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大事的相互性重点大事同时发生的概率;难点有关大事的概率xpw题型事件独立性的判断1题型相互独立事件的概率计算2题型相互独立事件与互斥事件3题型相互独立事件综合应用4萼常考题型拿知识梳理一.相互大事、定义对任意两个大事与,假如成立,那么称大事与大事相互,简称1A3PAB=PAPB A B为.概念理解〔〕大事与相互式大事的发生不影响大事发生的概率,大事的发生不影1A B A BB响大事发生的概率;A〔〕由连个大事相互的定义,简单验证必定大事、不行能大事都与任意大事相互,这是由2Q0于必定大事总会发生,不会受任何大事是否发生的影响;同样不行能大事总不会发生,也不Q0会受任何大事是否发生的影响,当然他们也不影响其他大事是否发生、性质假如大事与大事相互,那么与豆,N与与否也都相互2A B A8,
1、两个相互大事同时发生的概率乘法大事与大事相互,那么3A8A8=PAP
3、推广两个大事的相互可以推广到〉个大事的相互性,即假设大事儿,4nn2,〃£N*4,,A〃【变式】〔全国高一专题练习〕甲、乙、丙三人组成一个小组参与电视台举办的听曲猜422023••歌名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜其次首,丙猜第三首,假设有一人猜错,那么活动马上结束;假设三人均猜对,那么该小组进入下一轮,该小组最多参与三轮活动.每一轮甲猜对唱名的概率是乙猜对唱名的概率是丙猜对唱名的概率是甲、乙、3,q,3,丙猜对与否互不影响.〔〕求该小组未能进入其次轮的概率;1〔〕该小组能进入第三轮的概率;2〔〕乙猜歌曲的次数不小于的概率.32313【答案】〔〕(;⑵];⑶11741616【解析】设该小组未能进入其次轮为大事A,31故该小组未能进入其次轮的概率为
1.〔〕设该小组能进入第三轮为大事23,故该小组能进入第三轮的概率为J.16〔〕设乙猜歌曲的次数不小于为大事32C,.3故乙猜歌曲的次数不小于的概率为正.210【变式】〔春高一单元测试〕甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋竞赛,赛程如下面的框432023•4图所示,其中编号为的方框表示第场竞赛,方框中是进行该场竞赛的两名棋手,第场竞赛的i ii胜者称为“胜者负者称为“负者第场为决赛获胜的人是冠.甲每场竞赛获胜i〃,i〃,6,a的概率均为:,而乙、丙、丁相互之间胜败的可能性相同.136〔〕求乙仅参与两场竞赛且连负两场的概率;1〔〕求甲获得冠的概率;〔〕求乙进入决赛,且乙与其决赛对手是其次次相遇的概率.23【答案】⑴晨⑵哉;⑶哉【解析】依据题意,乙获连负两场,所以、均负,14313所以乙获连负两场的概率为4=・4Z o〔〕甲获得冠,那么甲参与的竞赛结果有三种状况2胜胜胜;负胜胜胜;胜负胜胜,13614561356,2/A1o1所以甲获得冠的概率为
八、7+27X-14;4128〔〕假设乙的决赛对手是甲,那么两人参与的竞赛结果有两种状况3甲胜胜,乙负胜胜;甲负胜胜,乙胜胜,13145145133311133127所以甲与乙在决赛相遇的概率为尸/备,4H-4ZiZo假设乙的决赛对手是丙,那么两人只可能在第场和第场相遇,两人参与的竞赛36的结果有两种乙胜胜,丙胜负胜;乙胜负胜,丙胜胜,同时考虑甲在第场13235135234和第场的结果,511131111131105〃=—X—X—X—X—+—x422444—+—X—X—x—X—H--X—2422412乙与丙在第场和第场4相42遇的概率为836假设乙的决赛对手是丁,那么其概率与乙的决赛对手是丙相同,275537所以乙进入决赛,且乙与其决赛对手是其次次相遇的概率为菽+*+=备.iZo1Zo1Zo1Zo相互,那么这〃个大事同时发生的概率P(A44)=P
(4)P(A2)P
(4)
