作ADJ_BC于D,由题意得AB=300,ZABD=30°AAD=2AB=150km2V150200,温州市点A受到台风严重影响设风台中心距A点200km处,刚好处在BC上的E,F两点则在RQADE中,AE=200,AD=150Q®_.涵.=50-7^/.DE=,EF=2DE=0°f邛=10・••温州市A受台风严重影响的时间为10V小时免费增值服务介绍嚼学科网3学科网致力3组卷网于提供K12是学科网旗下智e卷组卷系统能题库,■教育资源方拥有小初高全学科超千万精品试题,提供智能组卷、服务拍照选题、作业、考试测评等服务网校通合作校还提供学科网高端社群出品的•《老师请开讲》私享直播课等增值服务扫码关注学科网扫码关注组卷网每日领取免费资源解锁更多功能回复免费领套模板ppt180PPT回复〃天天领券〃来抢免费下载券【答案】8【分析】在图中标出字母,由题意得到AC=4米,8=3米,ZACB=9Q0,运用勾股定理AS最后利用AB+3C来求解.【详解】解如下图.由题意得AC=4米,3C=3米,ZACB=90°,・••折断的部分AB的长为y)AC2+BC2=A/42+32=5(米),••・折断前高度为5+3=8(米).故答案为
8.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用,培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.
5.(
2022.上海.八年级期末)边长为6的等边三角形的面积是.【答案】95/3【分析】作出相应图形回中,作由三线合一性质解得DC=3,继而根据勾股定解得AD的长,最后根据三角形面积公式解题.【详解】如图,在一ABC中,作AB=BC=AC=
6.AD±BC:.DC=3・・.AD=4AC1-DC2=762-32=373A8c=g-8C・AO=;x6x3G=9G故答案为9A/
3.B CD【点睛】本题考查等边三角形的性质、三线合一性质、勾股定理、三角形面积公式等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
6.(2021・上海虹口•八年级期末)将一副三角尺如图所示叠放在一起,点
4、C、在同一直线上,AE与BC交于点F,若AB—14cm,则AF—cm.【答案】7【分析】求出NAbC=NE=45,由直角三角形的性质求出AC=7c〃z,由勾股定理可得出答案.【详解】解由题意知,N4C8=NQ=90,.CF//DE,VZE=45°,・•・ZAFC=ZE=45°,.AC=CF,VAB=14cm,ZB=30°,.\AC=^rAB=lcm,;・”=dAC+CF=7及(cm).故答案为7夜.【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理,熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.
7.(
2020.上海市川沙中学南校八年级期末)一木杆在离地面3m处折断,木杆顶端落在离木杆底端4m处,则木杆折断前有米.【答案】8【分析】由题意得,在直角三角形中,知道了两直角边,运用勾股定理即可求出斜边,从而得出这棵树折断之前的高度.【详解】解•・•一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,如图,・••折断的部分长为户不=5,・•・折断前高度为5+3=8(米).故答案为
8.【点睛】此题考查了勾股定理的应用,主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.
8.(2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习)已知直角三角形的两边长分别为
3、
4.则第三边长为【答案】5或万【分析】已知直角三角形两边的长,但没有明确是直角边还是斜边,因此分两种情况讨论.【详解】解
①长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时,第三边的长为2_32=々;
②长为
3、4的边都是直角边时,第三边的长为“2+3=5;币或・••第三边的长为5,故答案为近或
5.
三、解答题
9.(
2021.上海市南汇第四中学八年级期末)如图,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求/XABC的面积和NC的度数.【答案】面积为106,ZC=60°【分析】作AO_L8C于,取AC的中点£,连接石,利用勾股定理构建方程求出x,即可求出AD证明OEC是等边三角形,即可求得NC=60,进而解答即可.【详解】解作于,取AC的中点E,连接由勾股定理可得J72_(8r)2=j52_f,解得x=
2.5,即8=25・・.AD=^52-
2.52=-A/3,2丁E是AC的中点,ED=-AC=EC=
2.5,2:.DE=EC=DC・・..DEC是等边三角形,/.ZC=60°;);5BC=BC-A£=X8X^^=10/.AA【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,等边三角形的性质与判定,掌握勾股定理是解题的关键.
10.(2022・上海.八年级专题练习)某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣.今天,他学到了勾股章第7题“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何?”本题大意是如图,木柱绳索AC比木柱长三尺,的长度为8尺,求:绳索AC的长度.B C73【答案】绳索长是:尺6【分析】设AC=x,则=3,由勾股定理及即可求解.【详解】设AC=x,则AB=x-3,在Rt ABC中,AB2+BC2=AC2,A X-324-82=%2,73解得x,673答绳索长是2尺.o【点睛】本题考查勾股定理得应用,用题意列出等量关系式是解题的关键.【能力提升】
一、单选题
1.2019・上海市进才中学北校八年级阶段练习《九章算术》中的“折竹抵地”问题今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是一根竹子,原高一丈一丈=10尺,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,间折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为A.^2-6=10-X2B.X2-62=10-^2C.^2+6=10-X2D.2+62=10-X2X【答案】D【分析】先画出三角形,根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程.【详解】解如图,根据题意,AB+BC=10AC=6,9设折断处离地面的高度是X尺,即=根据勾股定理,AB2-^AC2=BC2即据+62=(10—
4.9【点睛】本题考查勾股定理的方程思想,解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程.
2.(
2022.上海.八年级单元测试)“赵爽炫图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为,较短直角边长为人若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的边长为()A.G B.2C.75D.V6【答案】C【详解】观察图形可知,小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积,利用已知(〃+匕)2=21,大正方形的面积为13,可以得出直角三角形的面积,进而求出小正方形的面积,即可得出小正方形的边长.解•••)3+82=21,/.a2+2ab+b2=2\,;大正方形的面积为13,2^=21-13=8,・••小正方形的面积为13-8=
5.・••小正方形的边长为遂.故选C.
二、填空题
3.(2022・上海・测试编辑教研五八年级期中)如图,点P是正方形A8CZ)内一点,且点P到点A、B、的距离分别为
26、正、4,则正方形A3CO的面积为【答案】14+473##473+14【分析】将ABP绕点3顺时针旋转90得到CBM,连接过点3作于由旋转的性质可知3尸=刚1=/,ZPBM=90°,进而根据等腰直角三角形的性质得到PM=P3=2,再根据勾股定理得到/PA纥=90,再由直角三角形斜边上的中线得到===最后根据勾股定理求解即可.【详解】解如图,将.A8P绕点B顺时针旋转90得到CBM,连接尸过点B作于”.由旋转的性质可知5P=8加=夜,ZPBM=90°,・•.ZBPM=ZBMP=45°,・・.PM=42PB=2,PC=4,PA=CM=,・・・PC2=CM2+PM2,・・・ZPMC=90°,.ZBPM=ZBMP=45°,,..NCMB=ZAPB=135・•・ZAPB+ZBPM=180°,.•.A,P,M共线,上BH PM,。