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文本内容:
集合间的基本关系
1.2知识点子集1
①概念对于两个集合如果集合的任何一个元素都是集合的元素,我们说这两个集合有包含4B,4B关系,称集合是集合的子集()48subset.记作/(或二)读作包含于或包含884,A B,8A当集合不包含于集合时,记作(《或边)4B4B B A.
②图Verm真子集2概念若集合但存在元素%且%《则称集合/是集合的真子集.4G8,€548记作(或)A uB Bo A读作真包含于(或真包含)488/类比与u的关系就好比工与小于〈的关系,是小于或等于,是真包含或相等;G G”是对的,而是错的,若则也成立;Eg3433V3avb,a4b对比下,是对的,但是错的,若贝必也成立.4U44u A4uB,1U5集合相等3如果是集合的子集,且集合是集合的子集,则集合/与集合相等.48B4B即且力Q/=4U B B U B.几个结论4
①空集是任何集合的子集004
②空集是任何非空集合的真子集;
③任何一个集合是它本身的子集;
④对于集合如果且那么;4,B,C,4c88c C,4c C典型例题
⑤集合中有几个元素,则子集的个数为九,真子集的个数为九22-
1.、设是两个集合,有下列四个结论:14B
①若则对任意工有工£;A28,€48
②若则集合中的元素个数多于集合中的元素个数;8,48
③若则《84
④若则一定存在%有4Z8,E4xWB.其中正确结论的个数为A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】对于
①,不一定,比如.故错误;4={1,2,4},8={1,2,3}
②若力《不一定,比如•故错误;8,4={124},B={1,2,3,5,6}
③若则但不成立,故错误;B4
④若则一定存在%有史故正确.428,64x B,故正确结论的个数为个,1故选D、已知集合24={x\x=k+-,k EN},B={x\x=——-,m6N},C={x\x=-+-f62326几则集合、、的大小关系是GN},4B C屋A.A^C^BB.C BC.A^B=C D.A^B^C【答案】A【解析】•・,集合c={%|=I+;,n EN,
26.・.当n=2aa eN时,X=§+=0+当时,%一;+=一n=b-lb GN*3=3g1Z O Z ZOZD又•.,集合・是A={x\x=k+-,k eN},,.4C,6又二,集合3=x\x=——-,m eN},23・・.集合B比集合C多一个元素即曝B,综上所求故选A.、已知集合=卜|%=几则集合的关系是3M rn+G z},N=|%G z},M,N曝A.MUN B.M NC.N QMD.N M【答案】B【解析】设几=或2m2n174,meZ,则有等一或%=—或%=N={%|%=m+3mez}.2Tl—又・.・M=\x\x=m+-fmE Zb:.M曝N.、已知集合」且中至少含有一个奇数,则这样的集合力有【答案】44*{02},43【解析】•・•集合4£[0,1,2,・・・4=0,{0},{1},{2},{0,1},{012},{1,2}.・・・4中至少含有一个奇数,.・・4={1},{0,1},{1,2}.・・.这样的集合4有3个.、已知集合/=2若/U围.5{x|lx2},B={x\x—ax+40],B,【答案】a V
4.【解析】集合24=%|1%2],B=[x]x-ax+40],若/一定非空,U8,B若△二2-1640,得—44aW4,B=R,4UB成立,个.若〉即或者设/%=%2—2k0,a4a—4,ax+4,
1./l=l-a+4=5-a0,即对称轴§所以Q45,VO,a—4,
22.f2=8-2a0,即对称轴与之不成立,a44,2,综上,6-8,4].基础题型训练求实数的取值范Q
一、单选题设集合2且则实数为
1.A={L x},B={x},BEIA,xA.0B.1或或C.01D.-1【答案】A【分析】根据集合的包含定义,确定集合中元素的值.【详解】因为所以的30A,4,所以或2/工解得x=l x=x,1,o.x=故选A.已知集合则的子集共有()
2.4={0,1,2},A个个个个A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据集合中元素的个数,以及集合子集的个数〃,简单计算可得结果.2【详解】集合的子集共有个.A23=8故选D.【点睛】本题考查集合子集个数的计算,识记常用结论,假设集合元素个数为〃,则该集合子集个数为真子集个数为,非空子集个数为,非空真子集个数为〃,属基础题.2,2-12-12—2已知集合人=卜|/=则下列表述正确的是()
3.1},A.1UA B.{0}^A C.=A D.{l}eA【答案】C【分析】确定集合中的元素,然后判断各选项.A【详解】由已知关系符号全错,只有正确.A={-1,1},ABD C故选C.集合=则产户的值为
4.9+18A.0B.-1C.1D.±1【答案】B【分析】先由集合相等解参数〃,代入式子求解.h,【详解】解由元素的互异性可知且有意义得故所以必有4W1,QWO,QW/,a解得a=a+b,b=O,代入化简得{,〃,〃}=所以/则〃=_],{1,4,0}=1,〃()...239+218=_12019+218=—1/7()故选3【点睛】本题关键是元素的互异性的把握,这一类题目都必会涉及元素的互异性.已知集合加={(/)},则加%^为()
5.1|%1},N={%|y=lg3x—)(,)()()A.[3,+oo B.1+8C.1,3D.0,+a【答案】D【解析】化简集合根据并集运算即可.N,【详解】由解得3x-fo,0%3{
(2)}{2}(),\N=x\y=lg3x-x=x13x-x0=0,3,().•.MUN=0,+8,故选D【点睛】本题主要考查了二次不等式,集合的并集,属于容易题.已知集合{%|炉+「=}{}则实数的值为.