二、推断大事是否相互的方法、直接法假设大事的发生对大事的发生概率没有影响,反之亦然,那么这两个大事是相1A B互的,这是从定性的角度进行推断、公式法假设对两大事有(尸,那么大事相互.2A,B P AB A,8用相互大事的乘法公式解题的步骤〔〕用恰当的字母表示题中有关大事;1〔〕依据题设条件,分析大事间的关系;2〔〕将需要计算概率的大事表示为所设大事的乘积或假设干个大事的乘积之和(相互乘积的大3事之间必需满意相互);〔〕利用乘法公式计算概率.4
三、相互大事的概率计算公式两个大事相互,它们的概率分别为()⑻那么有A,8PA,P,大事表小概率同时发生A,B AB PAPB都不发生A,B AB(码网恰有一个发生A,B UPAP B+P APB(AB)U(AB)U(AB)中至少有一个发生A,B PAP B+P APB+PAPB(砌(朔U U中至多有一个发生A,B PAPB+PAPB+PAPB(A8)穹题型精析题型一大事性的推断【例】〔.高一课时练习〕以下大事中是相互大事的是〔〕12022A,8一枚硬币掷两次,第一次为正面“,”其次次为反面”A.A=5=.袋中有白黑的小球,不放回地摸两球,第一次摸到白球〃其次次摸到白B2,2A=,3=”球〃掷一枚骰子,=”消失点数为奇数〃,消失点数为偶数〃c.A5=”人能活至」岁〃,人能活到岁”D.A=I20B=50【答案】A【解析】对于中,把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互的,A其结果不受先后影响,故是大事;A对于:两个大事是不放回地摸球,明显大事与大事不相互;B A5对于大事应为互斥大事,不相互;C,A,B对于是条件概率,大事受大事的影响.应选D8A A.【变式】〔春.福建福州.高一校考期末〕抛掷一颗匀称骰子两次,表示大事“第一次是112022£奇数点〃,厂表示大事“其次次是点〃,表示大事“两次点数之和是表示大事“两次点3G9〃数之和是〃,那么〔〕
1.尸与相互C G413【解析】由题意得尸⑸=*/尸⑺1一P G=-=-PH=36973612【答案】A21PEPG=lxl=-t,PEG=PEPG,291o对于选项A尸(EG)_=R,所以和相互,故正确;E GA对于选项B P(即)$,尸⑸尸⑻=,PEHHPEPH,所以和“不相互,故错误;E B对于选项上CPFG=,PFPG=|xl=J-,PFGwPFPG,36o954所以尸和不相互,故错误;G C对于选项D PGH=0,PGPH=X±=*,PGH PGPH,912IUo所以和“不相互,故错误;应选G D A【变式】〔.高一课时练习〕有个相同的球,分别标有数字,从中有放回12202261,2,3,4,5,6的随机取两次,每次取个球,甲表示大事”第一次取出的球的数字是乙表示大事”其次11〃,次取出的球的数字是丙表示大事”两次取出的球的数字之和是丁表示大事“两次取出2〃;8〃;的球的数字之和是,那么〔〕7〃甲与丙不相互甲与丁不相互A.B.乙与丙不相互.丙与丁不相互C.D【答案】ACD【解析】由题意可知,两点数和为的全部可能为两点数和为的82,6,3,5,4,4,5,3,6⑵,7全部可能为1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1,尸〔甲弓,〔乙=,[丙=总总,[丁=捷,P P P4〔甲丙〕〔甲〔丙,=0#PP〔甲丁〕=与=〔甲〔丁、BPP0Jo〔乙丙〕=尸〔乙夕〔丙,C P〔丙丁〕〔丙〔丁,应选D PP ACD.【变式⑶〔高一单元测试〕〔多项选择〕抛掷一枚质地匀称的骰子所得的样本空间为2022,令大事人,那么以下说法中错误的有〔〕Q={123,4,5,6}3={2,3,5},{1,2,3},C={1,2}与与与A.A BB.A CC.3C D.CcB【答案】AC【解析】由题意得”={2,3},8C={1,2},G4={2},那么=《,;PA=PGB=2,PC=,PAB PBC=,PAC=^=PAPC.23336故只有与正确.A C.B大事人,满意正确.