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全称量词与存在量词目录学习内容与学习目标知识梳理学法指导自学与预习基础检测错误!未定义书签考点剖析2错误!未定义书签考点一全称量词命题与存在量词命题的辨析2错误!未定义书签考点二全称量词命题与存在量词命题的真假判定错误!未定义书签考点三由全称量词命题的真假求参5考点四由存在量词命题的真假求参6考点五全称量词命题的否定7考点六存在量词命题的否定8考点七全称量词命题、存在量词命题的综合应用9课堂练习10出学习内容与学习目标
1.理解全称量词、全称量词命题的定义
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.4,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.AM%一/\/口知效梳理/•—________________________________/全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个V命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题“对M中任意一个x,px成立”,可用“存在中的元素x,px成立,可用符命题形式符号简记为必“号简记为〃幻”含量词的命题的否定结论P全称量词命题px㈱px全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题px PxRM,浙x存在量词命题的否定是全称量词命题全称量词命题或存在量词命题的判断[答案]C【3析】根据给定条件,利用求存在量词命题否定的方法判断作答.【详解】命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”是存在量词命题,其否定为全称量词命题,所以所求命题的否定是任意一个无理数,它的立方不是有理数.故选cQ课堂练习
1.命题P玉o£(O,y),使得42-〃+1成立,若〃为假命题,则2的取值范围是()A.{2|22}B.{2|22}C.{2|-222}D,—2或;IN2}[答案]A【4言】根据题意可得Y为真命题,再参变分离求解即可.【详解】由题意,〃为假命题,故可为真命题,故也£(0,内),x2-/lx+l0,故\/x£(0,+co),Ax+-,又当X£(0,+8)时,x+-2X x2=2,当且仅当x=l时,等号成立,xx所以2的取值范围是{川442}・故选A.
2.如果命题“叫e R,使得与2+(4_1区+10,,是假命题,那么实数的取值范围是()D.[-1,1]A.[1,3]B.[-1,3]C.[-3,3]【答案】B【分析】特称命题是假命题,则该命题的否定为全称命题且是真命题,然后根据AW0即可求解.【详解】依题意,命题“王…凡使得年+⑺-1卜+10,,是假命题,则该命题的否定为“力£凡Y+g—Dx+iNO,且是真命题;所以△=(〃—if—440,.•.一1〃
3.故选B
3.已知命题“四)ER,片+%-4Q0”为假命题,则实数a的取值范围为()()A.[-16,0]B.-16,0()C.[T]D.T【答案】A【分析】首先写出特称命题的否定,再根据不等式恒成立,求实数的取值范围.【详解】由题意可知“V^GR,x2+ax-4a..O”为真命题,所以A=tz2+166/,,0,解得—16麴h
0.故选A
4.已知命题p{x|lx3},x-a0,若T7是真命题,则实数4的取值范围是()A.a\B.a3C.a3D.a3【答案】D【分析】根据给定条件写出命题再由全称量词命题是真命题即可得解.【详解】因命题p{x|lx3},x-a0则有命题T7{x|lx3},x-a099又R是真命题,即x£{x|l〈x3},恒成立,于是得所以实数〃的取值范围是位
3.故选D
5.命题Fx«l,2],Y+x—.wo,,为假命题,则Q的取值范围为()()()A.-8,2B.-oo,6C.(一8,2]D.(一8用【答案】A【分析】由于命题是假命题,可得其否定为真命题,然后可以建立关系即可求解.【详解】••・命题“玉目1,2],炉+尤一为假命题,,该命题的否定“VX£[1,2],f+x—QO”为真命题,即f+x—在xqi,2]上恒成立,•・・=/+%_々在[1,2]单调递增,\y=2-6/0,解得
2.故选A.min判命题判断该语句是否为命题田自学与预习基础检测
1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.()X
2.全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(J)
3.“三角形内角和是180”是全称量词命题.(V)
1.p(x)与㈱p注意:全称量词命题可以省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.(x)的真假性相反.(V)
2.“任意x£R,Neo,的否定为X20”.(j)
3.|x|=x是假命题.()X全称量词命题与存在量词命题的辨析Q考点剖析
1.下列命题中是存在量词命题的是()A.平行四边形的对边相等B.同位角相等C.任何实数都存在相反数D.存在实数没有倒数【答案】D【分析】利用全程量词和存在量词的定义,找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题,D选项为存在量词命题.【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知,A选项,〃平行四边形的对边相等〃是所有的平行四边形性质,是全称量词命题;B选项,〃同位角相等〃是所有的同位角都相等,是全称量词命题;C选项,〃任何实数都存在相反数〃中的〃任意〃是全称量词,故其为全称量词命题;D选项,〃存在实数没有倒数〃中的〃存在〃为存在量词,其为存在量词命题.故选D
2.下列命题是全称量词命题的个数是()
①任何实数都有平方根;口所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是
180.A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】根据全称命题的定义即可判断答案.【详解】根据全称命题的定义可得
①②④中命题,指的是全体对象具有某种性质,故
①②④是全称量词命题,
③中命题指的是部分对象具有某性质,不是全称命题,故选D.