6.0=0,1,A.-1B.0C.1D.2【答案】A【详解】依题意,有{}={}所以,选0,—0,1,a=-l.A.
二、多选题下列关于集合的说法,正确的是()
7.集合}与{是的正因数}相等A.2,36集合{左一次£©与{左+}相等
8.x|x=21x|x=2l,ZwZ集合{是长方形}与{乂是两条对角线相等的平行四边形}相等C.x|x X22集合}与{}相等D.ly=—y|y=—X X【答案】BCD【分析】根据两集合相等的定义,逐一判断即可.【详解】解因为{小是的正因数}二{}{}故错误;6123,6w l,2,3,A因为{%|%=2左-1#《Z}:是奇数},{x|x=24+1,ZGZ}二{九|x是奇数},所以{}{}故正确;X|X=2A—1M£Z=X|X=2Z+1,Z£Z,B2222因为},{x|y=—}={x|xw3y=—}=3},所以X{%ly=T={yly=-}.X X故选BCD.下列表示正确的是
8.〃A.{}B.0c{o}{-1,1}{-1,0,1C.{a}e{a b}9D.因为{是两条对角线相等的平行四边形}二{是长方形},故正确;XX XXC【答案】BD【分析】根据元素与集合,集合与集合的关系逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于由元素与集合的关系可知,£{},故选项错误;A A对于因为空集是任何集合的子集,所以口{}故选项正确;B0,B对于由子集的定义可知{}={/},则选项错误;C c对于由真子集的定义可知故选项正确;故选D{-1,1}{-1,0,1},D BD.
三、填空题已知集合人={=卜,工+区},且则实数的值是.【答案】
9.1},82+24=0»£a-3【分析】根据得出是方程%之〃的解,将代入方程/中进A=3x=l+2x+=0x=l+2X+Q=0行计算,即可得出结果.【详解】因为卜〃()A={1},3={12+2%+=},AcB,所以是方程/的解,x=l+2X+Q=0即〃=,解得=—12+2x1+
3.经检验,〃=—符合题意,所以〃=—
33.故答案为-
3.集合的真子集有个.
10.{1,2,3,4}【答案】15【分析】按照真子集的元素个数分类列举,即可得到所有真子集的个数.【详解】集合的真子集为{123,4}共有个.0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}15故答案为
15.【点睛】本题考查集合的真子集的个数问题,属基础题,直接列举即可,列举时注意按照真子集的元素个数分类列举,要不重不漏.有四个集合
①{小卜
②();
③卜卜/训;
④卜卜;其
11.2+3=3{%y|y=-2_X+1=O,X£H}中表示空集的序号是;【答案】
④【分析】不含任何元素的集合称为空集,分别判断上述集合中的元素即可.【详解】解对于
①{小卜表示方程的解集,方程炉+的解为2+3=3f+3=33=3故集合卜产+含有元素故
①错误;%=0,3=3}0,对于
②(,)表示函数上的点的集合,集合中含有无数个元素,故
②错{X y\y=-x\x,yeR}y=-f9误;对于
③卜卜/表示不等式的解集,不等式的解为故集合NO},—%220—f2x=0,卜卜含有元素故
③错误;220}0,对于
④表示方程的实数根的集合,方程{x|f-X+l=0,X£R},12—x+l=0f_x+l=0,()2所以方程无实数根,即卜卜一A=-l-40,2X+I=06£R}=0故答案为
④【点睛】本题考查空集的概念,属于基础题.已知集合=卜——集合乂分+=},若则实数〃的取值为.