应选C={1,2},{1,2,3}Cqb,D AC题型二相互大事的概率计算【例】〔.全国.高一专题练习〕出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗,22023各交通岗信号灯相互.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是!,那么他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为〔〕——B—Q D—•24*27*9,27【答案】B【解析】由于司机老王在第
一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯之间是相互的,且遇到红灯的概率都是;,12所以未遇到红灯的概率都是彳,1-=2214所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为晟,应选=U BJ J///【变式】〔春.辽宁本溪.高一校考阶段练习〕某中学的“信息〃”足球〃摄影三个社212023团考核选择新社员,高一某新生对这三个社团都很感爰好,打算三个考核都参与,假设他通过“信息〃”足球〃”摄影〃三个社团考核的概率依次为;,阳,,且他是否通过每个考核相互,假设三个社团考核他都通过的概率为],至少通过一个社团考核的概率为那么2,工vZ Jc-t D-i〔m+n=【答案】B【解析】因至少通过一个社团考核的概率为巳,JL那么三个社团都没有通过的概率为白,依题意,1一mn--—mn=3307on10\\4解得根+〃=而.应选:即B.j2-X〜/【变式】〔.全国.高一专题练习〕甲、乙、丙、丁进行足球单循环小组赛〔每两队只进222023行一场竞赛〕,每场小组赛结果相互.甲与乙、丙、丁竞赛获胜的概率分别为且Pl,〃2,P3,〉>.记甲连胜两场的概率为,,那么〔〕POP2P3甲在其次场与乙竞赛,最大A.甲在其次场与丙竞赛,,最大B.甲在其次场与丁竞赛,,最大C.与甲和乙、丙、丁的竞赛次序无关D【答案】A【解析】由于甲连胜两场,那么其次场甲必胜,
①设甲在其次场与乙竞赛,且连胜两场的概率为4,那么月例+—〃四〃;1=21—2Pl〃2Pl—4,232=〃2+2,3
②设甲在其次场与丙竞赛,且两场连胜的概率为鸟,那么月+〃;6=21-pj21-2〃44〃2PP2P3+P1P2=23-3
③设甲在其次场与丁竞赛,且两场连胜的概率为居,那么月〃月+〃一口6=21—R3+21=2,34P2P
3.,2〃232所以4—8=2小“一〃2>°,6-6=2〃月一〃3>,22-6=2〃/〃3>,所以[>£>£,因此甲在其次场与乙竞赛,P最大,A正确,B,C,D错误.2-〃应选A.【变式】〔.高一单元测试〕北京冬奥会期间,桔祥物冰墩墩成为“顶流〃,吸引了2320222022很多人购置,使一“墩〃难求.甲、乙、丙人为了能购置到冰墩墩,商定人分别去不同的官33方特许零售店购置,假设甲、乙人中至少有人购置到冰墩墩的概率为丙购置到冰墩墩的概21g,率为!,那么甲,乙、丙人中至少有人购置到冰墩墩的概率为.31【答案】I【解析】由于甲乙人中至少有人购置到冰墩墩的概率为21g,所以甲乙人均购置不到冰墩墩的概率24=:,由于丙购置到冰墩墩的概率为!,12所以丙购置不到冰墩墩的概率鸟=,1121所以甲乙丙人都购置不到冰墩墩的概率36乙JJ2于是甲乙丙人中至少有人购置到冰墩墩的概率=可.31P6故答案为I.题型三相互大事与互斥大事【例】〔秋吉林高一吉林一中校考阶段练习〕抛掷一颗质地匀称的骰子,有如下随机大32023•・事向上的点数为/,其中/==”向上的点数为奇数〃,那么以下说法正确的选4=1,2,3,4,5,6,5项是〔〕与互斥=与否相互A.A8B.4+8C,4D.A4n3=0【答案】D【解析】对于可=与不互斥,故错误;A,{2,3,4,5,6},3={1,3,5},4BA对于故错误;B,4+3={2}u{l,3,5}={l,2,3,5}wQ,B对于与否不能同时发生,是互斥大事,不是相互大事,故错误;C,4C对于,故正确.应选D,A={4},B={1,3,5},=0D D.【变式】〔春.全国.高一专题练习〕,炉)=(,即)=],那么大事与312023P(AIB)=||A o4的关系是〔〕B与互斥不对立与对立A.A8B.A B与相互与既互斥又C.A8D.A8【答案】C【解析】由P(司=(可得尸(A)=l-P(可,7由于P(A)+P