3.下列命题中特称命题的个数是().sinx
1.A.0B.1C.2D.3
①有些自然数是偶数;
②正方形是菱形;
③能被6整除的数也能被3整除;
④对于任意XER,总有【答案】B【分析】根据特称命题和全称量词命题的定义作出判断.【详解】对
①含有存在量词,故为特称命题;对
②可以描述为所以正方形都是菱形,为全称命题;对
⑥可以描述为所有能被6整除的数也能被3整除,为全称命题;对
⑥含有全称量词,故为全称命题;故特称命题的个数为
1.故选B.
4.下列命题是全称量词命题的是A.存在一个实数的平方是负数B.每个四边形的内角和都是360°C.至少有一个整数1,使得f+3x是质数D.HxeR,【答案】B【分析】根据全称量词命题的定义分析判断.【详解】对于ACD,均为存在量词命题,对于B中的命题是全称量词命题.故选B
5.下列结论中正确的个数是
①命题”所有的四边形都是矩形〃是存在量词命题;
②命题VxcR,f+i〈0是全称量词命题;
③命题“*wR,x2+2x+l0〃是真命题;
④命题〃有一个偶数是素数〃是真命题.A.0B.1C.2D.3【答案】D
①命题是全称量词命题;
②命题是全称量词命题;
③④,通过举例得到命题是真命题.【详解】
①命题〃所有的四边形都是矩形〃是全称量词命题,不是存在量词命题,所以该命题是假命题;
②命题〃VxwR,d+]0〃是全称量词命题,所以该命题是真命题;
③命题玉£R,X2+2X+10,如尤=-1,所以该命题是真命题;
④命题〃有一个偶数是素数〃是真命题,如2,所以该命题是真命题.故选D
6.下列命题中全称量词命题的个数是
①任意一个自然数都是正整数;
②有的平行四边形也是菱形;
③〃北3,〃N*边形的内角和是/i-2xl
80.A.0B.1C.2D.3【答案】c【彳析】利用全称量词命题的定义可得出结论.【详解】命题
①③为全称量词命题,命题
②为存在量词命题.故选C.0考点二全称量词命题与存在量词命题的真假判定方法与技巧1要判断一个全称量词命题为真,必须对于给定集合的每一个元素X,命题px为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素X,使命题px为假.2要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题px为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对于给定集合的每一个元素羽命题px为假.
1.下列命题中既是全称量词命题,又是真命题的是()A.菱形的四条边都相等B.3xeN,使2x为偶数C.VXE R,/+2冗+10D.兀是无理数[答案]A【3析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义以及真假判断,一一判断各选项,即得答案.【详解】对于A,所有菱形的四条边都相等,是全称量词命题,且是真命题.对于B,3xeN,使2x为偶数,是存在量词命题.对于C,VXGR,X2+2x+l0,是全称量词命题,当户-1时,%2+2%+1=0,故是假命题.对于D,兀是无理数,是真命题,但不是全称量词命题,故选A.