12.49X+14=0},B={23=4,2【答案】、或-0-1【分析】先求出集合然后就〃分=和两种情况分类讨论,结合可求出实数的值.A,05gA【详解】解方程得或则J―91+14=0,X=2X=7,A={2,7}.当=时,合乎题意;0B=0qA,当时,或QW0B=\x\ax+2=6\=]--f,Bo A,,—2=2—2=7,{a}a a2解得=—或1,2故答案为
0、-1或-,・【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的值,解题的关键在于对参数进行分类讨论,考查分类讨论数学思想的应用,属于中等题.
四、解答题已知
13.A={x|-3x5},B={x|2-ax2a-l}.()若求实数的取值范围;1A B=a()若=求实数的取值范围.2a【答案】();()16/52a
3.【分析】
(1)由4B=A知列不等式组,即可求的取值范围;
(2)由AJB=A,知分类讨论、情况下的范围,然后求并即可;6=05/0o【详解】()若则有解之得;1A B=A,25()若则;2AuB=A,BgA当时、有满足3=02-a2a-l,avl,2—a2a—1当时,由有〈解之得;5/02—aN—316732a-l5综上,有;Q«3【点睛】本题考查了根据集合的交并结果,判断它们的包含关系进而求参数范围,属于简单题;已知集合・
14.A=8,1],B={xE]R|a-lx3a+l},若求;1a=l,[RA nB若求实数的取值范围.2BGA,a【答案】1C/M cB=1,4]2-oo,o]【分析】时,可求出集合然后进行交集、补集的运算即可;1el[4—13cl+1根据即可讨论是否为空集时,;皿时,,解出23UA33=0a-l3a+l311[37+11的范围即可.【详解】解时,且14=1B=[0,4],A=-OO,1],团凡;4=1,+oo,1R4nB=1,4]20BCA,团
①时,解得;3=0a-l3a+l,“V-1+-1231
②工时,八,解得31-lW0,[3Q+141综上,实数的取值范围为J8,0].【点睛】本题考查了描述法、区间的定义,集合的交、并、补集的混合运算,子集的定义,考查了计算能力,属于基础题.设集合
215.A=4,,B=|x|x+h-ax-ah0^.若且+求实数涉的值;1A=360,若是的子集,且+匕=求实数的取值范围.23A2,b【答案】1a=-\,b=-2,20bi.【分析】求得集合名根据计算即可得出结果;14A=B,由〃+人=可解得〃耳,由是的子集,根据集合关系列出不等式即可22,3={—x2—3A得出结果.【详解】1A=^T4^={x\-1x2},l3a+b0,0-/7,|]B=1A|X—ax+Z0|={x|ax-Z},回A=8,.,.ci=~\,b=—
2.206Z+Z=2,^\B={x\-bx2-b],团是的真子集,回一且8A12—Z2,MWOZ
1.【点睛】本题考查集合相等和包含关系,考查不等式的求解集问题,属于基础题.已知函数的定义域为的定义域为
16./x=j3—x+22-x A,gx=lg[x—Q—l2Q—x[al反求1A.记〃若〃是的必要不充分条件,求实数〃的取值范围.2q:xeB99【答案】⑵一%—1A={x\x\^x-\}【分析】根据二次根式有意义条件,可解不等式得定义域1A.根据对数函数真数大于解不等式得集合根据〃是令的的必要不充分条件,即可得关于20,B.的不等式,进而求得的取值范围.【详解】要使有意义,贝1fx IJ3—x+22—x0化简整理得x+Dx—120角军得或xNl x4—1或/.A={x|x1x-1}要使有意义,则2gx x-a-l2a-x]0BP x-a-lx-2a]0又al.\a+l2a/.B={x|2axa+1}是的必要不充分条件p q・・是的真子集.BA・或,.2aN1a+l-l解得或3a1a4-22・・・的取值范围为a18,-2MH【点睛】本题考查了函数定义域的求法,充分必要条件的应用,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.。