(3)=d,P(AB),那么A与8不互斥,不对立,O3由P(AU3)=尸(匈+尸(可一尸(A5)可得P(Ac8)=,由于,所以与相互应选:P(A)XP(B)=^=P(ACB)A3C【变式】〔.全国高一专题练习〕袋内有个白球和个黑球,从中有放回地摸球,假如322022•32“第一次摸得白球〃记为大事,“其次次摸得白球〃记为大事那么大事与与A8,48,A8间的关系是〔〕与与月均相互A.A3,A与相互,与互斥B.A5A8与与均互斥C.A B,A8与互斥,与否相互D.A3A【答案】A【解析】由于是有放回地摸球,大事的发生并不影响大事的发生,故与与均相互.A BA3,A8应选A【变式】〔春.福建漳州.高一统考期末〕〔多项选择〕设是两个概率大于的随机大332022A,8事,那么以下结论正确的选项是〔〕A.P(A)P(B)>1B.假设A和8互斥,那么A和8肯定相互+.假设大事那么.假设和相互,那么和肯定不互C A=B,P(A)WP
(3)DA BA8斥【答案】CD【解析】对于A,假设P(A)<J,,那么尸(A)+P
(3)<1,A错误;对于、,假设大事和互斥,那么,假设大事和相互,B DABP(M)=A3那么P(M)=P(A)尸
(5)>0,B错误,D正确;对于,假设大事包含大事,那么尸()〈尸
①),正确.应选C BA AC CD.题型四相互大事综合应用【例】〔春.全国高一专题练习〕在高中同学训表演中,同学甲的命中率为,同学乙的42023•命中率为,甲乙两人的击互不影响,求〔〕甲乙同时射中目标的概率;1〔〕甲乙中至少有一人击中目标的概率.2【答案】⑴
0.12;⑵
0.58【解析】〔〕设“甲击中目标〃为大事,“乙击中目标〃为大事1A5,那么「解=且大事相互,
0.4]3=
0.3,A,5所以甲乙同时射中目标的概率为PA©=PA.P⑻=
0.4x
0.3=
0.
12.〔〕设“甲乙中至少有一人击中目标〃为大事2C,那么它的对立大事为“甲乙都没有击中目标〃记为那么尸,方—AB,C=l—P=1尸可耳=・p1—1—041—
0.3=
0.
58.【变式】〔春.福建福州高一校联考期末〕为普及抗疫学问、弘扬抗疫精神,某学校组织412022•防疫学问竞赛.竞赛共分为两轮,每位参赛选手均须参与两轮竞赛,假设其在两轮竞赛中均33胜出,那么视为赢得竞赛,在第一轮竞赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,在其次轮竞1赛中,甲、乙胜出的概率分别为不子甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.〔〕从甲、乙两人中选取人参与竞赛,派谁参赛赢得竞赛的概率更大?11〔〕假设甲、乙两人均参与竞赛,求两人中至少有一人赢得竞赛的概率.2【答案】〔〕甲;〔〕|12O【解析】〔〕设大事表示“甲在第一轮竞赛中胜出〃,大事表示“甲在其次轮竞赛中胜出〃,1A4大事均表示“乙在第一轮竞赛中胜出〃,大事不表示“乙在其次轮竞赛中胜出〃,那么表示“甲赢得竞赛”,A4322月表]=二,44=044=313耳当表示,乙赢得竞赛“,尸出=//小4^=P4P ZO23,派甲参赛赢得竞赛的概率更大.7・•・J O〔〕设表示“甲赢得竞赛”表示乙赢得竞赛”,2C_23—35由⑴知20=1—*44=1—三=三,P D=I-P”2=I-D do o表示“两人中至少有一个赢得竞赛“,・•・CD一一-355=一・・・PC u1PCD=1-P©PD=l——x—=—588所以两人至少一人赢得竞赛的概率为|.O。