2.下列命题中是真命题的为()A.3XGN,使4x—3B.3xeZ,使2x—1=0C.VxeN,2Xx2D.VxeR,x2+20【答案】D【分析】根据特殊命题的真假判断A,B;当x=2时,22=22=4,从而判断C;由W2,可得/十?之20,从而判断D.【详解】解对于A,由4x-3,可得所以不存在xeN,使4x-3成立,故错误;对于B,由2x—1=0,可得x=;,所以不存在xeZ,使2x—1=0,故错误;对于C,当x=2时,22=22=4,故错误;对于D,因为当xeR时,^20,x2+220,故正确.故选D.
1.
1.知P,为R的两个非空真子集,若4Q\尸,则下列结论正确的是()A.Vxeg,x^P B.3x x00C.却史Q,D.,XEAQ【答案】B【分析】根据条件画出Venn图,根据图形,判断选项.对于选项A由题意知P是的真子集,故去£Q,x^P,故不正确,【详解】因为44P,所以P Q,如图,对于选项B由原是的真子集且*Q,都不是空集知,土…条尸,/£条,故正确.对于选项C由QQ是、尸的真子集知,VxeQ,故不正确,对于选项D是的真子集,故三工£第,九纪QQ,故不正确,故选B
4.下列命题是全称量词命题并且是真命题的是()A.所有菱形的四条边都相等B.若2x是偶数,则存在-使得x£NC.任意x£R,/+21+10D.兀是无理数[答案]A【4析J首先判断全称量词命题,再判断真假.【详解】选项A、C是全称量词命题,选项C,当产-1时,/+2工+1=(),所以选项c是假命题,故选A
5.下列命题为真命题的是()A.VXGR,X2+30B.VXGN,X21C.3x eZ,x51D.3xeQ,x2=5【答案】C【分加】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【详解】对于A,因为父20,所以DX£R,X2+3N3,A错误;对于B,当x=时,%21,B错误;对于C,当x=0时,%51,C正确;由/=5可得x=土行均为无理数,故D错误,故选:C0考点三由全称量词命题的真假求参方法与技巧求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称存在量词命题为真的问题,实质就是不等式恒成立能成立问题,通常转化为求函数的最大值或最小值.
1.命题“心£口,2],是真命题的充要条件是A.a4B.a4-C.a1D.al[答案]B【亲£】直接利用恒成立问题的建立不等式,进一步求出实数的取值范围.【详解】命题“VX£[1,2],%2—f为真命题,则42均在[1,2]上恒成立,VXG[1,2],则QN
4.故选B.2,若命题“八£尺/一4%+0»为假命题,则实数的取值范围是A.-8,4]B.-x,4C.-oo,-4D.[-4,+oo[答案]A【3析】由题意,写出全称命题的否定,根据其真假性以及一元二次方程的性质,可得答案.【详解】命题“DXER/2_4x+0”为假命题一・.“1XO£R,X-4/+=0”是真命题,・•・方程Y—4X+Q=0有实数根,则△=—4了一420,解得故选A.
3.已知命题“以包-3,3],—丁+41+〃0,,为假命题,则实数的取值范围是A.-4,+oo B.21,+ooC.-oo,21D.-3,+oo【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.【详解】因为命题“立4―3,3],—f+4犬+4o”为假命题,所以一f+41+〃0在xe[-3,3]上有解,所以一/+4x+6z0,max4而一兀二次函数一犬+4x+a在工=一^~~^~^=2时取最大值,即—22+4X2+Q0解得-4,故选A2x-
14.若命题〃Dx«-1,3,2%-〃0〃为假命题,则实数可取的最小整数值是A.-1B.0C.2D.3【答案】A【分析】先由Dx«-1,3,2x—〃0求得实数〃的取值范围,再由命题〃Vx«-1,3,x2-2x-a0//为假命题即可求得实数〃可取的最小整数值【详解】若DX£T3,x2-2x-a0,则以£—1,3,^2-2%,x4/X=X2-2X,XG-1,3,KIJ/X12-2X1=-1,则Q—1由命题〃Dx«T3),2x—Q0〃为假命题,可得心T则实数〃可取的最小整数值是-1故选A5,若命题p:X/x£R,mx2+i为假命题,则实数机的取值范围为()()A.m0B.m0C.m D.m0【答案】A【分析】由命题入£R,g2+”o为真命题求解.【详解】解因为命题P八£尺如2+1为假命题,所以命题女£足g2+1〈为真命题,所以W0,故选A即求命题VxwR,x2—or+10”为真命题的充要条件.若命题“Vx^R,f一改+i〃为真命题,则A=4—40,解得-
22.0命题王£R,%;—CIXQ+10为假命题的充要条件是a w(-2,2).故选D由存在量词命题的真假求参
5.已知命题〃天()£氏,五;+(-1)/()+1V是假命题,则〃的取值范围为()(A.—1W Q3B.—1Q3C.或Q3D.或Q3【答案】A【分析】根据假命题的否定是真命题,结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】因为命题〃:却七尺,x;+(-1)/+10是假命题,全称量词命题的否定所以r:X/x£R,X+gfx+iNO是真命题,于是有△=(〃—1尸—40n—.故选A.方法与技巧全称量词命题p V无£M,p(x),它的否定幺弟p3x^M,㈱p(x),全称量词命题的否定是存在量词命题.
1.已知命题V%eZ,|j|eN,则该命题的否定是()A.VxeZ,国任N B.HxeZ,|^eNC.HxeZ,|^N D.王史Z,|x|wN[答案]C【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知原命题的否定为玉£Z,|x|eN.故选C.
2.已知命题pVx£(0,+co),d〉x,则命题〃的否定是()A.Vxe(0,+oo),%3B.3XG(0,4W),3X XC.3xe(O,4w),x3x D.V^^(0,4w),3xx【答案】B【与苏】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立;故命题,的否定为王£(0,小),%34工.故选B
3.已知命题〃VxeN,x3l,则/为()A.VxeN,x31B.Vx\N,%31C.3xeN,x31D.HxeN,A:31[答案]D【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】由题意知I,命题P的否定为.故选D.
4.命题“DXEQ,V—50”的否定为()A.3x^Q,X2-5=0B.VXGQ,f-5=0C.VxeQ,2—5=0D.3xeQ,^2-5=0【答案】D【分加】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】原命题为全称量词命题,该命题的否定为FxeQ,*一5=0,,.故选D.
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和则哥德巴赫猜想的否定为()A.任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和B.任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和C.至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和D.至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和【答案】D【分加】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和工故选Da考点六存在量词命题的否定方法与技巧对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.
1.设命题PV〃wN,/3+4,则〃的否定为()〃A.£N,/3+4C.3/+4[答案]C【分析】根据含有量词的命题否定方法求解.【详解】因为命题pV〃£N,〃23鹿+4,所以,的否定为:射£电/之3〃+
4.故选C.
2.命题P V〃ER,一元二次方程好_I=有实根,则对命题,的真假判断和力正确的为()A.真命题,-p:e R,一兀二次方程必一_]=无实根B.假命题,—p:BaeR,一元二次方程炉一火一1=0无实根C.真命题,—p:BaeR,—元二次方程必一⑪_]=0有实根D.假命题,—piBaeR,一元二次方程必一一i=o有实根[答案]A【4析】利用判别式判断根的情况,进而判断命题真假,并写出否命题即可.【详解】在一元二次方程――融—1=0中△二片+40恒成立,故对任意Q,方程都有实根,故命题〃为真命题,-p36/eR,一元二次方程必―妙_1=0无实根.故选A
3.命题“VXER,d+x—i,,,的否定是()A.BLreR,+x-l0B.HXGR,工2+工一140C.VxeR,x24-x-l0D.3xeR,x2-^x-l0【答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“VxwR,Y+x—l〉”为全称量词命题,该命题的否定为“玉wR,f+x—Ko,,.故选B.
4.命题P DX£{H14X5},X2-4X5,则命题〃的否定是()A.3XG{X|1JC5),X2-4X5B.BX^[X\1X5],x2-4x5C.Vxg(x|lx5),X2-4X5D.Vxe{x|lx5},x2-4x5[答案]A【4析】根据含有一个量词的命题的否定,即可判断出答案.【详解】由题意得P VX£{WX5},丁―以5为全称量词命题,故命题〃的否定是*w{x[lx5},X2-4X5,故选A
5.已知命题一xzo,则力为()A.3x0,x2-x0B.Vx0,x2-^0C.3x0,x2-x0D.Vx0,x2-x0【答案】C【为加】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.全称量词命题、存在量词命题的综合应用【详解】命题〃:VxNO,/_工2(),则nP为*20,工一%
0.故选c2方法与技巧求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称量词命题(或〃为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函
(1)VxeM,y)”数的最大值(或最小值),即(或ay in)•y4ymax m对于存在量词命题(或勺)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数的最小值(或最大值),
(2)a y即(或勺C»ymin max).
1.命题Fx£[0,+8,x3+x0»的否定是A.VAe-oo,0,x3+x0B.Vxe[0,+oo,x34-x0C.3XG[0,+X,X34-X0D.3xe[0,+x,x3+x0【答案】B【分析】利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式.【详解】命题“土«0,+),丁+工0,,的否定是也句0,+0)),%3+%2故选B
2.命题p:*L2”的否定为()A.Vxl,x2-2x0B.VxL x2-2r0C.Bxl,X2-2X0D.3^L X2-2X0【答案】A【分析】根据题意,由特称命题的否定是全称命题即可得到结果.【详解】原命题的否定为VxL f-20,故选:A
3.命题“HXE—1,2],/〈I”的否定是()A.3xe[-l,2],x21B.*旬一1,2],21xC.Vxe[-1,2],x2l D.V^e[-1,2],21x【答案】D【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.【详解】由特称命题的否定知原命题的否定为Vx«-1,2],Ynl故选D.
4.命题FxwR,x+N
0.”的否定是()A.3A:GR,x+|x|0B.VXGR,x+|^|0C.3XGR,%+|^0D.X/xgR,X+|X|20【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式,直接判断选项.【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题,所以命题TXER,X+N
0.”的否定是“VXER,X+N20”.故选B
5.命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”的否定是()A.任意一个有理数,它的立方是有理数B.存在一个有理数,它的立方是有理数C.任意一个无理数,它的立方不是有理数D.存在一个无理数,它的立方不是有理数
1.已知命题使4/+(—2)x+;0〃是假命题,则实数的取值范围是()()()()()A.0,2B.0,1C.0,4D.,,4【答案】C【分析】根据题意可得〃VxwR,使4d+(a—2)x+1()〃是真命题,再根据二次不等式恒成立满足的判别式关系求解即可.【详解】命题〃玉GR,使4/+(Q—2)x+*0〃是假命题,命题X/xGR,使4x12*4+(〃-2)x+(0是真命题,贝I」判别式△=(〃-2)2—4x4x,0,解得0VOV
4.故选C.
42.已知命题pIVER,/+21+2-々=0为真命题,则实数的值不能是()A.1B.2C.3D.-3[答案]D【4小】利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.【详解】因为命题pIXER,/+2尤+2-=为真命题,所以A=4-4(2-4)20解得21,结合选项可得实数〃的值不能是-3,故选:D.
3.命题使得他/一65+左+8成立.若〃是假命题,则实数攵的取值范围是()(A.[0,1]B.0,1]()()C.-oc,0u l,+oo D.【答案】A【分析】根据P是假命题,得出M为真命题,利用恒成立知识求解.【详解】因为p是假命题,所以9为真命题,即VxwR,使得点2—6代+左+820成立.当攵=0时,显然符合题意;当攵0时,则有攵〉0,且36公—必(攵+8)40,解得0%
41.故选A.
4.命题玉oWR,X-叫+14为假命题的充要条件是()A.2,2]B.〃£(一2,1)C.Q«—2,1]D.Q£(—2,2)【答案】D【分析】由题意只需命题/—以+[0〃为真命题的充要条件,从而可得A=Q2—4O,解不等式即可.【详解】求命题〃*°wR,X-%+140〃为假命题的充要条件,。